福建省2025届高三高考模拟数学试题（解析版）

福建省2025届高三高考模拟数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1,已知集合A=8x+7训，集合於{巾6+16<0},则.=

()

A.付74%<8}B.1x|7<x<8}

C,32<%<7}D.32<]<7}

K答案》A

K解析X集合人={%,2-8%+720}={%上"1时27},

集合5={中2-1。丁+16<()}={计2<丁<8},

所以Ac5={x[7<x<8}.

故选：A.

已知复数2=’土L(i是虚数单位)，则Z的共轨复数是(

2.

2+3i

31.51.

A.—I—1B.——+—1

13131313

53.D.A±i

C.—I—i+

13131313

K答案』B

1+i(l+i)(2-3i)2-3i+2i-3i25-i51.

K解析R因为z=—=------1,

2+3i(2+3i)(2-3i)4-9i2131313

所2£+会

故选：B.

3.已知向量商=(1,一2)石二(2,x),若卜力)//但+2孙则实数x=()

A.2B.1C.0D.-4

K答案1D

K解析H3M-Z?=(1,-6-x),M+2Z?=(5,2x-2),

由(3日—石)〃(三+2石)，则有lx(2%-2)-5x(-6-x)=0,

解得x=Y.故选：D.

4.方程sin卜一三sinx-sin|■在[0,2兀]内根的个数为（

A.0B.1C.2D.3

K答案』D

K解析』由题意，—sinx-^-cosx=sinx-^-=—sinx+^-cosx，

222222

_/Qqrqr<rr/TV

即sin(x+—)=——，可得%+―=—+2fai,左eZ,或%+—二一+2kit,kGZ,

323333

7T

解得x=2hi,k£Z,或九二一+2kn,kGZ,

3

又因为工£[0,2兀],所以尤=0弓,2兀,

故选：D.

5.已知某圆台上下底面半径（单位：cm）分别为2和5,高（单位：cm）为3,则该圆台

的体积（单位：cn?）是（

11371115K1177111971

A.------B.-------C.-------D.-------

3333

K答案』c

K解析U因为圆台上下底面半径分别为2cm和5cm,高为3cm,

所以该圆台的体积为V=§兀义3义（22+52+2x5）=39K=^^cm3.

故选：c.

6.对任意的实数机«0,2],不等式（％—2乂%—3+间＞0恒成立，则X的取值范围是

()

A.x<l或x>3B.x<l或x>2C.x<2或x>3D.R

K答案1A

K解析』依题意，对任意的实数〃回0,2],不等式（X—2乂％—3+间＞0恒成立,

整理得（％-2）根+（%—2）（工一3）〉0,令//（根）=（x-2）m+（x-2）（x-3）,

/z(O)=(x-2)(x-3)>0

则,解得xv1或%>3.

/z(2)=2(x-2)+(x-2)(x-3)>0

故选：A.

JT

7.在钝角VA5C中，C=—,AC=4则的取值范围是（）

6f

A.（0,M）B.（2石，华）

3

C.（0,2君）U（¥，+“）D.（4,半）

（答案》c

K解析X由正弦定理得匹=父=」

sinAsinBsinB

所以_4sinA

LjLX一

sin5

TT

因为钝角△MC中，c=—

6

兀45兀八

—<A=--B<TI

当3为锐角时，/「兀

得0<3<§,则0<tanB<7L

0<B<-

[2

所以」一〉立，则，+3〉友，所以g=4[—+£]〉

tanB32tanB232tanB2J3

71

—<B<71

2,口兀八5兀…J3

当5为钝角时，,得一<B<――,则tanB<----，

„.37t八7t263

0<A=----B<—

I62

所以一YI<^L<O,则0<^^+1<@,

3tanB2tanB22

综上：3Ce（0,2G）U（¥，+"）.

故选：C.

8.当x>1时，（4左一l—lnx）%vln九一%+3恒成立，则整数上的最大值为（）

A.-2B.-1C.0D.1

K答案1c

K解析X若左=0,则对任意%>1,由ln%>lnl=0,

知（4左一l-lnx）x=-jr-xlnxv-xvlnjr-x+3,

故原不等式对X>1恒成立；

若左21,贝！］由ln2<lne=l,

知（4左一1—ln2>22（3—In2>2>2.2=4>ln2+3>ln2—2+3,

故原不等式对龙=2不成立.

所以整数上的最大值为0.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知随机变量X,Y,其中y=3X+l,已知随机变量X的分布列如下表

X12345

113

Pmn

105To

若矶x）=3,则（）

c.E（y）=ioD.o（y）=2i

k答案》AC

1132

K解析X由—+-+n+一=1可得：加+〃=一①，

105105

又因为E（y）=E（3X+1）=3E（X）+l=10,故C正确.

ii3

所以E（X）=zn+2x--i-3x—+4n+5x-=3,

10510

713

则加+4〃=一②，所以由①②可得：n=一,m=一,故A正确，B错误；

101010

D（X）=（1-3）2X^+（2-3）2X^+（3-3）2X|+（4-3）2X^+（5-3）2X^

,3,1,1,313

=4xFixFix--i-4x——二——,

101010105

1Q117

D（y）=D（3X+l）=9D（X）=9xy=故D错误.

故选：AC.

10.下列命题中正确的是（）

A.函数y=1—sin2尤的周期是兀

jr

B.函数y=l—cos2］的图像关于直线x=i对称

C.函数y=2-sinx—cosx在［“汨上是减函数

D.函数y=cos(2022x--)+73sin(2022x+-)的最大值为1+

36

k答案』AD

【(解析H

A：由正弦型函数的周期公式可知：该函数的周期为空=兀，故本命题是真命题；

2

42r1+cos2x1-cos2x.7八~、kit八

B：y=l—cosx=l----------=--------,令：2x=kn(kGZ)x=—(^GZ),

izjTJT1jr

—=——k=TZ,所以x=—不是该函数的对称轴，因此本命题是假命题；

2424

C：y'=-cosx+sinx=V2sin(x--),由九£［巴，兀］=>九一火w［0,史］,

4444

即y'2。，所以该函数在［；,兀］上是增函数，所以本命题是假命题；

D：y=cos(2022x--)+逐sin(2022x+—)=cos(2022x--)+A/3sin(2022x+-)

36323

=Gcos(2022x—g)+cos(2022x—g)=(l+G)cos(2022x—g),显然该函数的最大

值为1+百，因此本命题是真命题，

故选：AD.

11.已知双曲线C：*—y2=i(a>0)的左、右焦点分别为耳，F2,P为双曲线C右支

上的动点，过尸作两渐近线的垂线，垂足分别为A,B.若圆(x-2)2+y2=i与双曲线

C的渐近线相切，则下列命题正确的是()

A.双曲线C的离心率e=2叵

3

B.|/科・卢可为定值

C.MB|的最小值为3

D.若直线y=&x+m与双曲线C的渐近线交于"、N两点,点。为MN的中点，OD

（。为坐标原点）的斜率为42,则左#2=g

k答案》ABD

1|0±2|

（解析》双曲线的渐近线方程为y=±—x,圆与渐近线相切，则基」=1,即

aVI+a2

a=5所以c=2,则e=2叵，故A正确；

3

由A选项可得双曲线两条渐近线方程为）=±走x，设尸（小,%）为双曲线上任意一

-3

\pB\=回—4，所以|PA|.出对=2%—".2%—"=国—引=1为定值,

11211112244

故B正确;

过尸（%,%）与渐近线垂直的方程分别与渐近线组成方程组求出交点坐标,

'=_qrr

3，解得父点——Jo,-Jo—“”o)'同理得

jV-y0=A/3(X-X0)"

%+字为，;%+¥%），因为尸为双曲线。右支上的动点，所以毛之石，则

ABX+33

ll=J|0|^0=JX0~故C错误;

42

对D选项，设/(3,%)、Ng,%),则£)(“1号正），又M、N在双曲线的两条

，两式相减可得y—y2="3(X]+%)，即\—

渐近线上，贝IJ

33

_731212,%1+%2

%=__~X2

两式相加可得以+%=Y3(X]—%)，即生4=g，又匕=上二21,&=江&,

xx

3x1—x23\~2玉+w

所以秘2==

&-x2xt+x2x1+x2xl-x23

故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.已知/(%)=sincoxcoso)x-y[3coscox(^>0),xvx2是函数y=/(%)+2+弋的

77E

两个零点，且|%-x211nhi=兀，当xe时，了(无)最小值与最大值之和为

塔案T

1.c/T1+cos2cox

[[解析U/(%)=sina)xcosox-yj3cos2cox二­sin2〃zx—，3x---------

22

1.o。6・0兀、6

=—sin2cox----cos2①x-----=sin(269x---)----,

22232

由/(x)+^^=0,得sin(2°x—1)—母+^^=0,得sin(20x—W)=-L

因为西,％2是函数y=/(X)+百/两个零点，且上一々/=兀，

2几

所以了(无)的最小正周期为兀，所以丁=71,得力=1,

2(0

所以/(x)=sin(2x-y)--,

由xe0,普,得2xe0,?，则2x—ge军，

_12」16」3L36_

所以sin[—1]<sin[2x—1]<sinm，得一孝Wsin2x-^\<l,

所以—凤sinRx—工]—且W1—乌

I3；22

所以/（X）最小值与最大值之和为一6+l—曰=2一y.

22

13.已知双曲线==1（。/〉0）,F],F2为双曲线的左右焦点，过用做斜率为正的

ab

直线交双曲线左支于A（X，M）,3（%,%）（X<%）两点，若|肺|=2匹

ZABF2=90°,则双曲线的离心率是.

（答案》,5-20

K解析』因为|M|=2。，贝从班|=|M|+2a=4a,

|AB|=|明|+|班|=|班|+2a=|%|,

且NA§B=90°,可知△ABE为等腰直角三角形，

则即|=2缶，忸片—|班|=20a—2a=2（点一1）即

且忸用之+忸=山耳『，即4（应a-+8a2=4c2,

2I~~~______

整理可得二=5—2形,所以双曲线的离心率e=£=J二=』5—20.

aaVfl-

14.己知平面向量万，B的夹角为。，与a的夹角为3，，同=1,汗和5-苕在石上

的投影为x,y,则Mv+sin。）的取值范围是.

正

K答案H

k解析》因为平面向量益，5的夹角为。，行-1与万的夹角为3，,

所以石-N与万的夹角为2夕，

b-a\W,同二1,

所以根据正弦定理可得

sin0sin20

b-a\问1

所以1，所以国一4=

sin。sin232sin。cos。2cose

G<0<71

71

因为，o<2^<K,所以ovev—,

3

0<3,<兀

所以E在方上的投影为x=[cos。=cos。，

b-a^-b上的投影为y=M—dcos20=cosA,

2cose

所以九(y+sin8)=cos8(---------bsin0)

2cos6

=—cos20+—sin20=-^-sin(20+—),

2224

因为0V6V巴，所以0W28W女,所以乌<2，+2《业，

334412

IT11jr

所以当28+]=下时，x(y+sin9)取得最小值，

口日[/古.UTTA/2.2兀7iA/22兀.7t-J3-1

且取4、1目为—sm----二—sin——cos—H------cos——sm—=--------

2122342344

当28+：=]时，龙(丁+sin取得最大值，且最大值为*,

石-1V2

所以x(y+sin。)的取值范围为

4万

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知锐角ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,sin(A-B)=cosC.

(1)求角B的大小；

22

(2)求巴F的取值范围.

b2

解：(1)在锐角VABC中，sin(A-B)=cosC>0,

JTjr

则0<A—3<—,sin(A—B)=sin(---C),

22

JTTTTV

于是A—3=——C,即A+C—3=—,而A+C=7t—则兀-23=—

222

71

所以B=一

4

0八<AA<—兀

(2)由(1)知，C-----A,由<，得一<A<一,

40<cM42

[2

2

由正弦定理得&¥=sm"smC=?sin2A+2sjnC=l-cos2A+l-cos2C

b2sin2B

-2-cos2A-cos(--2A)=2+sin2A-cos2A=2+\/2sin(2A-—),

24

而一<2A---<—，则<sin(2A——)<1,3<2+A/2sin(2A)V2+A/2,

444244

22

所以仁幺的取值范围是(3,2+拒].

b-

16.由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，瓦户分别为

的中点，45=24片=4,侧面55℃与底面.8所成角为45。.

(1)求证：3。//平面4后/；

(2)线段AB上是否存在点使得直线2"与平面4石/所成的角的正弦值为

空,若存在，求出线段AM的长；若不存在，请说明理由.

10

(1)证明：连接5。、B,R,由分别为的中点，则石尸//5£),

又EFU平面BB[D]D,BDu平面342。，故石产//平面3月£)1。，

正四棱台ABC。—A4G2中，4片//43且44=^AB=BF,

则四边形4用与为平行四边形，故4口//8用，

又4/0平面84RO,BB[U平面BBQQ,故^尸//平面BqR。，

又AFcEF=F,且ARu平面AEF,EFu平面AEB，

故平面AEE//平面3月。。，又5D]U平面3月。。，故3。//平面AEB；

(2)解：正四棱台ABC。—44GA中，上下底面中心的连线og，底面ANCD，

底面ABCD为正方形，故

故可以。为原点，OA.OB、。。1为羽％z轴，建立空间直角坐标系。一孙z,

由45=24用=4,侧面与底面ABCO所成角为45。,

贝IjOOX=44Xtan45°=1,

则A（五,0,1）,F（V2,A/2,0）,E（也—也0）,

假设在线段AB上存在点M（%,%0）满足题设，则㈤0=（x—%0b

设：W=,则"=仅四—2屈,2屈,0）,

D[M=（2行-2何,2立I+72,-1）,

设平面4所的法向量为沆=Q,y,z),

n,'&E=叵y-z=0

令％=1,则y=0,z=0,即沅=（1,0,0）,

&・乔=20=0

因为直线D.M与平面AEF所成的角的正弦值为地，

10

|20—2屈|3小

,____k,D[M.m

故cosR}0,玩二二^~^

112

DxM\\m\A/162-82+11XA/110

解得2=工或4=2(舍)，故AM=LAB=I,

444

故线段AB上存在点M,使得直线RM与平面AEF所成的角的正弦值为远，

10

此时线段AM的长为1.

17.小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了24元，然后发给朋友4如果A猜中,

A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友8,如果B猜

中，A、B平分红包里的金额；如果8未猜中，8将当前的红包转发给朋友C,如果C猜

中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设

A、B、C猜中的概率分别为1,工，工，且A、8、C是否猜中互不影响.

323

(1)求A恰好获得8元的概率；

(2)设A获得的金额为X元，求X的分布列及X的数学期望.

解：(1)若A恰好获得8元红包，则结果为A未猜中，B未猜中，C猜中,

故A恰好获得8元的概率为-x-x-=-;

3239

(2)X的可能取值为0,8,12,24,

21221

则P(X=0)=gX5X§=§,尸(x=8)=§,

2111

p(X=12)=-x-=-,P(X=24)=-,

所以X的分布列为:

X081224

2£11

P

9933

数学期望为E(X)=0x|+8xg+12xg+24xg=T.

18.设y=/(x)是定义域为R的函数，如果对任意的内,占^X2),

|/(%1)-/(x2)|<I%-日均成立，则称y=f(x)是“平缓函数”.

⑴若/(x)=试判断y=/(%)是否为“平缓函数”并说明理由；

(2)已知y=/(尤)的导函数/,⑴存在，判断下列命题的真假:若y=/(X)是“平缓函数”,

则，'⑸41,并说明理由.

(3)若函数y=/(%)是“平缓函数"，且y=/(x)是以1为周期的周期函数，证明:对任意的

七eR(XN%)，均有|/(石)-/(%)|<g

解：(1)令石=2,々=1,因为/'("=]2,则|/a)_/(x2)|=3，k-尤21=1,不满足对任

意的不,WeR(%。％2),，(%)一/(尤2)|<上一日均成立，故,=/(£)不是“平缓函数"•

(2)命题为真命题.

因为/(x)=&"x+个一”X),

不妨令玉=%+△%,尤2=%，

因为丁=/(力是'平缓函数”，

则|〃%+')一"刈<附=1⑴<]

所以''(x)|=lim*x+y⑴K],

1'4-f。Ax

故命题为真命题.

(3)因为y=/(x)是以1为周期的周期函数,不妨设玉,々40』，

当上-司wg时，因为函数y=/(%)是“平缓函数”，

则，4)-/(々)|<上—工2区[；

当上—々|>g时,不妨设。<西<々<1，则%-石〉g,

因为y=/(x)是以1为周期的周期函数，

则/(。)=/⑴,

因为函数y=