新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何-课时分层练习题含解析

第三章空间向量与立体几何课时练习题1、点在空间直角坐标系中的坐标 -1-2、空间两点间的距离公式 -6-3、从平面向量到空间向量空间向量的运算(一) -10-4、空间向量的运算(二) -15-5、空间向量的运算(三) -20-6、空间向量基本定理 -27-7、空间向量运算的坐标表示及应用 -33-8、直线的方向向量与平面的法向量 -39-9、用向量方法研究立体几何中的位置关系 -45-10、空间中的角 -52-11、空间中的距离问题 -63-1、点在空间直角坐标系中的坐标一、选择题1．点P(0，2，0)位于()A．x轴上 B．y轴上C．xOy平面内 D．yOz平面内B[由于x＝z＝0，y＝2，∴P在y轴上．]2．点P(a，b，c)到坐标平面xOz的距离是()A．|a| B．|b|C．|c| D．以上都不对B[设点P在面xOz的射影为P′，则|PP′|＝|b|．]3．已知点A(2，3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为()A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C．λ＝2，μ＝10，v＝8D．λ＝2，μ＝10，v＝7D[两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7．]4．点P(1，eq\r(2)，eq\r(3))为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为()A．(0，0，eq\r(3)) B．(0，eq\r(2)，eq\r(3))C．(1，0，eq\r(3)) D．(1，eq\r(2)，0)D[由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，eq\r(2)，0)．]5．长方体ABCD­A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是()A．(0，－2，－1) B．(x，－2，z)C．(－3，－2，－1) D．(－3，y，z)B[DD1C1C所在的平面平行于xOz面，且与xOz面的距离为2，上面任意一点的y坐标都是－2，而x、z坐标可取任意实数．]二、填空题6．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为________．(0，2，1)[C(0，2，0)，|CN|＝1，∴N(0，2，1)．]7．写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的射影的坐标________，________，________．(2，0，0)(0，3，0)(0，0，4)[P(2，3，4)在x轴上的射影为(2，0，0)，在y轴上的射影为(0，3，0)在z轴上的射影为(0，0，4)．]8．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确命题的序号是________．[答案]④三、解答题9．如图，棱长为a的正方体OABC­D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．[解]因为OB′与BD′相交于点Q，所以Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，所以Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a，\f(1,2)a，z))．同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的交点，所以Q点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a，\f(1,2)a，\f(1,2)a))．10．如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1的对称中心为坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其它七个顶点的坐标．[解]长方体的对称中心为坐标原点O，∵顶点A(－2，－3，－1)．∴A关于原点的对称点C1的坐标为(2，3，1)．又∵C与C1关于坐标平面xOy对称，∴C(2，3，－1)．而A1与C关于原点对称，∴A1(－2，－3，1)．又∵C与D关于坐标平面yOz对称，∴D(－2，3，－1)．∵B与C关于坐标平面xOz对称，∴B(2，－3，－1)．又∵B1与B关于坐标平面xOy对称，∴B1(2，－3，1)．同理，D1(－2，3，1)．综上知长方体其他七个顶点的坐标为C1(2，3，1)，C(2，3，－1)，A1(－2，－3，1)，B(2，－3，－1)，B1(2，－3，1)，D(－2，3，－1)，D1(－2，3，1)．11．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点间的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对A[点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．]12．设z为任一实数，则点(2，2，z)表示的图形是()A．z轴B．与平面xOy平行的一直线C．平面xOyD．与平面xOy垂直的一直线D[(2，2，z)表示过点(2，2，0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．]13．(多选题)空间直角坐标系中，若一点到三个坐标平面的距离都是1，则下列说法正确的是()A．该点到原点的距离是eq\r(3)B．该点到原点的距离是3C．这样的点有4个D．这样的点有8个[答案]AD14．(一题两空)在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影的坐标是_______，点M(－2，4，－3)关于原点对称的点的坐标是________．(－2，0，－3)(2，－4，3)[点M在xOz上的射影为(－2，0，－3)，点M(－2，4，－3)关于原点对称的坐标为(2，－4，3)．]15．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．[解]以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．∵点E在z轴上，且为D1D的中点，∴点E坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))．过F作FM⊥AD，FN⊥DC，则|FM|＝|FN|＝eq\f(1,2)，故点F坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))．∵点G在y轴上，又|GD|＝eq\f(3,4)，∴点G坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))．过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，故|HK|＝eq\f(1,2)，|CK|＝eq\f(1,8)．∴|DK|＝eq\f(7,8)．故点H的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))．2、空间两点间的距离公式一、选择题1．已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则()A．|AB|＞|CD| B．|AB|＜|CD|C．|AB|≤|CD| D．|AB|≥|CD|D[∵|AB|＝eq\r(1－32＋2－32＋3－m2)＝eq\r(5＋3－m2)≥eq\r(5)，|CD|＝eq\r(0－22＋－1＋12＋0＋12)＝eq\r(5)，∴|AB|≥|CD|．]2．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为()A．eq\r(2)aB．eq\f(\r(2),2)aC．aD．eq\f(1,2)a[答案]B3．已知三角形的三个顶点A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则△ABC的中线AD的长为()A．eq\r(11)B．2eq\r(11)C．11eq\r(2)D．3eq\r(11)B[由中点坐标公式得，D(4，1，－2)，所以AD＝eq\r((4－2)2＋[1－(－1)]2＋(－2－4)2)＝2eq\r(11)．]4．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)两点，当|AB|取最小值时，x的值为()A．19B．－eq\f(8,7)C．eq\f(8,7)D．eq\f(19,14)C[∵|AB|＝eq\r(x－12＋5－x－x－22＋2x－1－2＋x2)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))\s\up12(2)＋\f(5,7))．∴当x＝eq\f(8,7)时，|AB|取得最小值．]5．设点P在x轴上，它到P1(0，eq\r(2)，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为()A．(1，0，0) B．(－1，0，0)C．(1，0，0)或(0，－1，0) D．(1，0，0)或(－1，0，0)D[∵点P在x轴上，∴设点P(x，0，0)，由题意|PP1|＝2|PP2|，∴eq\r(x－02＋0－\r(2)2＋0－32)＝2eq\r(x－02＋0－12＋0＋12)，解得x＝±1．]二、填空题6．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和B(2，－1，6)的距离是_______．eq\r(86)[|AB|＝eq\r(－3－22＋4＋12＋0－62)＝eq\r(86)．]7．已知A(1，1，1)，B(3，3，3)，点P在y轴上且|PA|＝|PB|，则P点坐标为________．(0，6，0)[设P(0，y，0)，∵|PA|＝|PB|，∴eq\r(1＋1－y2＋1)＝eq\r(32＋3－y2＋32)，解得y＝6．∴P点坐标为(0，6，0)．]8．已知A(3，5，－7)和点B(－2，4，3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影长度为________．eq\r(101)[∵A(3，5，－7)在平面yOz上的射影为A′(0，5，－7)，B(－2，4，3)在平面yOz上的射影为B′(0，4，3)，∴|A′B′|＝eq\r(0－02＋5－42＋－7－32)＝eq\r(101)．]三、解答题9．如图，在棱长分别为2，4，3的长方体ABCD­A1B1C1D1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长．[解]以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)，∴|AD1|＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，|AB1|＝eq\r(2－22＋42＋32)＝5，|AC1|＝eq\r(2－02＋－42＋－32)＝eq\r(29)．10．求点M(4，－3，5)到x轴的距离．[解]设MH⊥x轴于H，则Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，0，0))，所以点M到x轴的距离为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MH))＝eq\r((4－4)2＋(－3－0)2＋(5－0)2)＝eq\r(34)．11．已知三点A(－4，－1，－9)，B(－10，1，－6)，C(－2，－4，－3)，则()A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．三点构不成三角形C[因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＝49，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))2＝98，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CA))2＝49，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CA))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))2，且|AB|＝|CA|，所以这三点构成等腰直角三角形．]12．已知A(－4，2，3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于()A．8B．12C．16D．19A[依题意A1(－4，－2，3)，A2(4，2，3)，所以|AA2|＝eq\r(－4－42＋2－22＋3－32)＝8．]13．(多选题)在空间直角坐标系中，下列说法正确的是()A．方程z＝0表示坐标平面xOyB．方程x2＋y2＋z2＝1表示以坐标原点为球心，1为半径的球面C．方程x2＋y2＝1表示以坐标原点为圆心，1为半径的面D．方程x2＋y2＝0表示z轴[答案]ABD14．(一题两空)点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2，3，eq\r(3))，则|PA|的最小值是________，|PA|的最大值是________．35[因为x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，|OA|＝eq\r(－22＋32＋\r(3)2)＝4．所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))min＝|OA|－|OP|＝4－1＝3，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))max＝|OA|＋|OP|＝4＋1＝5．]15．已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|．[解]∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1．以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2，2，0)，D(－2，－2，0)，P(0，0，1)．∴G点的坐标为Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1，\f(1,2)))，∴|BG|＝eq\r(32＋32＋\f(1,4))＝eq\f(\r(73),2)．3、从平面向量到空间向量空间向量的运算(一)一、选择题1．在空间中，下列结论正确的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)) B．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→)) D．eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))B[根据空间向量的加减运算可得B正确．]2．给出下列命题：①向量eq\o(AB,\s\up7(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up7(→))的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量eq\o(AB,\s\up7(→))与向量eq\o(CD,\s\up7(→))是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为()A．2B．3C．4D．5C[①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4．]3．下列等式中，正确的个数为()①－(－a)＝a；②a＋0＝a；③a＋(－a)＝0；④0－a＝－a．A．1B．2C．3D．4D[根据相反向量的概念知①②③④正确，所以正确的个数为4．故选D．]4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(C1A1,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) D．eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB1,\s\up7(→))A[在A选项中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(C1A1,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0．]5．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(DO,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，则四边形ABCD是()A．平行四边形 B．空间四边形C．等腰梯形 D．矩形A[由于eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(DO,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，从而|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，且AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形．]二、填空题6．(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))运算的结果是________．eq\o(AC1,\s\up7(→))[(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))．]7．已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，则下列四式中正确的序号是________．①eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))；②eq\o(AC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(B′C′,\s\up7(→))＋eq\o(CC′,\s\up7(→))；③eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\o(CC′,\s\up7(→))；④eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(C′C,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))．①②③[eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，①正确；eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(B′C′,\s\up7(→))＋eq\o(CC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC′,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))，②正确；③显然正确；eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(C′C,\s\up7(→))＝eq\o(AB′,\s\up7(→))＋eq\o(B′C′,\s\up7(→))＋eq\o(C′C,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，④错．]8．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|．其中正确命题的序号为________．③[对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．]三、解答题9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1)若A，B，C，D四点在一条直线上，则eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))共线；(2)互为相反向量的向量的模相等；(3)任一向量与它的相反向量不相等．[解](1)正确．因为A，B，C，D四点在一条直线上，所以eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))一定共线．(2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．(3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的．10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，化简向量表达式：(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))；(2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＋eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))．[解](1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0．(2)因为eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＝－eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))，所以原式＝eq\o(AA1,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝0．11．已知正方体ABCD­A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有()①eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))与eq\o(OB′,\s\up7(→))＋eq\o(OC′,\s\up7(→))是一对相反向量；②eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))与eq\o(OA′,\s\up7(→))－eq\o(OD′,\s\up7(→))是一对相反向量；③eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))与eq\o(OA′,\s\up7(→))＋eq\o(OB′,\s\up7(→))＋eq\o(OC′,\s\up7(→))＋eq\o(OD′,\s\up7(→))是一对相反向量；④eq\o(OA′,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))与eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC′,\s\up7(→))是一对相反向量．A．1个B．2个C．3个D．4个C[如图所示，①eq\o(OA,\s\up7(→))＝－eq\o(OC′,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OB′,\s\up7(→))，所以eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝－(eq\o(OB′,\s\up7(→))＋eq\o(OC′,\s\up7(→)))，是一对相反向量；②eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(OA′,\s\up7(→))－eq\o(OD′,\s\up7(→))＝eq\o(D′A′,\s\up7(→))，而eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(D′A′,\s\up7(→))，故不是相反向量；③同①也是正确的；④eq\o(OA′,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC′,\s\up7(→))＝eq\o(C′C,\s\up7(→))＝－eq\o(AA′,\s\up7(→))，是一对相反向量．]12．已知向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))满足|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|Aeq\o(C,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|，则()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))同向 D．eq\o(AC,\s\up7(→))与eq\o(CB,\s\up7(→))同向D[由|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＋|eq\o(CB,\s\up7(→))|知，A，B，C三点共线且C点在线段AB上，所以eq\o(AC,\s\up7(→))与eq\o(CB,\s\up7(→))同向．]13．(多选题)下列说法中，正确的是()A．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(A1C1,\s\up7(→))B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合C．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(CD,\s\up7(→))，则eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))互为相反向量D．若eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))互为相反向量，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(CD,\s\up7(→))ACD[A正确．B错误．由eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，知|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(CD,\s\up7(→))|，且eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))同向，但A与C，B与D不一定重合．C正确．eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(CD,\s\up7(→))，且eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))为非零向量，所以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))互为相反向量．D正确．]14．(一题两空)已知|a|＝|b|＝1．(1)|a＋b|的取值范围是________．(2)若|a－b|＝eq\r(3)，则|a＋b|＝________．[0，2]1[(1)|a＋b|∈[0，2]．(2)∵|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2＝4，∴|a＋b|＝1．]15．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．(1)eq\o(AB1,\s\up7(→))－eq\o(AD1,\s\up7(→))，eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(AD1,\s\up7(→))．(2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AD1,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AD1,\s\up7(→))．[解](1)如图所示，eq\o(AB1,\s\up7(→))－eq\o(AD1,\s\up7(→))＝eq\o(D1B1,\s\up7(→))，eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(AD1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C2,\s\up7(→))＝eq\o(AC2,\s\up7(→))．(2)如图所示，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AD1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AD1,\s\up7(→))＝eq\o(D1C,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AD1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC3,\s\up7(→))＝eq\o(AC3,\s\up7(→))4、空间向量的运算(二)一、选择题1．下列各式计算正确的是()A．a＋b－(a＋b)＝2aB．2(a＋b)＋c＝2a＋b＋cC．3(a－b)＋3(a＋b)＝0D．a＋b－(b－3c)＝a＋3cD[A不正确，结果应为0；B不正确，结果应为2a＋2b＋c；C不正确；结果应为6a；D正确，故选D．]2．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、DA[因为eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b．eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(BD,\s\up7(→))，由于eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BD,\s\up7(→))有一个公共点B，所以A、B、D三点共线．]3．设空间中四点O，A，B，P满足eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))，其中0<t<1，则有()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的延长线上C．点P在线段BA的延长线上D．点P不一定在直线AB上A[∵0<t<1，∴点P在线段AB上．]4．如图，在空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up7(→))等于()A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)cB[eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋(b－a)＋eq\f(1,2)(c－b)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c．]5．下列命题中，正确命题的个数为()①若a∥b，则a与b方向相同或相反；②若eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，则A，B，C，D四点共线；③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)．A．0B．1C．2D．3A[当a，b中有零向量时，①不正确；eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故②不正确；由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确．]二、填空题6．在正四面体O­ABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up7(→))＝________(用a，b，c表示)．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c[如图，eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c．]7．若eq\f(1,3)(x－2a)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋b－\f(2,3)x))＋3b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________．eq\f(2,5)a－eq\f(3,5)b＋eq\f(6,5)c[据向量的加法、减法整理、运算可得x＝eq\f(2,5)a－eq\f(3,5)b＋eq\f(6,5)c．]8．在三棱锥A­BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))的结果为________．0[如图，延长DE交边BC于点F，则eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))＋Aeq\o(D,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，故eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝0．]三、解答题9．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝c，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＋eq\o(PQ,\s\up7(→))＝0．[证明]设eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝c，则eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(GH,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，∴eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＋eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＝0．10．如图，设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．求证：eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))．[证明]连接BG，延长后交CD于点E．由G为△BCD的重心，得eq\o(BG,\s\up7(→))＝2eq\o(GE,\s\up7(→))．且CE＝ED，∵eq\o(AG,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝2(eq\o(AE,\s\up7(→))－eq\o(AG,\s\up7(→)))，∴eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up7(→))＋\o(AD,\s\up7(→)),2)，∴eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))．11．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))a＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))b成立的充分条件是()A．|a|＝|b| B．a＝－bC．a∥b D．a＝eq\f(1,2)bD[由a＝eq\f(1,2)b，得b＝2a，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b))(2a)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))(2a)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))a．故选D．]12．在空间中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝c，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，若点D满足eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A．eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B．eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC．eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D．eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)cA[∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝2(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c．]13．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n．AB[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；D中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．]14．(一题两空)已知|a|＝5，a＝λb．(1)若b与a的方向相同，且|b|＝7，则λ的值为________．(2)若b与a的方向相反，且|b|＝7，则λ的值为________．eq\f(5,7)－eq\f(5,7)[由于eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(5,7)，所以当a，b同向时，所以a＝eq\f(5,7)b；当a，b反向时，所以a＝－eq\f(5,7)b．]15．如图，四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断eq\o(CE,\s\up7(→))与eq\o(MN,\s\up7(→))是否共线？[解]∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))．又eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))－eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))－eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))．∴eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋2eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＝2(eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FN,\s\up7(→)))＝2eq\o(MN,\s\up7(→))，即eq\o(CE,\s\up7(→))＝2eq\o(MN,\s\up7(→))．即eq\o(CE,\s\up7(→))与eq\o(MN,\s\up7(→))共线．5、空间向量的运算(三)一、选择题1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为()A．－6B．6C．3D．－3B[由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6．]2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°C[由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0．∴cosθ＝－eq\f(|b|2,2|a||b|)＝－eq\f(|b|2,2|b|2)＝－eq\f(1,2)，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°．]3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A．eq\o(PC,\s\up7(→))与eq\o(BD,\s\up7(→)) B．eq\o(DA,\s\up7(→))与eq\o(PB,\s\up7(→))C．eq\o(PD,\s\up7(→))与eq\o(AB,\s\up7(→)) D．eq\o(PA,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))A[选A．可用排除法．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，排除D．又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以eq\o(DA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝0，同理eq\o(PD,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，排除B，C，故选A．]4．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．6eq\r(2) B．6C．12 D．144C[因为eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))，所以eq\o(PC,\s\up7(→))2＝eq\o(PA,\s\up7(→))2＋eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(BC,\s\up7(→))2＋2eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＋2eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，所以PC＝12．]5．设空间中有四个互异的点A，B，C，D，已知(eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))－2eq\o(DA,\s\up7(→)))·(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝0，则△ABC是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形B[因为eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))－2eq\o(DA,\s\up7(→))＝(eq\o(DB,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→)))＋(eq\o(DC,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))，所以(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|2－|eq\o(AC,\s\up7(→))|2＝0，所以|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|，即△ABC是等腰三角形．]二、填空题6．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝________．0[原式＝eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))·(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·(eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝0．]7．如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝________．14[由eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))，得eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))2＝4×3×cos60°＋0＋eq\f(1,2)×42＝14．]8．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．90°[不妨设棱长为2，则eq\o(AB1,\s\up7(→))＝eq\o(BB1,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up7(→))，cos〈eq\o(AB1,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(BB1,\s\up7(→))－\o(BA,\s\up7(→))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up7(→))＋\f(1,2)\o(BB1,\s\up7(→)))),2\r(2)×\r(5))＝eq\f(0－2＋2－0,2\r(2)×\r(5))＝0，所以〈eq\o(AB1,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))〉＝90°．]三、解答题9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1．(1)求〈eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))〉的余弦值；(2)求证：eq\o(BD1,\s\up7(→))⊥eq\o(EF,\s\up7(→))．[解](1)eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(C1E,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))．因为eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝0，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AA1,\s\up7(→))＝0，eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AA1,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up7(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up7(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,2)\o(AA1,\s\up7(→))))＝eq\f(1,2)．又|eq\o(AF,\s\up7(→))|＝|eq\o(CE,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(5),2)，所以cos〈eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))〉＝eq\f(2,5)．(2)证明：因为eq\o(BD1,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(ED1,\s\up7(→))＋eq\o(D1F,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))，所以eq\o(BD1,\s\up7(→))·eq\o(EF,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(BD1,\s\up7(→))⊥eq\o(EF,\s\up7(→))．10．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c．(1)试用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up7(→))；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．[解](1)eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(B1N,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(c－a)＋a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c．(2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×eq\f(1,2)＋2×1×1×eq\f(1,2)＝5，所以|a＋b＋c|＝eq\r(5)，所以|eq\o(MN,\s\up7(→))|＝eq\f(1,3)|a＋b＋c|＝eq\f(\r(5),3)，即MN＝eq\f(\r(5),3)．11．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°C[根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→)))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋|eq\o(CD,\s\up7(→))|2＋eq\o(DB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝|eq\o(CD,\s\up7(→))|2＝1，所以cos〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up7(→))·\o(CD,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))||\o(CD,\s\up7(→))|)＝eq\f(1,2)，所以AB与CD所成的角为60°．]12．在三棱锥O­ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF＝()A．2B．4C．eq\r(3)D．3A[因为eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(OF,\s\up7(→))－eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))，所以|eq\o(EF,\s\up7(→))|2＝eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))2＝eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up7(→))2＋eq\o(OC,\s\up7(→))2＋eq\o(OA,\s\up7(→))2＋2eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))－2eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))－2eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→)))．又由已知得|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝2，eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝2×2×eq\f(1,2)＝2，所以|eq\o(EF,\s\up7(→))|2＝eq\f(1,4)(4＋4＋4＋4)＝4．所以|eq\o(EF,\s\up7(→))|＝2，即EF＝2．]13．(多选题)已知a，b是两个非零向量，下列结论中，正确的是()A．a·b＞0⇔〈a，b〉∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B．a·b＝0⇔〈a，b〉＝eq\f(π,2)C．a·b＜0⇔〈a，b〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D．|a·b|＝|a||b|⇔〈a，b〉＝0ABC[只有D是假命题．]14．(一题两空)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则eq\o(B1C,\s\up7(→))与eq\o(A1P,\s\up7(→))所成角的大小为________，eq\o(B1C,\s\up7(→))·eq\o(A1P,\s\up7(→))＝________．60°1[法一：连接A1D，则∠PA1D就是eq\o(B1C,\s\up7(→))与eq\o(A1P,\s\up7(→))所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq\r(2)，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即eq\o(B1C,\s\up7(→))与eq\o(A1P,\s\up7(→))所成角的大小为60°．因此eq\o(B1C,\s\up7(→))·eq\o(A1P,\s\up7(→))＝eq\r(2)×eq\r(2)×cos60°＝1．法二：根据向量的线性运算可得eq\o(B1C,\s\up7(→))·eq\o(A1P,\s\up7(→))＝(eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up7(→))))＝eq\o(AD,\s\up7(→))2＝1．由题意可得PA1＝B1C＝eq\r(2)，则eq\r(2)×eq\r(2)×cos〈eq\o(B1C,\s\up7(→))，eq\o(A1P,\s\up7(→))〉＝1，从而〈eq\o(B1C,\s\up7(→))，eq\o(A1P,\s\up7(→))〉＝60°．]15．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为eq\r(2)．(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为eq\f(π,3)，求侧棱的长．[解](1)证明：eq\o(AB1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))，eq\o(BC1,\s\up7(→))＝eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))．因为BB1⊥平面ABC，所以eq\o(BB1,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，eq\o(BB1,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0．又△ABC为正三角形，所以〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＝π－〈eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)．因为eq\o(AB1,\s\up7(→))·eq\o(BC1,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))·(eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝Aeq\o(B,\s\up7(→))·eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))2＋eq\o(BB1,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|·|eq\o(BC,\s\up7(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＋eq\o(BB1,\s\up7(→))2＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1．(2)结合第一问知eq\o(AB1,\s\up7(→))·eq\o(BC1,\s\up7(→))＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|·|eq\o(BC,