2024-2025学年九年级数学上学期8期中考压轴题汇编（福建专用）（含答案）

专题08期中考压轴题汇编

选择题压轴

（23-24八年级上•福建厦门•期中）

1.已知抛物线y=a无2+6x+c（a、b、c是常数，aw0）经过点/（1，。）和点8（。,一3）,若该

抛物线的顶点在第三象限，记加=2a-b+c,则心的取值范围是（）

A.0<w<3B.-6（机<3C.-3<m<6D.-3<m<0

（23-24八年级上•福建福州•期中）

2.如图，在RtA48C中，ZACB=90°,/C=10,8c=12,点。是AA8C内的一点，连接

AD,CD,BD,满足/4DC=90。，则&D的最小值是（）

C.8D.13

（23-24八年级上•福建宁德•期中）

3.如图，已知点小，A2,,4020在函数12位于第二象限的图像上，点用，比，，为被。在

函数产N位于第一象限的图像上，点G，C,,,。2期在了轴的正半轴上，若四边形

OA]CB、C[A2c2B2，…,60/必2020。202/2020都是正方形，则正方形C20/M202oC2O2而2020的对

角线长为（）

试卷第1页，共6页

A.2020逝B.20190C.4040D.4038

（23-24八年级上•福建福州•期中）

4.如图，在正方形45。中，E、尸是射线8。上的动点，且乙粗尸=45。，射线/£、AF

分别交8C、CD延长线于G、H,连接EC,在下列结论中：①AE=CE；

@BG=GH+DH■,@EF2BE2+DF2;④若AB=3DH,则C£>=2CG,

⑤工AGH:$△BCD=其中正确的结论有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

（23-24八年级上•福建南平•期中）

5.如图，平面直角坐标系xQy中，点/的坐标是（-3,4）,点8是。/上一点，的半径

为2,将08绕。点顺时针方向旋转90。得OC,连接/C,则线段NC的最小值为（）

D.6

试卷第2页，共6页

题型02填空题压轴

■

（23-24八年级上•福建福州•期中）

6.已知抛物线y=x?+2mx+加2+3加-2与x轴交于么（孙0）,8仁,。）两个不同的点，设

W=*+X；,则W的取值范围是.

（23-24八年级上•福建漳州•期中）

7.如图，在等边△4BC中，AB=4,D,E分别是边/民8c上的动点（不与△NBC的顶点

重合），连接力E,C。相交于点尸，连接8尸，若N8D尸+N8E尸=180。，则B尸的最小值

（23-24八年级上•福建泉州•期中）

8.已知y=-x（x+3-0）+1是关于x的二次函数，当1SK5时，如果y在x=l时取得最

小值，则实数。的取值范围是—.

（23-24八年级上•福建莆田•期中）

9.如图，正方形N8CZ）的边长为4,E为8c上一点，且5E=1,F为边上的一个动点,

连接£尸，将£尸烧点E顺时什旋转60。得到EG,连接CG,则CG的最小值为.

（23-24八年级上•福建宁德•期中）

10.如图，点。为坐标原点，。。的半径为1,点4（2,0）,动点B在。。上，连接作

等边△NBC（A,B,C为顺时针顺序），则0c的最大值为.

试卷第3页，共6页

(23-24八年级上•福建福州•期中)

11.如图，N8是。。的弦，N8=2后，点尸是优弧4PB上的动点，々=45°,连接尸/,

PB,NC是的中线,

（1）若NCAB=NP,贝|/C=:

(2)/C的最大值=

解答题压轴

(23-24八年级上•福建宁德•期中)

12.在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆

放，其中//C3=ZDE5=90。，ZB=30°,BE=AC=3.

图1图2备用图

(1)DE=；

(2)小昕同学将三角板OE8绕点B按顺时针方向旋转.

(i)如图2,当点E落在N3边上时，延长DE交8c于点尸，求B尸的长.

(ii)若点C、E、。在同一条直线上，请画出示意图并求点。到直线8c的距离.

试卷第4页，共6页

（23-24八年级上•福建泉州•期中）

13.已知二次函数y=/+6x+6-l,其中6为常数.

⑴当y=o时，求尤的值；（用含6的式子表示）

⑵抛物线y=/+6x+6-l与X轴交于A,8两点（点A在点B的左侧），过点前5,3）作直线

交抛物线于P,。两点，其中点尸在第一象限，点。在第四象限，连接/P,分别交》轴

于点M（O,〃z）,N（0,〃）.

①当b<2时，求点尸的横坐标X.的值；（用含加，6的式子表示）

②当b=-4时，求证：OATON是一个定值.

（23-24八年级上•福建厦门•期中）

14.已知二次函数丁=42-2ox+c的图象与x轴交于坐标原点。和点/,顶点为点P.

⑴求点P的坐标（用含。的式子表示）；

（2）已知点尸纵坐标与点/横坐标相同，直线V=区-6与抛物线交于〃，N两点（点M在

点N左侧），连接NM,NN.设直线为必=/x+/w,直线/N为％=《x+"；

①当M,N两点关于抛物线的对称轴对称时，求左•伍的值；

②求证：当上W3时，勺%的值不变.

（23-24八年级上•福建漳州•期中）

15.如图，A4BC、△/£>£1均为等边三角形，BC=6,=4.将△4DE绕点/沿顺时针

方向旋转，连接B。、CE.

（1）在图①中证明AADB&AAEC；

（2）如图②，当/E/C=90。时，连接CD,求△D8C的面积；

⑶在"DE的旋转过程中，直接写出ADBC的面积S的取值范围.

（23-24八年级上•福建三明•期中）

试卷第5页，共6页

16.设仇c是互不相等的实数，且%工0,我们把有序实数对(。也c)轮换匹配给抛物线

2

>="2+&+。所得的三条抛物线。1=。、2+6*+(?,C2-bx+cx+a,C3=cx?+ax+b称为

(a,6,c)的轮序抛物线.

(1)写出有序实数对34,5)的三条轮序抛物线；

⑵设』时,P仆,必)，P2(k,%)，居(鼠为)分别是有序实数对(123)的三条轮序抛物线

G，C2,G上的点，当必>%时，求人的取值范围；

(3)若(a,b,c)的三条轮序抛物线在x轴上有一个公共交点，

①求证：(a,b,c)的三条轮序抛物线中的每一条抛物线与x轴必有另外一个交点；

22

②求幺M+土h+Jr的直

beacab

试卷第6页，共6页

1.B

【分析】由顶点在第三象限，经过点么（1,0）和点8（0，-3）,可得出：。>0,-3<0,即

2a

可得出0〈a<3,又由于加=2a-6+c=2a-（3-a）+（-3）=3a-6,求出3〃一6的范围即可.

【详解】•・・抛物线y=a-+及+°过点（1,0）和点（0,-3）,

・•・。=-3,a+b+c=0,

即6=3-a,

•・•顶点在第三象限，经过点力（1,0）和点5（0,-3）,

>0,-----<0,

2a

b〉0,

・•・6=3—Q>0,

••・〃<3,

•••0<av3

•：m=2a-b+c=2a-（3-a^+（-3）=3a-6,

v0<a<3,

・•・0<3a<9

一6<3Q-6<3,

A-6<m<3.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数/=办2+加+°（。力0）的图象

为抛物线，当。>0,抛物线开口向上；对称轴为直线》=-二；抛物线与y轴的交点坐标为

2a

（0,c）.

2.C

【分析】如图，取/C中点。，连接。O.则点。在以点。为圆心，/C长为直径的圆周上

运动，当。、D、8在同一直线上时，OB最短,此时80=08-00=08-5为最短.所以

BD=OB-OD=OB-5=13-5=S,即为50的最小值.

【详解】解：如图，取NC中点。，连接DO.

•••ZADC=90°,

答案第1页，共24页

.,.点。在以点。为圆心，NC长为直径的圆周上运动，且。O=g/C=gxl0=5,

当。、D、B在同一直线上时，03最短，止匕时3D=O3-OD=O3-5为最短.

在RtXOCB中，

OC=5,8c=12,

则OB=V122+52=13，

:.BD=OB-OD=OB-5=13-5=8,

即AD的最小值是8.

【点睛】本题主要考查了两点之间最短距离的问题，解题的关键是正确构造圆和运用勾股定

理.

3.C

【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得与y轴的夹角为45。，然后表示出。片的

解析式，再与抛物线解析式联立求出点为的坐标，然后求出。⑸的长，再根据正方形的性

质求出。。，表示出G&的解析式，与抛物线联立求出层的坐标，然后求出C乃2的长，再

求出QG的长，然后表示出。2星的解析式，与抛物线联立求出5的坐标，然后求出GS

的长，可求出C2c3,然后观察0G、c2c3存在的规律；最后根据规律即可解答.

【详解】解：,•・四边形ON/G8/是正方形，

・•・。2/与〉轴的夹角为45。，

•■OBi的解析式为y=x,

y=xx=0X=1

联立2,解得a或

y=xy=i

:点&(1,1),

：.OBi=&+f=6,

,•・四边形Q4/G3/是正方形,

答案第2页，共24页

：.OCI=6OB\=V2XV2=1X2,

••・四边形C]A2C2B2是正方形，

凡与y轴的夹角是45。,

••CIB2的解析式为y=x+2,

y=x+2x=-1x=2

联立2，解得1或

y=x)=4,

•••点在(2,4),

22

■-C1B2=y]2+(4-2)=272,

••・四边形GA2c2B2是正方形，

.-.CIC2=42ClB2-72X272=2X2=4=2,

,•・四边形C2A3C3B3是正方形,

晶与夕轴的夹角是45。,

■■C2B3的解析式为y=x+6,

y=x+6x=-3%=3

联立-2，解得…或

y=x尸9，

二点当（3,9）,

22

•1•C2S5=73+(9-6)=3V2,

,:四边形GA2c2B2是正方形,

:.C2c3=y[iC\B、=V2x3A/2=3x2=6,

依此类推，正方形。20/削2020。202必2020的对角线长为。20/9。2020=2020*2=4040.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的对称性、正方形的性质等知识点，表示出正方形的边长所在

直线的解析式与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出正方形边长、对角线

的边长是解答本题的关键.

4.B

【分析】由“SAS”可证△/8E4C8E,可得=故①正确；

如图1,在8c上截取=连接/N,由“SAS”可证△4BN/△4D77,可得4N=4H,

答案第3页，共24页

/BAN=ADAH由“SAS”可证AANGdAHG,可得NG=HG,

BG=BN+NG=GH+DH,故②正确；

如图2,将△40尸绕点A顺时针旋转90。，得到连接EM,由旋转的性质可得

AF=AM,ZABM=ZADF,DF=BM,由“SAS”可证,可得

EF=EM,由勾股定理可得所2=2岁+。尸2,故③正确；

如图1,设DH=a,则/3=3O〃=3a=8C=CD,利用勾股定理可求CG=3。=CD,故④

错误；

由三角形的面积公式可求S.GH：$椀8=G”：48,故⑤正确；

【详解】解：：四边形N2C。是正方形，

:.AB=BC,ZABD=ZCBD=45°,

•••BE=BE,

:."BE知CBE(SAS),

AE=EC,

故①正确；

如图1,在BC上截取BN=DH,连接4N,

AB=AD,ZABN=ZADH=90°,BN=DH,

;色ABN公AADH(SAS),

AN=AH,ZBAN=ADAH,

ABAD=ZNAH=90°,

-.■ZEAF=45°,

NEAF=NNAG=45°,

又•：AN=AH,AG=AG,

:2NG必AHG(SAS),

答案第4页，共24页

NG=HG,BG=BN+NG^GH+DH,

故②正确；

如图2,将△40尸绕点A顺时针旋转90。，得到连接EM,

:./\ADF^ABM,^FAM=90°,

AF=AM,ZABM=ZADF,DF=BM,

■：ZABD=ZADB=45°,

ZABM=ZADF=135°,ZMBE=90°,

•••ZEAF=45°,

ZEAF=ZEAM=45°,

又；AE=AE,AF=AM,

尸丝△/EAf(SAS),

:.EF=EM,

在RtABEM中，EM2=BE'+BM-，

:.EF2=BE2+DF2,

故③正确；

•••AB=3DH,

:.设DH=a,贝448=3。〃=3a=8C=CD,

CH=4q,

如图1,在BC上截取BN=DH,连接4N,

答案第5页，共24页

HF

BNCG

图1

由③可得：HG=NG,

设CG=x,贝!]BG=3a+x,

NG=2a+x^HG,

■.■CH2=CG2+HG2,

*'•(4a)2+x?=(2t7+x)2,

••x—3a,

CD=CG,

故④错误；

如图1,MANGHAHG,

SMGH=S△3；NG.AB=；HG.AB，

■'S^AGH-SABCD=GH.AB,

故⑤正确；

,正确的结论有①②③⑤，共4个.

故选：B

【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性

质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

5.A

【分析】把。/绕。点顺时针方向旋转90。得。H,过点A作轴于点尸，过点H作

4G_Lx轴于点G,以点4为圆心作。使。H的半径为2,点3是。/上一点，则点C

是上一点，当点4。,4三点共线，即点C在44,上时，NC最小.

【详解】解：如图，把。/绕。点顺时针方向旋转90。得。4',过点A作/尸，x轴于点尸,

答案第6页，共24页

过点H作轴于点G,以点H为圆心作。4,使。4的半径为2,

.­.OA=OA',ZAOA'=90°ZAFO=/OGA'=90°,

ZAOF+ZA'OG=180°-ZAOA'=90°,ZAOF+ZOAF=90°,

ZOAF=ZA'OG,

:.AAFO^AOGA'(AAS),

AF=OG=4,OF=ArG=3,

・•・4(4,3),

过H作/尸于点a,4H=4-(-3)=7,/〃=4-3=1,

在Rt△/9'中，/©=[(AH?+(AH,=JF+72=5近,

点2是。/上一点，则点C是。H上一点，A'C=2,

当点40,H三点共线，即点C在上时，NC最小,

:.AC^AA'-CA'^542-2,

故线段NC的最小值为5啦-2.

故选：A.

【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题

的关键是作出正确的辅助线，运用数形结合的思想方法.

,8

6.w＞—

9

【分析】根据抛物线y=M+2m+/+3加―2与x轴交于力（石,0）,5（孙。）两个不同的点，得

到西+工2=-2加，占%2=机2+3加一2,A=（2m）2-4（m2+3m-2）＞0,进而求出加的取值范

围，通过完全平方公式用冽表示出w的值，进而确定w的取值范围.

22

【详解】解：令得，x+2mx+m+3m-2=0,

••・抛物线＞=12+2mx+m2+3加-2与1轴交于/（知0）,网和。）两个不同的点,

222

玉+工2=-2加，x[x2=m+3m-2,△=(2m)-4(m+3m-2)>0,

2

3

答案第7页，共24页

2

・•・W=再2+x2=(演+%)2—2/工2

=(-2m)2-2^m2+3加一2)

=2m2—6m+4

2

2>0,当加时，w随加的增大而减小,

Q

故答案为：w>—.

【点睛】本题考查了抛物线与X轴交点问题，关键根据二次函数与X轴有两个交点，求出加

的取值范围.

7.26##生8

33

【分析】根据等边三角形的性质，结合/BDF+/BEF=180°,得到/。F£=120。，对顶角

相等，得到//EC=120。，进而得到点尸在以。为圆心，04的长为半径，且N/OC=120。

的圆弧上运动，连接。4。。,O3,。77，贝ij：OA=0C=OF,BF>OB-OF，证明名zkCOB,

得到△ZOB为含30度角的直角三角形，进行求解即可.

【详解】解：•・・等边△4C,

ZABC=60°,AB=BC,

•・•/BDF+/BEF=\8。0,

・•.NDFE+NABC=360°-(ZBDF+ZBEF)=180。，

ZDFE=nO0,

---ZAFC=120°f

・・・点尸在以。为圆心，04的长为半径，且乙4。。=120。的圆弧上运动，如图，连接

OA,OC,OB,OF,贝hOA=OC=OF.BF>OB-OF,

答案第8页，共24页

・•・AAOBACOB,

・・.NABO=ZCBO=-ZABC=30°,ZAOB=ZBOC=-ZAOC=60°,

22

ABAO=9G0,

BO=2AO,AB=43AO=4,

AO=—VJ,

3

：.BO=2OA=-y^,OF=AO=",

33

：.BF<^y［3,即：职的最小值为：1V3；

故答案为：:百.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的

判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，解题的关键是确定点厂的运动轨迹.

8.«>9

【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在［1,5］和对称轴在［1,5］内

两种情况进行解答.

【详解】第一种情况：

当二次函数的对称轴不在1OW5内时，此时，对称轴一定在1OW5的右边，函数方能在x=l

时取得最小值，x=^>5,即。>13.

第二种情况：

当对称轴在1SE5内时，对称轴一定是在区间1SE5的中点的右边，因为如果在中点的左

边的话，就是在x=5的地方取得最小值，即：

了=一2一，即壮9（此处若a取9的话，函数就在1和5的地方都取得最小值）

答案第9页，共24页

综合上所述：a>9.

故答案为e9.

【点睛】本题考查了二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系，难度较大.

9.-

2

【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等

关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.

【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一

定在直线轨迹上运动，

将4EFB绕点E旋转60。，使EF与EG重合，得到aEBH为等边三角形，AEBFmCEHG,

.­•ZEHG=ZABC=9O°,HE=BE=1,zBEH=60°,

.,.点G在垂直于HE的直线HN上.

作CM1HN,则CM即为CG的最小值，作EP1CM,可知四边形HEPM为矩形，

.•.zCEP=180o-60o-90o=30°,

113

••.CP=-CE=-x(4-l)=-,

22v2

35

则CM=MP+CP=HE+PC=\+-=-,

22

即CG的最小值为g.

【点睛】本题考查了旋转的性质，线段最值问题，全等三角形的性质，正方形的性质，矩形

的判定与性质，含30。角的直角三角形的性质，以及垂线段最短等知识，分清主动点和从动

答案第10页，共24页

点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最

短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型.

10.3

【分析】以。/为边，在CM的下方作等边△O4D,连接8。，OC,BO,证明

△O/G3AD48(SAS),得OC=BD,即可得出结论.

【详解】解：如图，以。/为边，在。区的下方作等边△O4D,连接AD,OC,BO,

V

D

•・・KABC和LOAD都是等边三角形，

：.AC=AB,AO=AD,ABAC=ZOAD=60°,

/OAC=/DAB,

在△CMC和△045中，

AC=AB

<ZOAC=/DAB,

AO=AD

,-.AOAC^ADAB(SAS)f

・•.0C=BD,

・・・OO的半径为1,点4(2,0),

/.OB=\,OC=BD,

OB=\,OA=OD=2,

­-2-l<BD<2+l(当点。，B,。三点共线时取“二”号)，

gpi<BZ)<3,

.-.1<OC<3,

•••OC的最大值为3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查圆的基本性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的

答案第11页，共24页

三边关系，数轴上两点之间的距离等知识，本题难度较大.通过作辅助线构造全等三角形是

解题的关键.

11.2V5+1

【分析】（1）如图，延长/C交。。于点。，连接根据/尸=45。，由圆周角定理得到

ZADB=45°,再根据已知=可得到ZAB。=90°,所以NO是。。的直径，再根

据NC是的中线，由垂径定理的推论得到/C,尸8,最后利用勾股定理可求解；

（2）由/C是ANAP的中线，可得OCL尸8,即点C在以为直径的圆上运动.连接。2、

OC,设08的中点为D,以点。为圆心，为半径作。。，当A,。，C三点共线，且

点。在/C之间时，/C有最大值，最大值为4D+CD,即最大值为再由

NP=45。,可得乙4。8=90。，她。是等腰直角三角形，结合43=2收，运用特殊角的三

角函数值和勾股定理，求得CM=sin45Ox/2=2,AD=^OA2+OD2=75«从而求得"C的

最大值.

【详解】解：（1）如图，延长NC交。。于点。，连接区D,

•・♦/尸=45°,

ZADB=45°,

又•:NCAB=ZP,

；.NCAB=45°,

.-.^ABD^9Q°,

.•.4D是。。的直径，

•・•/C是AN3P的中线，

：.AC1PB,

ZACB=90°,

•••ZCAB=45°,

ZCBA=180°-ZACB-ZCAB=45°,

AC=BC,

-AC2+BC2=AB2,

又♦:AB=2血.，AC=BC,

：.AC2+AC2=（2^,

解得4C=2.

答案第12页，共24页

故答案为：2

(2)•••/C是A/8尸的中线，

・•.C是8P的中点，

•・,/3是。。的弦，点P是优弧4PB上的动点，

OB=OP,

•••C是8P的中点，

OCVPB,

ZOCB=90°,

.•.点C在以08为直径的圆上运动.

如图，连接。2、OC,设的中点为。，

以点。为圆心，为半径作。。，

•・•点C在以。3为直径的圆上运动，

.•.当A,D,。三点共线，且点。在NC之间时，

NC有最大值，最大值为4D+CD,即最大值为03.

连接04,AD,

•・♦/尸=45°,

ZA0B=90°,

・•,/3是。。的弦，

0A-0B,

■.AB=2^2,0A=0B,408=90。，

.•.CM=O2=sin45°xAg=sin45°x2&=2,

的中点为。，

；.OD=DB=LOB=\,

答案第13页，共24页

OA=2,OD=1,ZAOB^90°,

•1•AD=yJOA2+OD2=V5，

•••DB=\,

•••AC的最大值为AD+DB^y/5+l,

故答案为：V5+1

【点睛】本题考查的是圆与三角形的综合问题一动点问题，主要考查了圆周角定理、垂径定

理的推论、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识.其中，探究点C的运动轨迹是解决问

题的关键.

12.（1）行

⑵⑴26；（ii）图见解析，76±1

【分析】（1）根据含30度直角三角形的性质可进行求解；

（2）（i）由题意易得尸是等边三角形，然后问题可求解；（ii）①当点£在8c上方时,

过点。作。H_L8C,垂足为a,②当点E在8C下方时，然后根据等积法可分类进行求

解.

【详解】（1）解：•••40防=90。，48=30。，

.-.DE=-BD,

2

•1•BE=4BD1-DE1=y/3DE，

•：BE=3,

DE=8

（2）解：（i）如图2,由旋转知

答案第14页，共24页

D

A

oX/DBF=/DBE+/EBF=60°/FDB=90°-/DBE=60°，

、B

F

图2

ADBF是等边二角形,

•••BF=BD=演2+(G『=2道；

(ii)①当点E在BC上方时，如图,

过点。作垂足为",

在△/BC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=3,

：.AB=2AC=6,

•••8c=3月.

•••点C、E、。在同一直线上，且/。匹=90。，

ZCEB=180。-ZDEB=90°.

又•.•在△C8E中，/CEB=90°,BC=3拒,BE=3,

•••CE=^BC2-BE2=3V2>

••.CD=CE+DE=m+6

•.•在△3。中，SABCD=^CDBE=^BCDH,

2CDBEr-,

DH=----------=v6+1?

BC

②当点E在BC下方时，如图，

答案第15页，共24页

A

在△BCE中，•••/CEB=90。，BE=3,BC=3拒,

•••CE=yjBC2-BE2=3A/2.

：CD=CE-DE=m-n，

过点。作。垂足为M,

在A&DC中，SABDC=^BC-DM=^CD-BE,

•••DW=76-1；

综上，点。到直线BC的距离为«±1.

【点睛】本题主要考查旋转的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质及等积法，熟练

掌握旋转的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质及等积法是解题的关键.

13.（1）再=-1,x2=l—b；

⑵①马=机-6+1；②详见解析

【分析】（1）令>=0,得：x2+bx+b-l=Q,运用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）①当6<2时，利用不等式性质可得：根据点A在点8的左侧，可得

N（T,0）,利用待定系数法求得直线4W的解析式为丁=必+加，联立方程组，消去九得:

2

x+（b-m）x+b-m-l=0,由根与系数关系，^xA+xp^-（b-m）=m-b,即可得出答案；

②当/>=-4时，二次函数解析式为了=V-4x-5,根据条件可得P（加+5,苏+6加），

。（"+5炉+6〃），再根据直线尸。过点矶5,3）,可推出（山〃+3）（加-“）=0,即可求解.

【详解】（1）解：当y=0时，x2+bx+b-l=O,

（x+l）（x+Z）-l）=0,

x+l=0或l+6—1=0,

答案第16页，共24页

=

二.再=-1,x2l~b•

(2)①解：当b<2时，由(1)可知：玉=—1,x2=l-bf

•:b<2,

.—b>—2,

:A-b>-\,

•・,点A在点8的左侧，

.-.^(-1,0),

设直线AM的解析式为y=kx+a,

'：^4(-1,0),Af(0,Zw),

—k+。=0k=m

,解得:

a=ma=m

•・・直线AM的解析式为y=mx+mf

y=mx+m

联立方程组，得:

y=x2+bx+b-l

消去丁，得：x2+(b-m)x+b-m-l=0,

由根与系数关系，^xA+xp=-(b-m)=m-b,

：.xp=m-b+1；

②证明：当b=-4时，二次函数解析式为y=x2-4x-5,

.••^(-1,0),5(5,0),

xp-m+5,

22

yp=(m+5)-4(加+5)—5=m+6mf

P(m+4,m2+6m

直线3的解析式为：k2T(x+l)=〃x+〃,

y=x2-4x-5

联立方程组，得:

y=nx+n

答案第17页，共24页

x?-（4+"）x-5—“=0,

2

xg=4+n,yQ=n+5n,

即0（"+5,〃2+6〃）,

・•,直线P0过点E（4,2）,

..kEP=kEQ,

机2+6加一3772+6n-3

=,

m---------n

mn2+6mn-3m=m2n+6mn-3〃，

（加"+3）卜w-〃）=0,

,:P、0不重合，即加/〃，

mn=-2,

OM-ON=M〃|=3为定值.

【点睛】本题考查二次函数的性质，待定系数法，一次函数图象和性质，一元二次方程根与

系数关系等，此题综合性较强，熟练掌握二次函数的图象及性质、灵活应用根与系数的关系

是解题的关键.

14.⑴点P坐标为

（2）①左•无2=T2；②见解析

【分析】（1）把原点坐标带入函数表达式，求出c的值，再将二次函数表达式化为顶点式,

即可进行解答；

（2）根据函数的对称轴和与x轴相交于原点和A点，可得点A的坐标，从而得出点P的坐

标，即可用待定系数法求解函数表达式；①由M,N两点关于抛物线的对称轴对称可得

M,N的纵坐标为-6,把）=-6代入抛物线的表达式，即可求出点M和点N的坐标，即可

求得NM,/N的解析式，即可求解；②根据直线4W,/N经过点N可得如〃与知质的

_4—左

关系，设点/，N的横坐标分别为X],%,令丘-6=-2/+4x可得无i+z=三一，

再—=-3,用含%,当和人的代数式分别表示/，月，即可求解.

【详解】（1）解：•.•抛物线经过原点,

答案第18页，共24页

c=0,

y=ax2-lax=a(x-I)2-tz,

点尸坐标为（1，-。）.

（2）••・抛物线对称轴为直线x=-=^=l,

2a

•••点4坐标为（2,0）,

,・,点P纵坐标与点A横坐标相同，

..—CL=2,

。=-2,点P坐标为（1，2）.抛物线解析式为y=-2x2+4x.

①•.•〃，N关于抛物线对称，

二.直线、=履一6中4=0,y=-6,

把y=-6代入V=-2尤2+4x得-6=-2x?+4x,

解得x=-l或x=3,

N（3,-6）,

-6=-k+m

将（-1,-6）,（2,0）代入乂=?x+加得x

0=2左i+冽

h=2

解得

m=-4

-6=3k2+n

将（3,-6）,（2,0）代入%=■+"得

0=2k2+n

k?——6

解得

〃=12

:.k、•k?=—12.

②令区-6=-2%2+4%,整理得2一+(左-4)x-6=°,

设点M横坐标为多，点N横坐标为超，

+x2=—,再外=一3,

丁点"在直线歹=履-6与直线/加上,

答案第19页，共24页

把（2,0）代入yl=klX+m得m=-2kx,

y{=kxx-2kl,

令玄1-6二《再一2尢，可得左1二―1

国一2

,・・点N在直线>=履-6与直线/N上,

把(2,0)代入%=+。得m=-2kl,

y2=k2x-2k2,

_kx、-6

令kx2—6=左2工2—2k2,可得后2=~

%2—2

_kxx-6kx2-6_kxxx2-6k[xx+x2）+36

二.占,k2=------------=--------7--------------7-----------,

%—2%2—2X]X2-2（X]+X?）+4

4m4-kfoC]X2-6^（^+x2）+3636-12左

把再+%=亍,%”=一3代入中2一2（%+%）+4=勺为=FF

W3时，kx-k2=-12.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，二次函

数和方程的关系，以及一元二次方程根与系数的关系.

15.(1)证明见详解

⑵96+6

(3)973-12<5<973+12

【分析】(1)根据△NBC和为等边三角形得到对应边和角相等，再利用角度的变化即

可求证全等；

(2)利用/E/C=90。得/D4B,过点N作工”，8C交2C与点〃，过点。作交

AH与点G,再利用含30。的直角三角形解得的值，结合面积公式即可求得；

(3)利用第二问结论，分析出△ABC的面积最大时与在同一条直线上，且点。在

△4BC外部，△DBC的面积最小时AD与在同一条直线上，且点。在△ABC内部，根

据三角形面积公式即可求得答案.

【详解】(1)证明：・・・△/2C、均为等边三角形，

AD=AE,AB=AC,/DAE=ABAC

•：ADAB+NBAE=NBAE+ZEAC

答案第20页，共24页

:"DAB=NEAC,

AB=AC

在AADB和AAEC中<ZDAB=ZEAC,

AD=AE

：.AADB知AEC(SAS).

(2)连接CE,同理有成立，得ND4B=NEAC,

ZEAC=90°,

:.NDAB=90°,

过点/作/HLBC交2C与点”，过点。作DG〃8C交NX与点G,如图,

・・•△/8C为等边三角形，

.-.BH=-BC=3,ZBAH=-ZBAC=30°,

22

ZDAG=180。一NDAB-/BAH=60°,

在中，AH=373,

在RM/GD中，ZADG=30°,/G=2,

:.GH=30+2,

则Same=g.3C,G〃=；x6x(36+2)=94+6.

(3)过点N作交8c于点凡当/。与NH在同一条直线上，且点。在△ABC外

部时△D8C的面积最大，如图，

答案第21页，共24页

・••/TO=3用4,

则S.OBC=1-5C-D//=1x6x(3V3+4)=973+12；

当/。与/”在同一条直线上，且点。在△ABC内部时△08。的面积最小，如图,

贝l」HD=3g-4,

那么S皿c=3.5。。//=gx6x(3右一4)=94一12,

△D2C的面积S的取值范围：9A/3-12<S<9V3+12.

【点睛】本题主要考查几何图形的变化，利用等边三角形的性