2024-2025学年湖南省郴州市高三上学期一模数学试题及答案

郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷数学8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）9A{(xx6)，B∣x2，则AB（）1.设集合(6,)((6)D.A.B.C.1iizz，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（）2.设复数zi(A.C.B.D.(0)a(x,x2，b(x,4)，则是ab的（）3.设xR，向量A必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知sin3，cossin，则)（）21218114A.B.C.D.exexf(x)5.函数1x的图象大致为（）x2A.B.C.D.第1页/共4页22axa,x0xf(x)a在R上单调递减，则的取值范围是（）6.已知函数1ln(xx0xe(,0][[0])A.C.B.D.BE2EB,CF2FD1ABCDABCD7.已知正方体中，点、满足EF，则平面AEF截正方体111111ABCDABCD形成的截面图形为（）1111A.六边形C.四边形B.五边形D.三角形8.已知()fxmemxx(m，若f(x)有两个零点，则实数m的取值范围为（）0)11eA.B.2e1e1,,C.D.e23618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）12X~BE(2X4A.已知随机变量B.已知随机变量，则1X~Nf(x0)f(x2)，4C.数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8ms21ns22D.样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的mmnns22方差为mn10.已知曲线C:x2cosy2sin1，(0,π)，则下列说法正确的是（）A.若cosB.若cos0，则曲线表示两条直线C0，则曲线CC.若，则曲线C是双曲线0第2页/共4页D.若cossin，则曲线的离心率为2C11.在正三棱台中，AB6，2，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（）A.正三棱台的高为4352B.正三棱台的体积为3C.AD与平面所成角的正切值为1D.正三棱台外接球的表面积为160π3三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）的前项和，若SannS3S724，则1931112.已知为等差数列______.n13.从数字1，2，3，4中随机取一个数字，第一次取到的数字为ii2,3,4)1，…，中随i3机取一个数字，则第二次取到数字为的概率是______.y24x，从抛物线内一点(2,2)发出平行于x轴的光线经过扡物线上点B反射后交抛14.已知抛物线物线于点C，则VABC的面积为______.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）3acb15.若锐角VABC中，A、B、C所对的边分别为、b、，且acVABC的面积为222（1）求B；c（2）求的取值范围.a16.如图，在四面体ABCD中，ACBC2，AD，CAD30，M是3，AD的中点，P是的中点，点Q在线段AC上，且.第3页/共4页（1）证明：//平面BCD；（2）求二面角AM的余弦值.217.已知椭圆E的离心率为，椭圆E上一点P到左焦点的距离的最小值为21.2（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知直线l与椭圆E交于M、N两点，且，求.面积的取值范围1f(x)2alnxx2(a2)xa，其中为常数.18.已知函数（1）当a0（2）若函数2f(x)的单调性；时，试讨论f(x)xx2有两个不相等的零点，，1a（i）求的取值范围；xx4（ii）证明：19.已知数列12是正整数,nk}A:a,a,,annN*n12nakak12An3都有或，则称为H数列A（1）列出所有H数列的情形；5a5k(k,405)的H数列A（2）写出一个满足（3）在H数列A的通项公式；5k2025ba(k,是公差为d等差数列，求证：b，若数列的k中，记2025k5kd5或d5.第4页/共4页郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷数学8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）9A{(xx6)，B∣x2，则AB（）1.设集合(6,)((6)D.A.B.C.【答案】D【解析】【分析】根据集合解不等式求出取值范围，再根据交集求公共部分求得结果.【详解】集合A{(xx6)，则Ax|1x6，Bx|3x，则，B∣x2集合ABx|1x3，∴故选：D.2.设复数1iizz，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（z）i(A.C.B.D.(0)【答案】A【解析】z【分析】根据给定条件，利用复数的乘法及除法运算求出，再求出其共轭复数对应点的坐标.【详解】依题意，z1ii)i，1ii)2所以zi(故选：A.a(x,x2，b(x,4)，则是ab的（3.设xR，向量）A.必要不充分条件C.充要条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B第1页/共19页【解析】【分析】利用是否推出关系来判断充要关系即可.【详解】当x2时，向量a(x,(，b(x,4)(2,4)，ab((4)22140此时有，所以ab，故是充分条件；当ab时，ab(x,(x,4)x240，解得x，故不是必要条件；2所以x2是ab的充分不必要条件，故选：B.4.已知sin3，cossin），则)（2121114A.B.C.D.8【答案】C【解析】3【分析】sin与sin0分别平方相加，得到答案.2394【详解】sin两边平方得sin22sin2①，2又cossin，故cossin0，两边平方得2cossinsin0②，229422sinsin式子①+②得，，9141，故)故2sin2.48故选：Cexexf(x)5.函数1x的图象大致为（）x2第2页/共19页A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在)上函数值符号，即可得确定图象.【详解】由解析式，知f(x)的定义域为(,0)(0,)，exe(x)exexeexxf(x)f(x)，(x)1x1x1xxx222所以f(x)为奇函数，1e0，0x1，当x0时，exxx21x则，x0所以，在)上f(x)0，结合各项函数图象，知：C选项满足要求.故选：C22axa,x0xf(x)a6.已知函数1在R上单调递减，则的取值范围是（）ln(xx0xe(,0][[0])A.C.B.D.【答案】D【解析】第3页/共19页【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案.1ln(x在x【详解】显然y上单调递减，ex22axa,x0xf(x)要想1ln(xx0在R上单调递减，exxa01，解得a1.则00aln10e故选：DBE2EB,CF2FD1ABCDABCD中，点E、F7.已知正方体满足，则平面AEF截正方体111111ABCDABCD形成的截面图形为（1）111A.六边形C.四边形【答案】B【解析】B.五边形D.三角形【分析】由题意，点E是线段BB上靠近B的三等分点，点F是线段CD上靠近D的三等分点，作出11111截面图形可得结论.【详解】如图，BE2EB,CF2FD因为点E、F满足，111点E是线段BB上靠近B的三等分点，点F是线段CD上靠近D的三等分点，11111延长AE,AB与交于点G，连接交BC于H，1111延长,11交于点K，连接AK交DD于，连接I,，1第4页/共19页则五边形为所求截面图形.故选：B．8.已知()fxmemxx(m0)，若f(x)有两个零点，则实数m的取值范围为（）11eA.B.2e1e1,,C.D.e2【答案】A【解析】exxxmxx00两解，分离变量求导即可f(x)有【详解】解：由题意可知，若f(x)有两个零点，则f(x)emxx0有两个解，等价于exx0x0有两个解，令gtttgmxgx有两个解，，原式等价于xx0ex有两个大于零的解.即xx解mxx，可得m1x，令hxx0，xxxe时，hx0，当时，hx00xehx则，当，x21所以ℎ(푥)在上单调递增，在上单调递减，且he，ℎ(푥)图像如图：0,ee1ex所以当0故选：Am时，m有两个交点，即f(x)有两个零点.x【点睛】方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解.3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题第5页/共19页目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）1X~BE(2X4A.已知随机变量B.已知随机变量，则21X~Nf(x0)f(x2)，4C.数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8m件样品，其方差为s21ns，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的22D.样本甲中有mmnns22方差为mn【答案】ABC【解析】【分析】利用二项分布的期望公式及期望性质可判断A，利用正态曲线的对称性可判断B，根据百分位数的求法可判断C，利用两组数据方差的特征可判断D.1X~B132EX，所以3，【详解】对于A，因为22E(2X2EX14，故A正确；所以1X~N对于B，因为随机变量f(x0)f(x2)，故B正确；，所以4对于C，因为780%5.6，所以数据7,8,10的第808百分位数是，故正确；C对于D，记样本甲，乙的平均数分别为x,y，由甲乙组成的总体样本的平均数为，mmnn22，s21xs22y则甲乙组成的总体样本的方差为mn故D不正确.故选：ABC.10.已知曲线C:x2cosy2sin1，(0,π)，则下列说法正确的是（）A.若cos0，则曲线C表示两条直线B.若cos0，则曲线C是椭圆，则曲线C是双曲线C.若0D.若cossin，则曲线C的离心率为2第6页/共19页【答案】ACD【解析】【分析】根据cossin的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可sin1，(0,π)，.【详解】由题意，曲线C:x2cosy2若cos0，则sin1，此时曲线C:y1，表示两条直线，故A正确；若cos0，又(0,π)，则sin0，x2y21曲线C:x2cosy2sin1，可化为11，cossin当cossin时，则曲线C表示圆，当cossin时，则曲线C表示椭圆，故，则sin0，则曲线CB错误；若cos0，又(0,π)表示双曲线，故C正确；若cossin，又(0,π)，，22所以cos,sin22y2x21，则曲线C为22则曲线C为等轴双曲线，离心率为2，故D正确.故选：ACD.11.在正三棱台中，AB6，2，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（）A.正三棱台的高为43523B.正三棱台的体积为C.AD与平面所成角的正切值为1160πD.正三棱台外接球的表面积为3【答案】BCD【解析】【分析】将正棱台补全为一个正棱锥P，结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧棱第7页/共19页与底面夹角正切值，由确定棱台外接球球心位置，建立等量关系求半径，进而求外接球表面积.【详解】将正棱台补全为一个正棱锥P，如下图示，1,2分别为上下底面的中心，G,H为,其中的中点，易知PHBC,AHBC，则为等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角，221313所以tan2，而2AH63，则223，32PODE112332343AB3，即PO，故OO23，A错；根据棱台上下底面相似，知PO1122331313由S223，S6293，2222143523所以VABC(33393)，B对；332223tanPAH1233由图知：为AD与平面所成角，则6，C对；2若O为正三棱台外接球的球心，则其半径，即1D2O22A2O22，2433Ox，则(x(23)(x))2222，可得x23，令3440340160π所以OA212，故外接球表面积为4π，D对.333故选：BCD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）的前项和，若SanS3S724，则1931112.已知为等差数列______.nn【答案】第8页/共19页【解析】n【分析】由等差数列前项和的性质以及基本量的运算转化SS3a,d表示193a，再用，借助于两1117者之间的关系计算结果.n【详解】解：由数列前项和的性质可知：SSa7a10a24d24，即5112d12，3724119aa20a48d45a12d48.则31111故答案为：13.从数字1，2，3，4中随机取一个数字，第一次取到的数字为ii2,3,4)1，…，中随i3机取一个数字，则第二次取到数字为的概率是______.7【答案】【解析】48【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可.i2,3,4，【详解】记事件Ai为“第一次取到数字，i事件B为“第二次取到的数字为，3A,A,A,AAAAA由题意知是两两互斥的事件，且12341234PBA4PBPBA2BA4PBAPBAPBA13123PAPBAPAPBAPAPBAPAPBA41122334111111700.444344487故答案为：.48y4x，从抛物线内一点(2,2)发出平行于x轴的光线经过扡物线上点B反射后交抛214.已知抛物线物线于点C，则VABC的面积为______.92【答案】【解析】4【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可.【详解】由抛物线的光学性质知，直线BC与轴的交点为抛物线的焦点，xy24x的焦点为0，故BC与x轴的交点横坐标为1，第9页/共19页根据题意，画出草图，如下图所示，1212令y2得x，解得B,2，又BC过焦点，2所以BC方程为：y0x1，112y22x22即y22x22，联立，y4x21得2x25x20，解得x2或x，所以C22222232∴VABC的边上的高为，1232AB2又，1392所以S32，22492故答案为：.4【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分了解抛物线的光学性质，从而得解.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）3acb15.若锐角VABC中，A、B、C所对的边分别为、b、，且acVABC的面积为222（1）求B；（2）求c的取值范围.aπ【答案】（1）6第10页/共19页323,（2）23【解析】1）由余弦定理结合三角形面积公式可得答案；ππc13A（2）由题可得，后由正弦定理可得，后由正切函数单调性可得答案.32a2tanA2【小问1详解】12acsinB，由余弦定理，a2c2b22acB，又三角形面积为Sπ2π3313acb2acBacsinBtanBBB则222，又由题，则；6121223【小问2详解】5π5π由（1ACCA，又VABC为锐角三角形，66π0A5πππ2A.则π320A625π6sinAsinA由正弦定理：csinC13.asinA2tanA2ππ32ππ3213因ytanx在xA.,,上单调递增，则时，tanA30tanA3c323313233,.则，即a2322tanA216.如图，在四面体ABCD中，ACBC2，AD，CAD30，M是3，AD的中点，P是的中点，点Q在线段AC上，且.第11页/共19页（1）证明：//平面BCD；（2）求二面角AM的余弦值.【答案】（1）证明见解析132（2）20【解析】1AD平面BCD标运算代入计算，即可证明；（2）由二面角的向量求法，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】3,AC2，且CAD30，因为AD由余弦定理可得CD2AC2AD2230，321，即CD1，即CD22232232AC2，即ADCD，又AD，所以2CD2且BDCDD，BD,CD平面BCD，所以AD平面BCD，3，则CD2BD2BC2，即BDCD，又BCBD以D为原点，分别以DB,DC,DA为x,y,z轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，D0,0,0,A3,B3,0,0,C0333又M是AD的中点，则M，P是的中点，则P,0,，224第12页/共19页33434343343且，则AQAC3,，则Q,，4433,,0，因为AD平面BCDBCD的一个法向量，所以，取为平面24PQ0PQ，3且，因为，所以则//平面BCD.【小问2详解】33334333PA,0,,PC,PM,0,，由（1）可知22424设平面的法向量为푚=(푥,푦,푧)，3334PAmxz02x3z2，取z2，则y23,x3，则，解得33y3zPCmxyz0243,23,2，m则平面设平面的一个法向量为的法向量为푛=(푎,푏,푐)，33PCnabc0c2a24，取a1，则b3,c2，则，解得33baPMnac0243,2则平面的一个法向量为n，为锐角，364设二面角AM为，显然mn13132cos,n则.mn25810220132所以二面角AM的余弦值为.20217.已知椭圆E的离心率为，椭圆E上一点P到左焦点的距离的最小值为21.2（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知直线l与椭圆E交于M、N两点，且面积的取值范围，求.第13页/共19页x2y1；2【答案】（1）222（2）[,32].【解析】1）设出椭圆E的标准方程，由离心率及最小距离求出a,b,c即可.（2是否垂直于坐标轴分类，求出|OM|,|ON|出范围即可.【小问1详解】x22y22ab0)，半焦距为，c依题意，设椭圆E的标准方程为ab由椭圆E的离心率为，得ca2b22，则a2c,bc，22aa2ba22P(x,y)，则y0b22x,a0a，椭圆E的左焦点F(c,0)，20设00b2cc则|(0c)2y20x200c2b2x20(xa)20aac，a2a0axa0bca2，当且仅当时取等号，因此ac21，解得x2所以椭圆E的标准方程为【小问2详解】y1.22当直线不垂直于坐标轴时，直线的斜率存在且不为0，设其方程为ykx(k0)，y221k2由2消去y得x2y1k|x，1，则|x222x22y22k22k12121()212k12kON:yx，同理|直线，k1k222()21k12k21k21SOMN|||则的面积2k21k222(k1(k122第14页/共19页11122)，[,1SOMN，，令t1119432t2t2()222tk1)2k21k2122当直线垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令|2,||1，S，OMN222所以面积的取值范围是[,].321f(x)2alnxx2(a2)xa18.已知函数（1）当a0（2）若函数，其中为常数.2f(x)的单调性；时，试讨论f(x)有两个不相等的零点x1，x，2a（i）求的取值范围；xx4（ii）证明：.12【答案】（1）答案见解析；1（2i）a0ii）证明见解析.21【解析】1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性；（2i1f(2)、f(a)a0a0的情况下研究f(x)的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围；（iii012xf(4x)f(x)h(x)f(4x)f(x)211并利用导数研究其符号，即可证结论.【小问1详解】2ax2(a2)x2a(x2)(xa)由题设f(x)x(a2)，且x(0,)，xxx)上f(x)0，在(2,当0a2时，在上a)上f(x)0，在(a,2)f(x)0，第15页/共19页所以，在a)、(2,)上f(x)单调递增，在(a,2)上f(x)单调递减；当a2时，在)上f(x)0恒成立，故f(x)在)上单调递增；f(x)0上当a2时，在(0,2)f(x)0，在(2,a)f(x)0上上，在(a,)，(0,2)(a,)f(x)单调递增，在(2,a)上f(x)单调递减所以，在【小问2详解】、上.1f(2)2a222(a2)22(a2a0，（i）由21a若a0时，f(a)2aaa2(a2)a(4aa4)，2244a令y4lnaa4且a0，则，y1aa所以0a4时y0，a4时y0，故y4lnaa4在(0,4)上递增，在(4,)上递减，则y8ln280，所以f(a)0，结合（1）中又a0时，f(x)的单调性，易知a0不可能出现两个不相等的零点，1f(x)22x在)上只有一个零点，不满足，x2)上f(x)0，在(2,所以a0，此时，在(0,2)f(x)0上，(0,2)f(x)单调递减，在(2,)上f(x)单调递增，则f(x)f(2)2(a2a，故在上xf(x)趋向正无穷，只需g(a)a210成立，又趋向于0或负无穷时，1显然g(a)在(,0)上递减，且当a时g(a)0，2111所以，a0时a0；g(a)0恒成立，即所求范围为21211（ii）由（ia0时，f(x)存在两个不相等的零点1,x，212不妨令012x，要证xx4x4x，而41(2,4)，，即证21212由（i）知：在(2,)f(x)单调递增，只需证f(4x)f(x)f(x)0上，12112axx21(a2)10，则124x2a(x2lnx)由11112令h(x)f(4x)f(x)，且0x2，第16页/共19页1122h(x)2aln(4x)(4x)(a2)(4x)2axx(a2)x2则22aln(4x)2ax4a2ax，(x2)22a0，即h(x)在(0,2)(0,2)h(x)上所以，在上递增，x(4x)所以h(x)h(2)2a22a24a4a0，即f(4x)f(x)f(x)成立，112xx4所以，得证.12【点睛】关键点点睛：第二问，首先利用第一问及其零点个数将参数范围限定在a0，进而利用导数研究其最值求范围，再令012x，将问题转化为证f(4x)f(x)是关键.112是正整数,nk}A:a,a,,annN*19.已知数列n12nakak12A3都有或，则称为H数列n（1）列出所有H数列A的情形；5a5k(k,405)的H数列A（2）写出一个满足的通项公式；5k2025（3）在H数列2025中，记ba(k,是公差为d的等差数列，求证：bd5k，若数列k5k或d5.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）证明见解析.【解析】1）讨论1，由条件确定，由此确定aa,a,a，可得结论；2345（2）由（1）确定A5的前项，构造数列满足aan5，证明此时满足条件，由此确定2025；n52025d2x3yx,yZ，x,y5,4,3,2,,0，（3）由条件可得通过讨论，证明结论.【小问1详解】a1a3a4若当当，则或时，时，，122a1a31a5a2a4，此时A为1,3,5,4