2024-2025学年度七年级数学上册第1章有理数重难点讲解

第1章有理数（1）——重难点

内容范围：

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直点才

知识点一：有理数的概念及分类

1.正数和负数

比较项目正数负数

概念大于零的数小于零的数

表示“+”号可以省略号不能省略

意义增加，收入，上升，等减少，支出，下降，等

2.有理数的分类

类型整数分数

正数正整数正分数

零零X

负数负整数负分数

3.三类“非”数

类型正数零负数

非负数7qX

非正数XNq

非零数qXq

例1.

1.纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同

一时刻比北京时间晚的时数）:

城市悉尼纽约

时差/时+2-13

当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（）

A.10月10日1时；10月9日10时

B.10月10日1时；10月8日10时

C.10月9日21时；10月9日10时

D.10月9日21时；10月10日12时

例2.

133

2.把下列各数填入相应的集合内.一10,8,-7-,3-,-10%,—,2,0,3.14,-67,

24101

3

0.618,-1,0.3080080008...

7

正数集合｛

负数集合｛

整数集合｛

分数集合｛

变式1.

2

3.如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从-3,9,0,-10%,3.14,亍，1300这

试卷第2页，共8页

些数中，选择适当的数填入图中相应的位置.

4.我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是

“raticmalnmibe*,而“力加㈤”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这

种方法，而这个词的词根“心，。”源于古希腊，是“比率”的意思、，这个词的意思就是

整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数.

⑴对于0.3是不是有理数呢？我们不妨设0.3=x，则10x0.3=10x，即3.3=10尤，故

3+0,3=10%＞即3+x=10x，解得x=；，由此得：无限循环小数有理数（填“是”或“不

是，）；

⑵请仿照（1）的做法，将0,6写成分数的形式（写出过程）；

⑶在，仁。，-9,0.知6.21中，属于非负有理数的是.

■点/

知识点二：数轴及有理数大小比较

1.数轴上常见模型

模型图形关系

两点间的AB

AB=\a-b

距离aob

动点尸到

PA+PB>AB,

A8两点

APB

AB=\a-b\

的距离之----------1--------------1~~1------------------------J--►

a0b

和的最小最小值为。-4

值

a

点的左右AP<---------B

««1A左减右加

平移0b

找出循环规律，等边三角

数轴上翻(?B

，，形的循环次数是3,正方

转,D4।।।i>

-4-3-2101234形的循环次数是4,

若点48是折叠后的重

合点，对折点为尸，则

APB

数轴折叠---------11-1>

aocbc-a=b-c,或者：

a+b

c=---

2

2.有理数的大小比较

方法依据步骤

在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的1.数轴表示2.根据左右位置

数轴法

数大比大小；

1.确定类型，选择法则；2.根

口诀法（法正数大于零，负数小于零，正数大于负数，据法则比较大小；

则）两个负数，绝对值大的反而小3.如果是两个负数，需要先比

较绝对值；

例1.

5.等边VABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为。和-1.若VABC绕顶

点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点B所对应的数为1,则连续翻转2023次

后点8所对应的数是（）

B

，C]\A，，，

-2-10123

A.不对应任何数B.2021C.2022D.2023

例2.

6.给出下面六个数：

试卷第4页，共8页

_3

2.5,1,—2,—2.5,0,

2

⑴先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来.

(2)用“<”将上面的各数连接起来.

变式1.

7.我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3-1|可表示为数轴上3和1这

两点的距离，而|3-1|即则表示3和-1这两点的距离.式子卜-1|的几何意义是数轴

上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，而|尤+2]=|尤-(-2)|,所以|x+2|的几何意义就

是数轴上x所对应的点与-2所对应的点之间的距离.根据以上发现，则|x+4|+|x-6|的最小

值为.

变式2.

8.已知数轴上点A,8对应的数分别为a,b,且％=。+2,点尸在线段A3上，点”为数

轴上一动点，其对应的数为相.我们规定：点M到点尸的距离的最小值为点M到线段48的

“到达距离”.

M

।।।।।1111111111111A

—8-7-6-5-43-2-10123456789

图1

-8-7-6-5-4^3-2-10123456789

备用图

⑴如图1,当点M与数轴上原点重合时，

①如果a=-3,那么点M到线段AB的“到达距离”是；

②如果点M到线段AB的“到达距离”是2,那么a=；

⑵当点A对应的数。在-2~3之间(包含-2,3)时，如果点M到线段A8的“到达距离”始

终大于3,直接写出机的取值范围.

直点才

知识点三：相反数与倒数

1.相反数与倒数比较

比较

相反数倒数

项目

乘积为1的两个

定义只有正负号不同的两个数互为相反数

数互为倒数

a的倒数是

法则。的相反数是一。

-(a^O)

a

1互为相反数的两个数在数轴上表示的点在原点的两侧，到原点若〃力互为倒数，

性质

的距离相等；2.若互为相反数，贝|a+6=0,：=-1(620)则ab=\

b

特殊倒数等于本身的

相反数等于本身的数是0

数数是±1

例1.

9.如图，数轴上的单位长度为1,有三个点A,B,C.若C,B两点表示的数互为相反数,

则图中点A表示的数是()

-ACB”

A.2B.1C.-2D.-4

例2.

10.下列各组数中，互为相反数的是()

A.-(+7)与+(-7)B.—0.5与+(-0.5)

D.

变式L

11.如图，四个有理数机，"，P,q在数轴上对应的点分别为“，N,P,。，若〃+4=0,

则加，“，P,4四个数中负数有()个

PNMQ

-----1A1AA1----1----A---1->

A.1B.2C.3D.4

变式2.

12.已知°、b互为相反数，c、1互为倒数，加|=2010,则巴也+4_|川=.

m

试卷第6页，共8页

知识点四：绝对值

1.绝对值的概念及性质

概念

及性表述运用

质

在数轴上，一个数所对的点到原点的1.用绝对值求数轴上两点之间的距离；

概念

距离叫做这个数的绝对值2.用数轴求多个绝对值之和的最小值；

,,fa(a>0)

法则“-a(a<0)L化简绝对值；2.计算；

1.判断式子的正负；2.求极值；

1.|«|>0；2.若尤=同，贝|%=±a；

性质3.已知绝对值，求原数；

3.若同+网=0,则a=0,0=0

4.非负数原理的运用；

例1.

13.有理数”,4c在数轴上的位置如图所示.下列式子母送的是()

abc

-101”

A.a<b<cB.|a-^|=-(«-&)C.|a-l|=a-lD.\c-d\=c-a

例2.

14.数学实验室：点A、8在数轴上分别表示有理数a、b,A、8两点之间的距离表示为AB,

在数轴上A、8两点之间的距离AB=|a-6|.

利用数形结合思想回答下列问题：

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是一，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是二

(2)数轴上若点A表示的数是了,点B表示的数是-2,则点A和8之间的距离是_，若筋=2,

那么x为」

(3)利用数轴,求|x+2|+|x-1|的最小值」

(4)当天是_时，代数式|无+2|+|龙-[=5；

变式1.

15.对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对

这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2,3进行“差绝对值运算“，得到：

|1-2|+|2-3|+|1-3|=4.

①对2,-3,5,9进行“差绝对值运算”的结果是39；

②尤，-3,6的“差绝对值运算”的最小值是9；

③a,b,c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种；

以上说法中正确的个数为()

A.3个B.2个C.1个D.0个

变式2.

16.小宇是七年级(1)班数学学习小组长，他想带领本小组同学一起复习绝对值的相关知

识，整理了以下题目：

(1)|-5|=；

(2)若冈=4,则x的值为；

(3)若|"3|与|26-4|互为相反数，则；

(4)若|x+3|+卜-2|=5,则所有符合条件的整数无的和为；

(5)有理数.、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+〃+|a-c|+|6-c|的结果是；

~~Cb6_a__

(6)若你是学习小组成员，请针对绝对值的复习给大家提一条复习建议.

试卷第8页，共8页

参考答案:

1.A

【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握题意是解题的关键.由统计表得出，悉尼比北京

早2小时，纽约比北京晚13小时，计算即可.

【详解】解：悉尼的时间：10月9日23时+2小时=10月10日1时；

纽约的时间：10月9日23时-13小时=10月9日10时.

故选A.

2.见解析

【分析】本题考查了有理数的分类：有理数分为整数和分数；有理数分为正有理数、0、负

有理数；整数分为正整数、0、负整数.根据有理数的分类在所给的数中分别找出正数、负

数、整数、分数.

333

【详解】正数集合｛8,3-,—,2,3.14,0.618,0.3080080008............｝；

负数集合｛一10，-7；,-10%,-67,-1

整数集合｛-10,8,2,0,-67,-1

1333

分数集合｛-7],3-,-10%,—,3.14,0.618

3.见解析

【分析】本题考查了有理数的分类.正数集合与整数集合的交集是正整数集合.注意数字0,

它不属于正数和负数，是整数.根据正数及整数的概念进行区分判断，两个集合里都含有的

数就是符合条件的数.

2

【详解】解：-3,9,0,-10%,3.14,亍，1300中，

2

属于正数的有：9,3.14,1300；

属于整数的有：-3,9,0,1300.

所以既是正数也是整数的是9,1300.

答案第1页，共9页

4.⑴是

⑶亍，0,0.43，16.2

【分析】(1)根据有理数的概念求解即可；

(2)根据题目中给出的运算方法；

(3)根据有理数的概念求解即可.

【详解】(1)由解题过程可知，无限循环小数是有理数，

故答案为：是；

(2)设0.6=x,贝I]10X0.6=10X,

即6.6=10x,

故6+0.6=10x>

BP6+x=10x,

2

解得x=

2

即o.6=§；

(3)在1-1产,0,-9,0.始,16.21中，属于非负有理数的是1，0,0.43,16.2,

故答案为：学22，0,0,43,16.2.

【点睛】此题考查了有理数的概念，无限循环小数转化为分数等知识，解题的关键是熟练掌

握有理数的概念.

5.D

【分析】根据VABC是等边三角形，找出它的运动规律并进行计算即可.

【详解】解：由题意可得，

每3次翻转为一个循环组依次循环

,?2023+3=674.....1,

翻转2023次后点B在数轴上，

.,.点B对应的数是674x3+1=2023.

故选：D.

【点睛】本题考查了数轴，找到VABC的运动规律是解决此类问题的关键.

答案第2页，共9页

6.（1）见解析

3

（2）-2.5<-2<--<0<1<2.5

【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，求一个数的绝对

值和化简多重符号：

（1）在数轴上表示出各数即可；

（2）根据（1）所画数轴结合数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可.

【详解】（1）解：数轴表示如下所示：

,3

（2）解：由（1）得一2.5v—2<—<0<1<2.5.

2

7.10

【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，由题意可知|x+4|+|x-6|表示的是一个数到T和

6的距离的和，而T和6间的距离为10,据此即可求解，理解两点间的距离，就是两个点

表示的有理数的差的绝对值是解题的关键.

【详解】解：：,+4|+卜-6|表示的是一个数到-4和6的距离的和，而-4和6间的距离为10,

，k+4|+卜一6|的最小值为10,

故答案为：10.

8.⑴①1；②-4或2

（2）7〃<一5或加>8

【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题：

（1）①根据“到达距离”的定义，即可求解；②根据“到达距离”的定义，即可求解；

（2）根据题意可得点8对应的数a在。〜5之间（包含0,5）,再由“到达距离”的定义，可

得加<-2—3=-5或机>5+3=8,即可求解.

【详解】（1）解:①3,

".b=a+2=—\,

:点M与数轴上原点重合，

答案第3页，共9页

.••点M到线段AB的“到达距离”是1；

故答案为：1

②：点M到线段AB的“到达距离”是2,

，。=2或。+2=—2,

a=T或2；

故答案为：-4或2

(2)解：：点A对应的数。在-2~3之间(包含-2,3),b=a+2,

，点8对应的数。在。〜5之间(包含0,5),

V点M到线段A8的“到达距离”始终大于3,

，机＜-2—3=-5或机＞5+3=8,

即m的取值范围为帆＜-5或MI＞8.

9.D

【分析】本题考查数轴上表示的数，根据相反数在数轴上的位置确定原点的位置是解题的关

键.根据点夙C表示的数互为相反数得到数轴原点的位置，读出点A表示的数即可求解.

【详解】解：根据点8、C表示的数互为相反数，可得图中点。为数轴原点，

।111।।।।।»

ACDB

.,.点A对应的数是-4,

故选：D.

10.D

【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.根据相反数的定义

进行判断即可.

［详解］解：7-(+7)=-7,+(-7)=-7,

，-(+7)=+(-7),故A不符合题意;

V+(-0.5)=-0.5,故B不符合题意;

154

•・•一『_"与二不互为相反数，故C不符合题意;

W0woJ

•••+(小四与十焉)

互为相反数，故D正确;

答案第4页，共9页

故选：D.

11.C

【详解】本题主要考查了数轴和正负数，先根据相反数的意义，确定原点，再根据各数在原

点的位置确定数的正负，根据相反数的意义确定原点的位置是解决本题的关键.

【解答】解：：〃+q=0,

•••〃与q互为相反数，

原点为0,如图：

PNMOQ

----111AAA111->

则在原点左侧的数有三个，

即加，“，P,4四个数中负数有3个.

故选：C.

12,-2009

【分析】根据题意得到“+6=。,4=1M=2010或-2010,再代入如即可求解.

m

【详解】解：因为。、b互为相反数，c、d互为倒数，

所以。+/?=0,4=1,m=2010或一2010,

所以^^+4-|"7|=°+1-2010=0+1—2010=—2009.

mm

【点睛】本题考查了相反数、倒数的定义，绝对值的意义，有理数的运算等知识，理解相关

概念并正确进行计算是解题关键.

13.C

【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，先根据数轴得到

一,进而得至!Ja—bvO,<7-1<0,c—a>0,据此化简绝对值即可得到答案.

【详解】解：由题意得，，

••CL—Z?<0,(2—1<0,C—Q>0,

工—(a-/?),_1|——(a_1),|c-6z|—c_a,

・••四个选项中只有C选项中的式子错误，符合题意，

故选：C.

14.(1)3,4

⑵|x+2|,T或0

答案第5页，共9页

(3)3

⑷一3或2

【分析】本题考查两点间的距离.绝对值的意义，熟练掌握两点间的距离公式，利用数形结

合的思想进行求解，是解题的关键.

(1)根据两点间的距离公式进行计算即可；

(2)根据两点间的距离公式进行计算即可；

(3)设表示x的点为M,表示-2的点为A,表示1的点为8,则,+2|+k-1|是点M'与点A

的距离与点M与点B的距离之和.结合数轴，根据点M的位置分类讨论计算+MB

即可；

(4)由(3)可得当彳<一2或彳>1时，|x+2|+|x—l|=5才成立，分x<—2和x>l两种情况，

去掉绝对值符号，求解即可.

【详解】(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|=3,

数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-(-3)|=4.

故答案为：3,4

(2)表示数x的点A和表示-2的点B之间的距离AB=|x-(-2)|=|x+2|,

若AB=2,则点A到点8的距离为2,

:点8表示的数是-2,

...点A表示的数是T或0,

为-4或0.

故答案为：|x+2|,T或0

(3)设表示x的点为表示-2的点为A,表示1的点为8,则|x+2|+|x-l|是点M与点A

的距离与点M与点B的距离之和，即|x+2|+|x—1|=MA+MB.

若点M在点A的左侧，即x<-2,如下图：

MAB

l.ljIIjIII»

-4-3-2-101234

答案第6页，共9页

VAB=|-2-l|=3,

|x+2|+|x-1|>3；

若点"在线段45上，即-2WxWl,如下图：

AMB

IIJl.lJIII/

-4-3-2-101234)

则MA+MB=AB,

|%+2|+|x—1|=3；

若点〃在点2的右侧，即尤>1,如下图：

ABM

II▲II1l.lI>

-4-3-2-101234

则M4+MB>AB,

VAB=|-2-l|=3,

|x+2|+|x-1|>3；

综上所述，|x+2|+|%-l|>3,即|x+2|+|x—1］的最小值为3.

故答案为：3

(4)由(3)可得当x<-2或x>l时，|x+2|+|x-1=5才成立，

当x<-2时，|x+2|+|x-=5可化为：—x—2—x+l=5,

解得：x=-3,

当x>l时，|x+2|+|x—=5可化为：x+2+x-l=5,

解得：x=2,

综上，当彳=一3或2时，,+2|+,一1|=5.

故答案为：-3或2

15.C

【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算.①根据“差绝对值运

算”的运算方法进行运算，即可判定；②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判

定；③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可

判定.

答案第7页，共9页

【详解】解：对2,-3,5,9进行“差绝对值运算”得：

|2-(-3)|+|2-5|+|2-9|+|-3-5|+|-3-9|+|5-9|

=5+3+7+8+12+4

=39,故①正确；

对无，—3,6进行“差绝对值运算"得：|^+3|+|J;—6|+|—3—6|=|x+3|+|^—6|+9,

卜+3|+卜-6|表示的是数轴上点苫到_3和6的距离之和，

，当-3Vx<6时，|x+3|+|x-6|有最小值，最