2024-2025学年湖南省长沙市百强校(YZ)高二上期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市百强校(YZ)高二上期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1−i2+i，则z在复平面对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设直线l：x−3y+8=0的倾斜角为α，则A.30° B.60° C.120° D.150°3.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=A.12a+12b+c 4.已知数列{an}为等差数列，p，q，s，t∈N ∗.设甲：A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2 m，渠深OC为1.5 m，水面EF距AB为0.5 m，则截面图中水面的宽度EF约为(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，A.0.816 m B.1.33 m C.1.50 m D.1.63 m6.已知圆C1:(x−a)2+(y+3)2=9A.2 B.22 C.527.若函数f(x)=2sin ωxcos ωx+3(sin4ωx−cosA.(13,43] B.[8.已知F1,F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆E上存在两点A,BA.223 B.45 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体m被抽到的概率是0.2

B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是18

D.若样本数据x1，x2，…，x10的平均值为8，则数据2x1−1，210.下列四个命题中正确的是A.过定点P(1,−1)，且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程为x−y−2=0

B.过定点P(1,−1)的直线与以M(−3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则直线的斜率k的取值范围为k≤−12或k≥32

C.定点Q(1,0)到圆(x+1)2+(y−3)2=4上的点的最大距离为11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足APA.当λ=0时，点P到平面A1BC1的距离为2

B.当μ=0时，点P到平面A1BC1的距离为233

C.当μ=34三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.假设P(A)=0.3，P(B)=0.4，且A与B相互独立，则P(AB)=________．13.斜率为1的直线与椭圆x24+y23=1相交于A，B两点，AB14.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，S5，S7四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知ΔABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2sin(1)求角C；(2)若a=1，点D满足AD=2DB，且CD=16.(本小题12分)

在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=5，QC=3(1)求证：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求平面ABQ与平面BDQ所成夹角的余弦值．17.(本小题12分)已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(1)求E的方程；(2)A，B为双曲线E右支上两个不同的点，线段AB的中垂线过点C0,4，求直线AB的斜率的取值范围．18.(本小题12分)已知Sn是数列{an}的前(1)求证：数列{a(2)若a1=−2，cn=13+an，数列(ⅰ)求Tn取最大值时n(ⅱ)若m是偶数，且bn=(−1)n19.(本小题12分)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．(1)若圆C1：x2+y2=1是直线族(2)若点P(x0,y0)不在直线族Ω：(2a−4)x+4y+(a−2)(3)在(2)的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l2，其交点为P.若C(0,1)且A，B，C不共线，探究∠PCA=∠PCB是否成立？请说明理由．参考答案1.D

2.A

3.B

4.A

5.D

6.D

7.A

8.C

9.ACD

10.BD

11.BD

12.0.12

13.−414.−6

15.解：(1) 2sin(A+π6)=b+2ac⇒2sin(A+π6)=sinB+2sinAsinC，

∴(3sinA+cosA)sinC=sin(A+C)+2sinA，

∴3sinAsinC+16.(1)证明：△QCD中，CD=AD=2，QD=5，QC=3，

所以CD2+QD2=QC2，所以CD⊥QD;

又CD⊥AD，AD∩QD=D，

AD⊂平面QAD，QD⊂平面QAD，所以CD⊥平面QAD;

又CD⊂平面ABCD，所以平面QAD⊥平面ABCD．

(2)解：取AD的中点O，在平面ABCD内作Ox⊥AD，

∵QD=QA，

∴QO⊥AD，且OQ=QD2−(12AD)2=2，

又平面QAD⊥平面ABCD，QO⊂平面QAD，平面QAD∩平面ABCD=AD，

∴QO⊥平面ABCD，

以OD所在直线为y轴，OQ所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O−xyz，如图所示：

则O(0,0,0)，A(0,−1,0)，B(2,−1,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)，Q(0,0,2)，

设平面ABQ的一个法向量为α=(x1,y1,z1)，

由AB=(2,0,0)，AQ=(0,1,2)，

得α⋅AB=0α⋅AQ=0即2x1=0y1+2z1=0，17.解：(1)根据题意得，ba=3c=2c2=a2+b2

整理方程组可得a=1b=3，

因此双曲线E的方程为E： x2−y23=1．

(2)由题意可知直线AB斜率存在且斜率k≠±3，

令AB：y=kx+m，B(x2,y2)，A(x1,y1)，令AB的中点为M．

根据y=kx+m3x2−y2=3消去y并整理得(3−k2)x2−2kmx−m2−3=0，3−k2≠0，

所以Δ=(2km)2+4(3−k2)(m2+3)=12(3+m2−k2)>0，所以m2>k18.解：(1)证明：因为Sn+1an+1−Snan=12，

所以Snan是以a1a1=1为首项，以12为公差的等差数列，

所以Snan=1+12(n−1)=n+12，即Sn=n+12an ①，

所以Sn+1=n+22an+1 ②，

由 ②− ①可得n+1219.解：(1)由定义可知，mx+ny=1与x2+y2=1相切，

则圆C1的圆心(0,0)到直线mx+ny=1的距离等于1，

则d=1m2+n2=1，即m2+n2=1．

(2)点P(x0,y0)不在直线族Ω:(2a−4)x+4y+(a−2)2=0(a∈R)的任意一条直线上，

所以无论a取何值时，(2a−4)x0+4y0+(a−2)2=0无解．

将(2a−4)x0+4y0+(a−2)2=0整理成关于a的一元二次方程：a2+(2x0−4)a+(4+4y0−4x0)=0．

若该方程无解，则Δ=(2x0−4)2−4(4+4y0−4x0)<0，即y0>x024．

猜测直线族Ω的包络曲线E为y=x24．

证明：在y=x24上任取一点Q(x1,x124)，y=x24在该点处的切线斜率为k=x12