山东省济南市历下区某中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试题（解析版）

山东省济南实验中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷

一.选择题(共10小题，4*10=40分)

1.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为()

【答案】C

【解析】

【分析】由勾股定理即可求出答案.

【详解】解：由勾股定理可知：=36+64=100,

故选：C.

【点睛】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，熟练掌握勾股定理的运算法则是解题的关键.

2.如图，平面直角坐标系中点尸的坐标是()

4---------11

I

I

h_____________________

-2Ox

A.(2,1)B.(—2,1)C,(1,—2)D.(-2,-1)

【答案】B

【解析】

【分析】根据点的坐标的定义判断即可.

【详解】解：由图可得，点P的横坐标是-2,纵坐标是1,故点尸的坐标为(-2,1).

故选：B.

【点睛】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标的定义是解答本题的关键.

3.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是()

A.2,3,4B.6,8,10C.5,12,14D.1,1,2

【答案】B

【解析】

【分析】先求出较小两边的平方和，再求出最长边的平方，判断是否相等即可.

【详解】解：A.：22+32卢12,.•.以2,3,4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

8.♦..62+82=102,.•.以6,8,10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；

C.：52+122次142,；.5,12,14为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

D•.T2+i2¥22,.•.以1,1,2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理逆定理的内容是解题关键，注意：如果一个三角

形的两边6的平方和等于第三边的平方，即片+从=02,那么这个三角形是直角三角形.

4.下列说法正确的个数为（）

①有理数与无理数的差都是有理数；

②无限小数都是无理数；

③无理数都是无限小数；

④两个无理数的和不一定是无理数；

⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了有理数、无理数的概念和性质，熟练掌握有理数、无理数的概念和性质是解题的关

键.

根据有理数、无理数的概念和性质进行分析，判断每个说法的正确性即可.

【详解】解：①有理数与无理数的差不一定是有理数，例如：1-0,故该项不正确；

②无限小数不都是无理数，无限循环小数是有理数，故该项不正确；

③无理数都是无限小数，故该项正确；

④两个无理数的和不一定是无理数，例如、后+卜君）=0是有理数，故该项正确；

⑤无理数分为正无理数、零、负无理数，0不是无理数，故该项不正确；

故正确的个数有2个；

故选：A

5.下列说法中，正确的是（）

A.0.09的平方根是0.3B.=+2

C.0的立方根是0D.1的立方根是±1

【答案】C

【解析】

【分析】根据平方根的意义、立方根的意义，可得答案.

【详解】解：A、因为(±0.3)2=0.09,所以0。9的平方根是±o.3,原选项错误，此项不符合题意；

B、74=2.原选项错误，故此项不符合题意；

C、。的立方根是0,原选项正确，故符合题意；

。、1的立方根是1,原选项错误，故不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了平方根和立方根的意义，熟知平方根的意义、立方根的意义是解题关键.

6.若中，AB=c,AC=b,BC=a,下列不能判定为直角三角形的是()

A.a-3",b—A2,c=5~B.a:Z?:c=5:12:13C.(c+Z?)(c—&)=ci~D./>+/3=/C

【答案】A

【解析】

【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项A、8、C、是否符合题意，根据三角形内角和定理可以判

断选项。是否符合题意，本题得以解决.

【详解】解：A、«=32，b=42,c=52,则02+。2#02,故金。不是直角三角形，选项A符合题

忌；

B、当a:Z?:c=5:12:13时，设a=5x,b=12x,c=13x,则/十廿=(5尤y+(i2x『=c?,故AABC

是直角三角形，选项8不符合题意；

C、由(。+3(。-勿=/整理得：a2+b2^c2^故是直角三角形，选项C不符合题意；

D、由NA+N5=NC,可知NC=90°,故44BC是直角三角形，选项。不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.

7.在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3a—5,a+1).若点A到无轴的距离与到y轴的距离相等，贝Ua

的值为()

A.1B.2C.3D.1或3

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，根据点到y轴的距离为横坐标的绝对值，点到x轴的距离为纵

坐标的绝对值建立方程|3a-5|=|。+1],解方程即可得到答案.

【详解】解：：点A(3a-5,a+1)至Ux轴的距离与至Uy轴的距离相等,

|3tz-5|=|tz+1|,

3a—5=。+1或3a—5=,

解得a=3或a=1,

故选D.

8.如图，正方体的棱长为4cm,A是正方体的一个顶点，从点A爬到点B的最短路径是()

A.9B.3a+6C.2MD.12

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理，二次根式的化简，解题的关键是将正方体的左侧面与前面展

开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可.

【详解】如图，

9.如图，将边长为8cm的正方形纸片A3CD折叠，使点。落在边的中点E处，折痕为MN,则线段

CN的长是(

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，先根据题意得到3C=CD=8cm,NC=90°,则由

线段中点的定义得到CE=4cm,由折叠的性质可得EN=DN,设EN=DN=xcm,则

GV=(8-x)cm,在RtZkCEN中，由勾股定理建立方程尤2=42+(8-尤)，解方程即可得到答案.

【详解】解：由题意得，BC=CD=8cm,NC=90°,

:点E是的中点，

/.CE=—BC=4cm,

2

由折叠的性质可得EN=DN,

设EN=DN=xcm,则。V=CD-DA^=(8-x)cm,

在RtZXCEN中，由勾股定理得KN?=CE2+CN\

x2=42+(8-%)2,

解得x=5,

8—x=3,

CN=3cm,

故选A.

10.设耳=1+产+中,$2=1+-yH—5,$3=1-1—-H,…，S〃_l+2+<2,则

223233242n(n+1)

-----J§24的值为()

624后24575

AC.—D.-----

2552524

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了数字规律，求算术平方根，分别求出拇、厄、&，找到规律再计算即可.

,11c19■+L1+-

【详解】S]=1+-+—=2+-=-=

I22244(1/6=222

。11111149⑺2」

$2=1+中+?=1+丁丁石卜危飞

623

111111169/13丫r^_131_11

3242916144(⑵，121234

——12

11n(n+l)+l,1,11

Sn=1+—+-------r=—~，JS”=1+(,1、=1+--------yr

n(n+1)[n(n+l)J小+1)nn+1

」+1+」+1+-J"

12232425

11111

=24+--------1--------------H,••H-----------

122324J

624

~^5'

故选：A.

二.填空题（共6小题，4*6=24分）

11.一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,则这个三角形第三边的长为

【答案】5

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键.根据勾股

定理求解即可.

【详解】解：由勾股定理得：第三边的长为J32+4?=5,

故答案为：5.

12.若图中所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为9cm2,则

图中所有的正方形的面积之和为—cm2.

【答案】27

【解析】

【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以得出：A、E、C、。的面积之和等于正方形2和3的面

积之和，而正方形2和3的面积之和等于正方形1的面积，利用等量代换即可得出结果.

【详解】解：如图所示，

根据勾股定理可知,

S2+S3=Sx,

SC+SD=S3,

SA+Sf=S2,

Sc+SD+SA+sE=S],

则S]+S,+S3+Sc+sD+sA+sE

=3S]

=3x9

=27(cm2)

故答案为：27.

【点睛】本题主要考查的是勾股定理，解题关键是注意运用勾股定理和正方形的面积公式证明结论.

13.已知a、6满足Ja-2+|/+3|=0,则(a+b)2021的值为.

【答案】-1

【解析】

【分析】要使＞/^+b+3|=0,只有当J口=0和弧+3|=0时成立.即此时a—2=0,6+3=0,解

出a和6,代入(a+6)2必中求出结果即可.

【详解】由题意可知a—2=0,b+3=0,

a=2,b——3.

：.3+6)2021=(2—3严21=-L

故答案为：-1.

【点睛】本题考查非负数的性质，几个非负数的和为0时，那么这几个非负数都为0.

14.已知产点坐标为(4-a,3a+9),且点P在x轴上，则点尸的坐标是.

【答案】(7,0)

【解析】

【分析】根据x轴上点纵坐标为0列方程求出。，再求解即可.

【详解】；尸点坐标为(4-a,3a+9),且点P在x轴上，

3a+9=0,

解得a=—3,

4—a=4—(—3)=7,

所以，点尸坐标为(7,0).

故答案为:(7,0).

【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为。是解题的关键.

15.如图，实数-石，加，机在数轴上所对应的点分别为A,B,C,点B关于原点。的对称点为

D.若小为整数，则优的值为.

DCAO「

【答案】-3

【解析】

【分析】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解

等问题.先求出。点表示的数，再得到，”的取值范围，最后在范围内找整数解即可.

【详解】解：：点2关于原点。的对称点为。，点B表示的数为

...点。表示的数为-JF，

点表示-百，C点位于A、D两点之间，

/.-A/15<m<Y，

,：m整数,

m=—3；

故答案为：-3.

16.如图，放△ABC中，ZBAC=9Q°,分别以△ABC三条边为直角边作三个等腰直角三角形:

△ABD、△ACE、ABCF,若图中阴影部分的面积乱=6.5,$2=3.5,$3=5.5,贝。8=.

BC

【答案】2.5

【解析】

【分析】DE分别交BF、CF于点、G、点、H；设AB=B£)=a,AC=CE=b,BC=CF=c,

SS

SAABC=m,S&ACH=〃，由/+〃=°2，可得S^D+AACE=ABCF，由此构建关系式，通过计算即

可得到答案.

【详解】如图，OE分别交BF、CF于点G、点H

；AABD、AACE,△BCP均是等腰直角三角形

：.AB=BD,AC=CE,BC=CF,

设A8=8£)=a,AC=CE=b,BC=CF=c,SAABC=m,S^ACH-n

a2+b2—c2

,^AABD=S]+根,^AACE="+S4,S&BCF=S?+S3+"Z+”

S[+m+n+S4-Sr,+S3+m+n

S4=S,+邑—S]=3.5+5.5—6.5=2.5

故答案为：2.5.

【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性

质，从而完成求解.

三.解答题（4小题，共计36分）

17.计算：

(1)A/45+V18-^/8+>/i25;

V27+V2xV6+V20-5^1；

(3)

(4)A/16+|V3-1|+V27.

【答案】(1)875+72;

(2)1；(3)56+6;

(4)6+73.

【解析】

【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可得解；

（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；

（3）先化简二次根式及计算二次根式的乘法，再合并即可得解;

（4）先化简二次根式及求立方根和绝对值，再合并即可得解.

【小问1详解】

解：而+M-氓+

=3A/5+3A/2-2A/2+5^

=875+72;

【小问2详解】

解:得®后

=1;

【小问3详解】

解:727+72x76+V20-5^1

=36+26+2百-百

=5石+如；

【小问4详解】

解：A/16+|A/3-1|+^27-

=4+痒1+3

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的乘除、绝对值、立方根等知识，关键是熟练运

用法则进行计算.

18.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾AE到大厦墙面），升起云梯A3到火

灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问:发生火灾的住户窗口距离地面的高度BD是多少？

DE

【答案】15米

【解析】

【分析】根据A5和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的长.

【详解】解：过点A作AC人①），垂足为C,如图所示：

B

由题意可知：AE=CD=3米，AC=9米，AB=15米;

在RtZXABC中，根据勾股定理，得AC?+,

BPBC2+92=152，

BC2=152-92=144,

:.BC=12(:米)，

:.BD=BC+CD=n+3=15(米).

答:发生火灾的住户窗口距离地面的高度为15米.

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练记忆勾股定理公式是解题关键.

19.已知:4(0,1),3(2,0),C(4,3)

(2)设点P在y轴上，且△A3。与AABC的面积相等，求点尸的坐标.

【答案】(1)4(2)(0,5)或(0,—3)

【解析】

【分析】(1)过点C作轴，垂足为E,尤轴，垂足为尸，根据AABC的面积等于长方形的面

积减去三个直角三角形的面积进行计算即可得到答案；

=

(2)当点2在y轴正半轴时,S-BP=SAOBP-S-OB，当点尸在了轴负半轴时,/\ABP^AOBP+^AAOB,

分别建立方程进行计算即可得到答案.

【小问1详解】

解：过点C作轴，垂足E,轴，垂足为F

……"……

O_BFx

则四边形EOPC是长方形，EO=CF=3,OF=EC=4,03=2,BF=2,AE=2,A（9=1

：

.SaEOFC=EO.FO=n,SAAEC=^AE.EC=4,1^AOB=^O-OB=1,SABFC=^BF-FC=3,

・・^/XABC~S^EOFC~S4AEC—$4AOB—^BFC~4;

【小问2详解】

解：设尸（0,加），

当点尸在y轴正半轴时，如下图所示，

八〉

P-

……X…一、

0Bx

则SAABP=SAOBP-S“o8=2—1=m~l,

,*e\ABC-4,

m-1=4,

m=5,

PQ5）；

当点尸在y轴负半轴时，如下图所示，

ABC=4,