2024-2025学年湖南省师大附中高三上学期月考（二）数学试题及答案

湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）数学命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11+iz=1.的虚部是（）112−1A.1B.C.−D.2a−b=3b2.a是单位向量，向量b满足A.2B.43.已知角θ的终边在直线y=2x上，则，则的最大值为（）C.3D.1θsinθ+θ的值为（）231321A.−B.−C.D.33x+−<e3a,x0()=fx对任意的∈，且≠1,2R12，总满足以下不等关系：4.已知函数x2+a,x≥0()−()f1f2>0a，则实数的取值范围为（）1−2343Aa≤B.a≥C.a1≤a≥1D.4AB,CDAB⊥CD，三棱锥5.如图，圆柱的母线长为分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且8A−BCD的体积为，则圆柱的表面积为（）392A.10πB.πC.4πD.8π6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于,B两l2+3点，则的最小值为（）5A.6+B.26+5C.46+10πD.112ππ()=(+ϕ)，其中ϕ<若x∈R，都有+=−则=()的图fx.fxxfxfxy7.设函数.2441y=x−1的交点个数为（象与直线）4A.1B.2C.3D.4()()满足：()≠()()−()⋅()=(−)，且fxy8.已知定义域为R的函数fx,gxg0fxgyfygx()()−()()=(−)，则下列说法正确的是（gxgyfxfygxy）()=f01A.B.()是偶函数fx12()+()=C.若f1g1，则()−()=22024f2024g2024()−()=，则()+()=g1f11f2024g20242D.若､二多选题：本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目3618.要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）1(1−3)2+(2−3)2+(−3)2，则这组样本数据的总和等于s2=+A.一个样本的方差20x,x,,x2x−2x−210−1，的标准差为12B.若样本数据的标准差为，则数据12C.数据27,23的第百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小fxax3bx2()=−+10.已知函数，则（）f(x)的值域为RA.B.fx()图象的对称中心为(2)−时，f(x)在区间(−1)内单调递减C.当ba>0()有两个极值点fxD.当0时，>我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个太极函数，则下列命题中正确的是（）()=+是圆=1的一个太极函数fxsinx1O:x2+(y−2A.函数B.对于圆O:xC.对于圆O:x22+y+y22=1的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数=1的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形fxkx3kR()=−(∈)是圆2+y2=115的太极函数，则∈(−2)kD.若函数O:x､三填空题：本题共小题，每小题分，共35.分y=2x−x()处的切线与抛物线1,2y=ax−ax+2相切，则a=__________.212.在点ꢁ2ꢂ2ꢃ2､F,2，若P为椭圆C113.已知椭圆=1(ꢅ>ꢆ>0)的左右焦点分别为上一点，ꢀ:+ꢄ2c⊥FFF的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率为______.112123x()=+(x>4)，若a是从2,3,4四个数中任取一个，b14.设函数fxax24六是从x−4个数中任取一个，则f(x)>b恒成立的概率为__________.四解答题：本题共小题，共77分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.､5.､中，角所对的边分别为，已知(+)(−)=(−)15.在ABC,B,Ca,b,cbcsinBsinCacsinA.（1B；33（2的面积为，且AD=2，求BD的最小值.423，点2在双曲线E上，点1,F分别为双曲线的2x16.已知双曲线E的焦点在轴上，离心率为3､.左右焦点（1E的方程；（2作两条相互垂直的和Fll，与双曲线的右支分别交于A，CB,D两点和两点，求四边形212ABCD面积的最小值.1BABC−ABC,AB=2AB=42,P为棱1B117.如图，侧面上的动点.水平放置的正三棱台，侧棱长为111111AA1⊥1B；1（1）求证：平面5（2）是否存在点P，使得平面与平面存在，请说明理由.ABC的夹角的余弦值为111？若存在，求出点P；若不{}同时满足下列两个性质：①存在M>0，使得an；②{}为单调an*18.若无穷正项数列n<M,n∈N数列，则称数列{}具有性质P.ann13（1n2nb，=−=n{}{}a,b（）判断数列是否具有性质P，并说明理由；nnS=ab+ab++ab{}是否具有性质，并说明理由；S（）记，判断数列Pn1122nnn12()<p<（2）已知离散型随机变量X服从二项分布Bn,p,0Xc.，记为奇数的概率为证明：数列n{}具有性质cP.nx−24e()=19已知函数fx−g(x)=−x2+ax−a2−a∈（aR且a<2）.2x，x（1）令ϕ(x)=f(x)−g(x),h(x)是ϕ(x)的导函数，判断h(x)的单调性；（2f(x)≥g(x)对任意的x∈+∞)恒成立，求的取值范围.a湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）数学命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11+iz=1.的虚部是（）112−1A.1B.C.−D.2【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.11−i(+)(−)1−i1iz====−【详解】因为，1+i1i1i2221−所以其虚部为，故C正确.2故选：C.a−b=3b2.a是单位向量，向量b满足，则的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】==ab−=3B在以A为圆心，3a,bb何意义，可得的最大值.【详解】==ab−=3，设a,b，因为即−==3，即AB=3，所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，=1，又a是单位向量，则+=1+3=4b故最大值为故选：B.3.已知角θ的终边在直线y=2x上，则，即的最大值为4.θsinθ+θ的值为（）2313213A.−B.−C.D.3【答案】D【解析】cosθsinθ+cosθ1+tanθ1【分析】由角θ的终边，得θ=2，由同角三角函数的关系得=，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线y=2xθ=2.上，所以cosθsinθ+cosθ1+tanθ1+2111===.所以3故选：D.x+−<e3a,x0()=fx对任意的∈，且≠1,2R12，总满足以下不等关系：4.已知函数x2+a,x≥0()−()f1f2>0a，则实数的取值范围为（）1−2343A.a≤B.a≥C.a1≤a≥1D.4【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.()−()f1fx2>0⇒f(x)在ꢀ上单调递增，1−2x+−<e3a,x0fx=又()，x2+a,x≥0f(x)=e+3−a单调递增，x当x0时，<当x≥0时，()单调递增，fx只需1+3−a≤0+a，解得a≥1.故选：D.AB,CDAB⊥CD，三棱锥5.如图，圆柱的母线长为分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且8A−BCD的体积为，则圆柱的表面积为（）392A.10πB.πC.4πD.8π【答案】A【解析】1【分析】取的中点O，由VA−=S⋅，可求解底面半径，即可求解.3rAB⊥CDBC=AC=BD=AD，易得，【详解】设底面圆半径为，由取的中点O，连接OC,，AB⊥OC,AB⊥OD=O,OC,OD⊂平面OCD则，又，111⋅AB=××2r×4×2r=83⊥平面OCD，所以，V=SA−BCDOCD所以AB，332解得ꢁ=，所以圆柱表面积为2r2+4×2r10π.=故选A.6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于,B两l2+3点，则的最小值为（）5A.6+B.26+5C.46+10D.112【答案】B【解析】=4xl的方程为：xty1C的方=+C的方程为y2xxAF=1+1，BF=2+1212+3出的最小值即可.11+=1，再利用基本不等式即可求解即可.（方法二）首先求出AFBFp=2因为抛物线C的焦点到准线的距离为2，故，所以抛物线C的方程为y2=4x，焦点坐标为ꢂ(1,0)，x=ty+Ax,y,Bx,y()()，不妨设y>0>y，12设直线l的方程为：11222=4xyy2−ty−4=0y1+y2t,1y2=−4，=联立方程，整理得，则x=ty+1y214y224故12=⋅=1，pꢅ=+=+21，又|ꢃꢂ|=1+=1+1，BF2222AF3BF21+=(+)+(+)=1321++≥2132526xx5265+=+则，1266=,2=23+26+5.的最小值为当且仅当1时等号成立，故23故选：B.1111x+x+212xx=1+=+==1，（方法二）由方法一可得，则12AFBFx+1x+1xx+x+x+112121212AF3BF1()=++2+3=2AF+3BF+5因此AFBFBFAF3BF2AF≥5+2⋅=5+26，AFBF66当且仅当AF=1+,BF=1+时等号成立，232+3故的最小值为26+5.故选：B.7.设函数ππ4π4()=(+ϕ)，其中ϕ<若x∈R，都有+=−则=()的图fx.fxxfxfxy.21y=x−1的交点个数为（象与直线）4A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】π4fx=cosx−【分析】利用给定条件求出()，再作出图像求解交点个数即可.π4π4【详解】对x∈R，都有f+x=f−x，πx=所以所以是ꢆ=ꢇ(ꢄ的一条对称轴，4πππk+ϕ=(∈)Zϕ<，又，42ππ4所以ϕ=−fxcosx()=−，.所以4π1fx=cosx−在平面直角坐标系中画出()y=x−1的图象，与443π3π13π3πx=−f−=−1，=×(−y)−1=−−1<−1，当当当当时，4444165π5πf15π=−1，=×−=5πx=x=x=y1−1>−1，时，4444169ππ419π=×−=9πf1=y1−1<1，时，，44416π17π4117π=×117πf1=y−=−1>1时，，444161y=x−1所以如图所示，可知ꢆ=ꢇ(ꢄ的图象与直线故选：C.的交点个数为，故C正确.4()()满足：()≠()()−()⋅()=(−)，且fxy8.已知定义域为R的函数fx,gxg0fxgyfygx()()−()()=(−)，则下列说法正确的是（gxgyfxfygxy）()=f01A.B.()是偶函数fx12()+()=C.若f1g1，则()−()=22024f2024g2024()−()=，则()+()=g1f11f2024g20242D.若【答案】C【解析】x=y=0(−)，再利用偶函数fyx【分析】对A，利用赋值法令即可求解；对B，根据题中条件求出f0−g0=1定义即可求解；对C，先根据题意求出()()(−)−(−)与()−(fx1gx1fxgx，再找出fx−1+gx−1的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D()()与()+(fxgx的关系，再根据常数列的定义即可求解.fxgy−fy⋅gx=fx−y，()()()()()【详解】对A，x=y=0f0g0f0g0()()−()⋅()=()，解得()=，故错；f0f00令，即Afxgy−fygx=fx−y对，根据()()()()()，得()()−()()=(−)，fygxfxgyfyx即()(fxfy−x=−fx−y)，故()为奇函数，故Bgxgy−fxfy=gx−y)()()()()(对，x=y=0()()−()()=()，g0g0f0f0g0令，即，()=f00∴g2(0)=g(0)，又g(0)≠0，∴()=g01，∴()−()=−f0g01，fx−y−gx−y)由题知：()(=()()−()⋅()−()()−()(fxgyfygxgxgyfxfy=()+(()−(fygyfxgx，y=1，即fx1gx1(−)−(−)=()+(()−(，f1g1fxgx令12()+()=f1g1，1∴(−)−(−)=()−(fx1gx1fxgx，2{()()是以}f0−g0=1()()2fx−gx即为首项为公比的等比数列；f2024)−g(2024)=()×22024=22024故(对D，由题意知：(=()()−()⋅()+()()−()()C正确；fx−y+gx−y))(fxgyfygxgxgyfxfy=()−(()+(，gyfyfxgxy=1，得fx1gx1(−)+(−)=()−(()+(，g1f1fxgx令又g)−f)=1，即(−)+(−)=()+()，fx1gx1fxgx即数列f(x)+g(x)为常数列，{}由上知f(0)+g(0)=1，故f2024g2024()+()=1D错.故选：C.D选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二多选题：本题共小题，每小题分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目､36.要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）1(1−3)2+(2−3)2+(−3)2，则这组样本数据的总和等于s2=+A.一个样本的方差20x,x,,x2x−2x−2x−1，的标准差为1210B.若样本数据的标准差为8，则数据12C.数据27,23的第百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由题意可得样本容量为，平均数是从而可得样本数据的总和，即可判断；对于，根据标准差为64C义，求出第百分位数，即可判断；对于D，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.1222,(1−3)+(2−3)++(20−3)【详解】解：对于A，因为样本的方差s2=20所以这个样本有个数据，平均数是这组样本数据的总和为3×20=A正确；x,x,,x的标准差为10s=8，则s2=对于B，已知样本数据64，122x−2x−,2x−1=×，其标准差为22×64=2×8=16B正数据确；的方差为22s22212对于C，数据27,30,15,17,19,23共个数，从小到大排列为27,30，由于10×0.7=7，23+24=23.5故选择第78个数的平均数作为第百分位数，即所以第百分位数是，故C错误；，2对于D8个数的平均数为，方差为2，现又加入一个新数据，8×5+58×2+−2169设此时这9个数的平均数为，方差为S2，则xx==S2==<2D正99确.故选：ABD.fxax3bx2()=−+10.已知函数，则（）f(x)的值域为RA.B.fx()图象的对称中心为(2)−时，f(x)在区间(−1)内单调递减C.当ba>0()有两个极值点D.当0时，fx>【答案】BD【解析】A研究函数的单调性结合特殊值法排除，利用极值点的定义可判定D.()为三次或者一次函数，值域均为ꢀ；fxa,b【详解】对于A至少一个不为，则{}，错误；2a,b当0时，值域为gx=fx−2=ax对于B：函数()()3−bxg(−x)=−满足+gxax3bx=−()，可知()为奇函数，其图象关于gx(0)中心对称，所以()的图象为()的图象向上移动两个单位后得到的，gxfx即关于(0,2)中心对称，正确；对于C：()′=2−，当b−a>0时，取a=−b=1，fxaxb3333x∈−,fx3x21fx′()=−+>()−在区间,上单调递增，错误；当时，3333对于D：()′=2−，当f′(x)=ax2−b=0时，有两个不相等的实数根，fxaxb>0所以函数()有两个极值点，正确.fx故选：BD.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个太极函数，则下列命题中正确的是（）()=+是圆=1的一个太极函数fxsinx1O:x2+(y−2A.函数B.对于圆O:xC.对于圆O:x22+y+y22=1的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数=1的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形fxkx3kR()=−(∈)是圆2+y2的太极函数，则∈(−2)=1kD.若函数O:x【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于AD利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于C举反例说明．【详解】对于AO:x=1，圆心为(0,1)+的图象也过2+(y−2，()=fxsinx1，且(0,1)(0,1)是其对称中心，所以f(x)=sinx+1的图象能将圆一分为二，所以A正确；3312−x−,x<−33313x+,−≤x≤032()=，对于B,C，根据题意圆O:x2+y2=1，如图fx312−3x+,0<x≤3331x−,x>332与圆交于点(−1,0)(1,0)，且在轴上方三角形面积与轴下方个三角形面积之和相等，xx()为圆O的太极函数，且()是偶函数，所以，错误；fxfxBC()()()()fx，所以为奇函数，f−x=k(−x)对于D，因为()3−k−x=−()3−=−fxk∈R由f(x)=3−=0x=0或x=1，，得所以()的图象与圆(−)()，且过圆心(0)，=1的交点为1,0,1,0fxO:x2+y2=y3−()x2x6−2k2x42+1+k22−1=0，k由，得x2+y=12()t−1=0=x2，则k2t3−2k2t2+1+k令t，即(t−1k)(22−k2t+1=0)，得t=1或k2tkt+1=0，t2−2当t1时，=x=1，t+1=0时，若k=0，则方程无解，合题意；当k2t2−k2k−4)k≠0，则Δ=k4−4k2=k22若，若Δ0，即0k<<2<4时，方程无解，合题意；k∈−2)时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，(所以若Δ=0，即k=±2时，函数与圆有个交点，将圆分成四部分，4若Δ>0，即k2>4时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，k∈−2)，所以D正确.(所以故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．､三填空题：本题共小题，每小题分，共3515.分y=2x−x()处的切线与抛物线1,2y=ax−ax+2相切，则a=__________.212.在点【答案】1【解析】y=2x−x()1,2y=ax−ax+22元，得到一元二次方程，其y=2x−x在点Δ=0，即可求得a.1′=−y′，则=1，x1y2【详解】由，则xy=2x−x()处的切线方程为−=−，即1,2y2x1在点y=x+1曲线，y=x+1−(a+)x+1=0当a0时，则≠−ax+2，得ax2，y=ax2Δ=(a+2−4a=0a=1.由，得故答案为：1.ꢉ2ꢊ2ꢋ2ꢌ2､F,2，若P为椭圆C113.已知椭圆的左右焦点分别为上一点，ꢈ:+=1(ꢍ>ꢎ>0)c⊥FFF的内切圆的半径为12，则椭圆C的离心率为______.11232【答案】【解析】31Fa,c2e离心率的方程，计算得到结果.b212bc2PF=，1F的面积为2⋅2c⋅PF1=【详解】由题意，可知为椭圆通径的一半，故，11aac1c(+)⋅F的内切圆的半径为，则F的面积也可表示为2ac又由于，121232311cb2c1c⋅2cPF⋅2a2c=(+)⋅=(+)⋅所以，即2a2c，1223a23整理得：2a2−acc−2=0，两边同除以a，22得e2+e−2=0，所以e=或−1，32e∈()，所以椭圆C又椭圆的离心率的离心率为.32故答案为：.3x()=+(x>4)，若a是从2,3,4四个数中任取一个，b14.设函数fxax24是从六x−4个数中任取一个，则f(x)>b恒成立的概率为__________.5【答案】##0.6258【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得是从2,3,4四个数中任取一个，bf(x)=(2a+2，转化为(2a+2>b恒成立，结合a24是从六个数中任取一个，得到基本事件总数有24成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.a>x>4，可得x−4>0个，再利用列举法，求得f(x)>b【详解】因为，x4x−44x−4()=fxax+=ax+1+ax4=(−)+++4a1≥4a+4a+1=(2a+2则，x−44当且仅当x=+4时，等号成立，故f(x)=(2a+2，a由不等式f(x)>b恒成立转化为(2a+2>b恒成立，a是从2,3,4四个数中任取一个，b是从24六个数中任取一个，因为则构成(a,b)的所有基本事件总数有个，又由(21+2=(22+=9+42∈12,16)，2(23+2=13+43∈20),(24+=25，2()>恒成立，则事件A包含事件：fx=b设事件A“不等式”()()，()()()，()()()()，1,4,82,4,2,8,2,123,4,3,8,,()()()()()()共4,4,4,8,4,12,4,16,20,255因此不等式f(x)>b=.恒成立的概率为858故答案为：.四解答题：本题共小题，共77分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.､5.､中，角所对的边分别为，已知(+)(−)=(−)15.在ABC,B,Ca,b,cbcsinBsinCacsinA.（1B；33（2的面积为，且AD=2，求BD的最小值.4πB=【答案】（）3（2）2.【解析】a2+c2−b212）利用正弦定理可得(b+cb−c=a−c)a，再结合余弦定理得B)()(，==2ac从而可求解.11323（2）结合ABC的面积可求得3，再由.BD=BC+CA=BA+BC，平方后得，=31423()2BD=c2+a2+，再结合基本不等式即可求解.99【小问1详解】由正弦定理得(b+cb−c=a−c)a，即a2c2b2ac，)()(+−=a2+c2−b2ac12由余弦定理可得cosB===，2ac2acπB∈π()，所以B=因为.3【小问2详解】334π12334因为ABC的面积为，所以=3.，所以,B=acsinB=3)1112(BD=BC+CA=BC+BA−BC=BA+BC因为，3333)194291441423()2()2()2(BD=BA+BC+2⋅BA⋅BC=c2+a2+B=c2+a+2所以，99999919421226c2+a2+≥2⋅c⋅a+=2a=,c=6时取等号，所以，当且仅当933332所以BD的最小值为2.23，点2在双曲线E上，点1,F分别为双曲线的2x16.已知双曲线E的焦点在轴上，离心率为3､.左右焦点（1E的方程；（2作两条相互垂直的直线和Fll，与双曲线的右支分别交于A，CB,D两点和两点，求四边形212ABCD面积的最小值.x2−y=12【答案】（）3（2）6【解析】233，及点2)）由c2=a2+b2和e=在双曲线上，求出Ea2,b2，即可求出的方程；E11=(−)x2=−(−)k≠0，根据题中条件确定<k<3，再将的2l（2）设直线l:ykx2,l:y，其中121k3x2−y2=1联立，利用根与系数的关系，用kBD，的长，再利用方程与表示31SABCD=ACBDABCD，即可求出四边形面积的最小值.2【小问1详解】c24因为c=a2+b2，又由题意得e2==ab22b22，则有，a2392又点2)−=1，解得=a=3，2在双曲线E上，故b2b2x2故E的方程为−y=1.23【小问2详解】l,l10根据题意，直线的斜率都存在且不为，21l:ykx2,l:y=(−)=−(−)x2k≠0设直线，其中，12k31313l,l1Ek>,−><k<3，2因为均与的右支有两个交点，所以，所以23k3x2=1联立，可得1−k)xl−y222+12k2x−12k2−3=0将的方程与.13−12k1−k2−12k2−3设(所以)()，则，Ax,y,Cx,yx+x=,xx=1122121221−k2(x+x)2−412AC=1+k2x−x=1+k21212(231+k)22−2−2−+212k12k3231k=1+k2−4×=1+k2⋅=，1−k21−k21−k2k−12(+)23k2同理BD=，3−k2()(+)k+)2231+k223k22121所以SABCD=ACBD=⋅⋅=6⋅.2−13k−2k2−3−k2)2k43+1，所以k2=t−t∈,4令t=k2，t+216SABCD=6⋅=6⋅=≥6t2t16−16162则当11，3+−216−+1ttt211=k=1，即时，等号成立.t2故四边形ABCD面积的最小值为6.1BABC−ABC,AB=2AB=42,P为棱1B，侧棱长为117.如图，侧面上的动点.水平放置的正三棱台111111AA1⊥1B；1（1）求证：平面5（2）是否存在点P，使得平面与平面ABC的夹角的余弦值为111？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由.【答案】（）证明见解析AB（2）存在，点P为中点11【解析】）延长三条侧棱交于一点O，由勾股定理证明OA⊥OB，⊥，根据线面垂直的判定定理得证；ABC和平面1的法向量，利用向量夹角公式求解.（2）建立空间直角坐标系，求出平面11【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O，如图所示，由于AB=2AB=BB=2，所以==22，11116AB2，所以OA⊥OB，同理⊥=所以2+2=又=O，OB,平面⊂，⊥平面AA1⊥1B平面.1所以，即【小问2详解】由（）知OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊥OC，如图建立空间直角坐标系，()()()()()A0,0,22,C22,0A2,B2,0,0,C2,0，111则，()()()AA=0,0,−2,AC=22,22,AB=(2−2),BC=−2,2,0所以，.11111()(2λ,0,−2λ)AP=λAB=λ2,0,−2=设，111()则AP=AA1+1P=2λ,0,−2−2,0,1λλ∈[]，设平面的法向量分别为)=(r,s,t)，ABC和平面1m=(x,y,z,n111t0λ−(λ+)=2x−2z02r=2，所以−2x+2y=02s−t=0m=,n=λ+λ,λ()()，取,n=m⋅nλ+133533==则mn.λ+λ+12233176整理得12(λ−)(λ+)=16（λ+λ−7=0，即28270，所以λ=λ=−或2AB故存在点P（点P为18.若无穷正项数列.11{}同时满足下列两个性质：①存在M>0，使得；②{}为单调anann<M,n∈N*数列，则称数列{}具有性质P.ann13（1n2nb，=−=n{}{}a,b（）判断数列是否具有性质P，并说明理由；nnS=ab+ab++ab{}是否具有性质，并说明理由；S（）记，判断数列Pn1122nnn12()<p<（2）已知离散型随机变量X服从二项分布Bn,p,0Xc.，记为奇数的概率为证明：数列n{}具有性质cP.n【答案】（1{}不具有性质P{}具有性质{}具有性质P，PanbnSn理由见解析（2）证明见解析【解析】）判断数列是否满足条件①②，可得（）的结果；利用错位相减法求数列nn}的前项和，n再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}的通项公式，再判断是否满足条件①②.cn【小问1详解】a=2n−1na<M，使得恒成立，n（）因为单调递增，但无上限，即不存在M所以数列{ꢍꢏ不具有性质P.n1因为n1，又数列{ꢎ为单调递减数列，所以数列{ꢎ具有性质P.=<ꢏꢏ3（）数列{}具有性质P.Sn112n−1S=1⋅+3⋅++，n32n313112n−1Sn=1⋅+3⋅++，3233n1231111n2n−1S=1⋅+2⋅+2⋅++2⋅−两式作差得，n3233n132311−213n2n−122n+2即S=−+−=−，n1n1n13331−3n+1{}满足条件①S.nS=1−n<∴数列所以n1nann=(−)2n13<S>∴SnS∴{}为单调递增数列，满足条件②.n1n综上，数列{}具有性质PSn【小问2详解】X=,,n∈N*，因为c,Xnd，n若X为奇数的概率为为偶数的概率为ndn=1=1−p)+pn+=C0np0−p)n+C1np1p)n1−−+C2np2−p)n−2++Cnnpn−p)0①[1ppnC(p)p)C(p)p)(−)−=0n−0−n+1n−1−n1+C(p)p)2n−2−n−2+C(p)p)+nn−n−0②，①−②1−−2p)n=c=，即n.n22112所以当0<p<0<1−2p1<，故cn的增大而增大，且n随着<.时，n2故数列{}具有性质P.cnx−24e()=19.已知函数fx−g(x)=−x2+ax−a2−a∈（aR且a<2）.2x，xϕx=fx−gx,hxϕ(x)（1()()()()是h(x)的单调性；的导函数，判断fx≥gx（2()()对任意的x∈+∞)a恒成立，求的取值范围.【答案】（ℎ(ꢄ在(,0)(0,+∞上单调递增；（2）(,1−∞].【解析】）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用f(2)≥g(2)这一特殊情况，探索ax∈+∞)时，的取值范围，再证明对()≥()恒成立；法二利用导数工具求出函数ϕ()的最小值ϕ()，同法一求证∈(]时fxgxxx0a0,1ϕ()≥x0a∈2)时ϕ(2)<0，接着求证不符合题意即可得解.0【小问1详解】4ex−2{∣x02xxaxaa，定义域为≠}ϕ()=()−()=xfxgx−+2−+2+，x4ex−2(x−)()=ϕ′()=−2+2xa，−所以hxxx2−2(−+)x2x224ex所以h′(x)=+2>0.x3所以()在()和()上单调递增,0.hx【小问2详解