2025年高考数学总复习：空间距离

第七节空间距离

考试要求：1.理解点线距、线线距、线面距、面面距的概念与向量表示.

2.会利用向量求空间距离.

必备知识落实“四基”

自查自测

知识点一点到直线的距离

如图，在长方体ABCDAIBCLDI中，AAi=AB=2,AD^l,点,F,G分别为AB,CG的中

点，则点D到直线GF的距离为.

\->C

R

V2解析：如图，建立空间直角坐标系，则。(0,0,0),F(l,1,0),G(0,2,1),

所以不=(1,-1,-1),DF=(l,1,0).

取。=说=(1,1,0),"=嬴=俘’-f，-

所以点D到直线GF的距离为卜一(击“丫=电

核心回扣

已知直线/的单位方向向量为“，A是直线/上的定点，P是直线/外一点.如图，设方="，

则向量N在直线I上的投影向量而=3幻".点P到直线/的距离|PQ|=J|疝5『一|福『=

相一(”-“)2.

AQ

自查自测

知识点二点到平面的距离

判断下列说法的正误，正确的画“J”，错误的画“X”.

(1)若平面a上不共线的三点到平面£的距离相等，则a〃K(X)

(2)若直线/平行于平面a,贝门上各点到a的距离相等.(J)

⑶若直线/上两点到平面a的距离相等，贝心〃a.(X)

(4)点到直线的距离就是该点与直线上任一点连线的长度.(X)

核心回扣

如图所示，已知AB为平面a的一条斜线段，"为平面a的法向量，则点8到平面a的距离

为|协|=\AC•n\

~\n\~

【常用结论】

->

"吧=0,

“•CD=0.

应用在正方体ABCD-AIBCLDI中,AB=4,则异面直线A8与AC之间的距离为.

2V2解析：如图，以。为原点，DA,DC,。。所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空

间直角坐标系，

则A(4,0,0),5(4,4,0),C(0,4,0),Ai(4,0,4),

所以方=(0,4,0),可=(4,-4,4),疯=(0,0,4).

设根=(x,y,z)是异面直线A3和AC的公垂线的方向向量，

〜

则,fm—-A>B=0所,以f4,y=0,

{m-CAx=0,(4x—4y+4z=0.

取％=1,则z=—l,所以机=(1,0,一1)是异面直线A8和AC公垂线的一个方向向量,

所以异面直线AB和AC的距离为什:时=4==26

\m\V2

核心考点提升“四能”

考点一点到直线的距离

1.(2024・济南模拟)空间中有三点P(l,-2,-2),MQ,—3,1),N(3,—2,2),则点P

到直线MN的距离为()

A.2V2B.2V3

C.3D.2V5

A解析：因为而^=(1,1,1),所以面^的一个单位方向向量为〃=R(1,1,1).因为巨必=

(1,-1,3),所以|河研=[12+(—1了+32=，11,PM-H=V3,所以点尸到直线MN的距离

为J国『-囱•“y=J11-3=2V2.

2.如图，已知直三棱柱ABC-AiBiG，AAi=l,AB=4,BC=3,ZABC=90°,则点B到直

线4cl的距离为

y解析：以B为原点，BA,BC,8以所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，贝44(4,0,1),Ci(0,3,1),

所以而=(—4,3,0).

又房=(0,3,1),

所以点8到直线4cl的距离1=反斤一=Jio-Q)2=y.

3.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A/iCid中，已知E为CG上一点，且2CE=EG，

在平面CDDiCi内作EF//AxB,交Ci£)i于点F,则直线EF与AiB之间的距离为

—解析：以A为原点，AB,AD,441所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的

6

空间直角坐标系，则4(0,0,1),2(1,0,0),E(l,1,；).

直线EF与A山之间的距离等于点£到直线48的距离，西=(—1,0,1),赤=(0,1,；),

所以点E到直线42的距离d=J|S£|2-=等.

A反思感悟

1.求点到直线的距离的方法

(1)设过点P的直线I的单位方向向量为n,A为直线/外一点，点A到直线I的距离d=

Jl可-(瓦•〃)1

(2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间的距离公式求距离.

2.平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解.

点到平面的距离

【例1】如图，已知四边形A8C。是边长为4的正方形，E,尸分别是48,的中点，CG

垂直于正方形ABC。所在的平面，且CG=2,则点B到平面EPG的距离为.

AEB

斗解析：因为CG_L平面ABC。，CD,CBc-f®ABCD,所以CG_LCZ),CG_LCA因为

CD1CB,所以以C为原点，CD,CB,CG所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，

则C(0,0,0),5(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),

所以元=(—2,2,0),前=(—2,-4,2),BE=(2,0,0).

设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),

m-FE=—2x+2y=0,

,m-EG=12x—4j+2z=0.

令I=1,则m=(1,1,3)为平面EFG的一个法向量,

=I2I_2VTT

所以点3到平面EFG的距离为d=

IVT+T+QI-ii'

A反思感悟

向量法求点到平面的距离的步骤

(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.

p

(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.

(3)求向量：求出相关向量的坐标(NA,平面a内两不共线向量，平面1的法向量〃).

(4)求距离d=%工

\n\

多维训练B

1.如图，在三棱柱48cAiBiG中，所有棱长均为1,且AA1，底面ABC,则点S到平面

ABCi的距离为.

理解析：以C为原点，CB,的方向分别为y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系，则A惇，p0),8(0,1,0),Bi(O,1,1),G(0,0,1),所以馆=(?,p—1),

CX=(O,1,0),郎=(0,1,-1).

设平面A8C1的法向量为〃=(%,y,Z),

则有I。'不妨设z=l,解得"=(日，1,1)为平面ABCi的一个法向

[C^B­n=y~z=0.

2.如图，在长方体ABC£)-4BiCiA中，AD=AAi=l,48=2,点E在棱AB上移动.

DyC,

(1)证明：DiE±AiD；

⑵当E为AB的中点时，求点E到平面AC£)i的距离.

(1)证明：以。为原点，DA,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐

标系(图略)，设AE=x,

则。(0,0,0),A1(1,0,1),£>1(0,0,1),E(l,X,0),A(l,0,0),C(0,2,0),

所以雁=(1,无，-1),9=(—1,0,-1).

因为印•而=0,所以雁_L常，FpDiEXAiD.

(2)解：因为E为A8的中点，所以E(l,1,0),

从而印=(1,1,-1),就=(一1,2,0),同=(-1,0,1).

设平面AC£)i的法向量为"=(a,b,c),

,(n-AC=0,~(~a+2b=0,

则―.所以

=0,1—6z+c=0.

取b=l,则〃=2,c=2,所以〃=(2,1,2)为平面AC£)i的一个法向量.

所以点E到平面ACDi的距离=邑二W=

\n\33

考点三直线到平面的距离与平面到平面的距离

［例2］如图，在四棱锥O-ABCZ）中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA_L底面ABCD,

OA=2,M,N,R分别是OA,BC,的中点.求:

（1）直线MN与平面。8的距离;

（2）平面MNR与平面OCD的距离.

解：（1）因为OA_L底面ABCD,四边形ABCD为正方形，所以AB,AD,AO两两垂直.

以A为原点，AB,AD,AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系，

则C(2,2,0),。(0,2,0),0(0,0,2),M(0,0,1),NQ,1,0),R(0,1,0),

所以虎=(2,0,0),DO=(0,-2,2),MN=(2,1,-1),2VC=(0,1,0).

设平面OCD的法向量为"=（尤，y,z）,

-DC=0,生2x=0,

则—>所以

・00=0,—2y+2z—0.

取y=l,则x=0,z=l,所以〃=(0,1,1)是平面OCZ)的一个法向量.

因为赤•〃=(),所以MN〃平面OCD

所以直线MN与平面OCD的距离为a=加3=人.

\n\V22

(2)由(1)知MN〃平面OCD.

因为福=(-2,0,0),所以赤•"=(),所以〃平面0CD

归为MNCNR=N,MNu平面MNR,NRu平面MNR,所以平面MNR〃平面OCD则平面

MNR与平面OCD的距离为d2=与0=之=也.

\n\V22

A反思感悟

平面的平行线到平面的距离以及两平行平面间的距离都可以转化为点到平面的距离.

多维训练.

1.若正方体A8CD4B1C1O1的棱长为2,则4A到平面的距离为()

A.V2B.2

C.电D./

22

A解析：由正方体的性质可知，A3〃平面BiOiDB,4A到平面8Q1D8的距离就是点4

到平面81D1DB的距离.连接4G,交SA于点01(图略)，4。1的长即为所求.由题意可

得AiOi=；4cl=V2.

2.如图,正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为4,M,N,E,2分别为40,2同,CM,81cl

的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为

g解析：以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，

则4(4,0,0),M(2,0,4),0(0,0,0),2(4,4,0),E(0,2,4),FQ,4,4),N(4,2,

4),所以丽=(2,2,0),砺=(2,2,0),翔=(—2,0,4),丽=(—2,0,4),

所以而=丽，BF=AM,所以EF〃MN,BF//AM.

因为EFCBF=F,MNCAM=M,所以平面AAfN〃平面EFBD

所以平面到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.

设平面AMN的法向量为“=（尤，y,z）,

（n-MN=O,“,（2x+2y=0,

则n—,所以•

I"•/■=（）,（―2x+4==0.

取z=l,则x=2,y——2,所以〃=（2,—2,1）是平面AMN的一个法向量.

因为方=（0,4,0）,所以平面AMN与平面£尸8。的距离/='亨=*

课时质量评价（三十八）

爱考点巩固

1.已知棱长为1的正方体ABCDAiBiCid，则平面ASC与平面AC。之间的距离为（）

A-?B.f

C.苧D.f

B解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则4（1，0,0）,C（0,1,0）,D（0,0,1）,z（l,0,1）,

所以两=（i,o,-1）,西=（o,1,-1）,2D=（-I,O,0）.

（--->--

设平面AiG。的法向量为帆=（%,y,z）,则t'所以x—z—0,

ag=o,

取1=1,则y=l,z=l,所以帆=（1,1,1）为平面A1GZ）的一个法向量.

显然平面A5C〃平面AiCiD,

所以平面ABiC与平面AiQD之间的距离

\m：\〃"=WV3=£3

2.（数学与文化）（2024•滁州模拟）《九章算术・商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其

一为阳马，一为鳖膈.阳马居二，鳖席居一，不易之率也.合两鳖腌三而一，验之以基，其

形露矣.”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.在阳马

P-ABCD中,侧棱热，底面ABCD,且融=1,A8=AO=2,则点A到平面PBD的距离为（）

B解析：如图，连接8。，取8。的中点E,连接PE因为A8C。为长方形，AB=AD=2,

所以B£)=2VI因为E4_L平面ABCD,AB,A£)u平面ABC。，所以B4_LAB,PALAD,所

以PB=7PA「AB，=®PD=7P£+AD=正.所以PE上BD,PE=JPU—台点=&.设点A

到平面P8O的距离为/?,则三棱锥尸-48。的体积为:乂皿•必=；SAPB*?，即有:X；x2x2xl=

-X-x2V2xV3Xh>所以/z=f.

3.在长方体ABCZX415CQ1中，A4i=AB=2,AD^l,点、F,G分别是AB,CG的中点,

则△AGP的面积为（）

B解析：以。为原点，DA,DC,所在直线分别为无轴、y轴、z轴，建立空间直角坐

标系（图略）,

则。1（0,0,2）,G（0,2,1）,F（l,1,0）,

所以西=（—1,-1,2）,同=（—1,1,1）,

所以点。1到直线GF的距离1=:两『-二:G=16—（舒=半.

又「G|=6,所以SA“GF=JXV^X¥=孚.

4.（多选题）在棱长为3的正方体ABCDAiBiGOi中，点尸在棱OC上运动（不与顶点重合）,

则点B到平面AGP的距离可以是（）

\D\

，;节

V3

V5

CD解析：如图，以。为原点，DA,DC,DDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空

间直角坐标系，

B

则0(0,0,0),A(3,0,0),3(3,3,0),Z)i(0,0,3).设尸(0,t,0)(0<Z<3),

所以N=(—3,t,0),苑=(—3,0,3),方=(0,3,0).

设平面的法向量为〃=(X,y,z),

(n-AP=O化3x+W=0,

则n}—>f所以

I”•/£)]=(),〔—3x+3z=0.

取y=3,则％=/,z=t,所以〃=(/,3,。为平面A£)i尸的一个法向量.

所以点8到平面ADrP的距离为1=屿半=

\n\J2/+9

因为0<r<3,所以点8到平面AGP的距离的取值范围是(6,3).

5.已知两平行平面a,£分别经过点。(0,0,0)和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量

为“=(—1,0,1),则这两个平面间的距离是.

V解析：因为两平行平面a,£分别经过点0(0,0,0)和点A(2,1,1),04=(2,1,1),

且两平面的一个法向量为"=(—1,0,1),所以这两个平面间的距离]=里11=12/+I|=9.

\n\V22

6.如图，在长方体ABCD-AiBCiOi中，AB=AAi=2,AD=\,E为CCi的中点，则异面直

线与AE之间的距离为

蜉解析：以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，则4(1,0,0),B(l,2,0),C(0,2,0),CAO,2,2),E0,2,1,所以

AE=(~1,2,1),刷=(—1,

设3G与AE的公垂线的方向向量为"=(x,y,z),

n-AE=0,〜—x+2y+z=0,

则—>所以

n・BCi=0,—x+2z=0.

取z=l,则x=2,所以〃=(2,r1BCi与AE的公垂线的一■个方向向量.

又因为方=(0,2,0),

7.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AIiGDi中，E为线段481的中点，尸为线段AB的

中点.

EBy

⑴求点2到直线ACi的距离；

(2)求直线FC到平面AEG的距离.

解：(1)以。1为原点，DiAi，DiCr，。。所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，

G

\--1/

XEB,

则A(l,0,1),8(1,1,1),C(0,1,1),G(0,1,0),E(l,p0),F(l,1),

所以羽=(0,1,0),而=(—1,1,-1),R=(0,:,—1),EC=(-1,g,0),

FC=(-1,p0),AF=(0,p0).

取〃=方=(0,1,0),u=-=；=

陷|

则点8到直线AG的距离为卜-L=J1-j=y.

(2)因为定=南=(—1,；,0),

所以FC//EQ,而FCQ平面AECi,ECiu平面AECi,

所以FC〃平面AEG，

所以点尸到平面AECi的距离即为直线FC到平面AECi的距离.

设平面AEG的法向量为〃=(%,y,z),

,fn-Z&=0,“、一z=0,

则|__>所以｛2

=

\n-EC1=0,—x+-y0.

取z=l,则％=1,y=2,所以〃=(1,2,1)为平面AEG的一个法向量.

又因为N=(o,1,o),

所以点F到平面AECi的距离为埠川=—,即直线FC到平面AECi的距离为"

\n\66

多高考培优

8.如图，四棱锥P-ABC。的底面是边长为2的正方形，B4_L平面且B4=4,M是

P8上的一个动点(不含端点)，过点M作平面a〃平面B4。，截棱锥所得截面的面积为》若

平面a与平面之间的距离为x,则函数y=/(x)的图象是()

C解析：如图1,过点M■作交AB于点N,则MN_L平面A8CD,过点N作N。

//AD,交C。于点Q,过点。作Q”〃P。，交PC于点H,连接MH,则平面MN。”是所

作的平面a.

因为MN_L平面4BCZ),平面MNQH〃平面胆。，所以平面MNQH与平面抬。之间的距离

2-xMN

x—AN,MNQH为直角梯形，所以y=S标衫"N2H.由题意得,解得MN=4—2x.

24

由反。〃尸。得黑=穿，即冷=黑，解得。8=石(2—x).

CDPD22V5

图2

如图，过点H作HE±NQ,则HE=MN.

在RtAHEQ中，EQ=6/—HE=2~X,

所以NE=2—(2—x)=x,所以MH=x.

2

所以y=/(x)=G+2),W=—X+4(O<X<2).

所以函数y=/(x)的图象如图2所示.故选C.

9.如图，已知四棱锥尸-A3co的底面A8CO是边长为4的菱形，且/。48=马PO_L底面

ABCD.若点D到平面PAC的距离为0,则PD=()

A.2V2B.V2

C.1D.2

D解析：设E为3C的中点，连接DE,因为底面ABC。是边长为4的菱形，且

所以。E_L8C,而AD〃BC,所以_LZM.

以。为原点，D4,DE,。尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系.

设尸。=〃(。>0),则。(0,0,0),尸(0,0,a),A(4,0,0),C(—2,26，0),

所以百=(4,0,-a),就=(—6,2V3,0),亩=(4,0,0).

设平面B4c的法向量为〃=(x,y,Z),

,(n-B4=0,〜(4x—qz=0,门

则｛—,所以<___取]=〃，则z=4,

kn-AC=0,I—6x+2«^=0.

所以〃=(Q,y[3a,4)为平面必。的一个法向量.

设点。到平面9C的距离为d,所以」=94@=7上==6,解得0=2(负值舍去).

l»lV4a2+16

10.(多选题)已知正方体ABCn-AiBiGDi的棱长为2,E为441的中点，平面a过8,G，E

三点，下列说法正确的是()

A.C。与平面a平行

B.平面AIiCD与平面a垂直

C.平面a截正方体所得截面的面积为手

D.正方体的顶点到平面a距离的最大值为七

BC解析：因为平面a过8,G，E三点，所以4?与平面a相交.因为CO〃AB,所以

C。与平面a不可能平行，故A错误.

因为在正方体中，CD_L平面BCCiS，BCiu平面BCC/i，所以CD±BCi.又因为BiCIBCi，

BiCnCZ)=C,BiC,C£)U平面481CD所以8G_L平面4SCD因为BGu平面a,故平

面A15C。与平面a垂直，故B正确.

如图，平面a截正方体所得截面为等腰梯形EFCiB,其中尸是Ad的中点，EF=y[2,BC

1

=2V2,计算得梯形EPCiB的高为子，所以梯形EFGB的面积为:x(虎+26)x¥=g,故

C正确.

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2,0,1),3(2,2,0),Ci(0,2,2),

D(0,0,0),所以尿=(0,-2,1),BC=(~2,0,2),DB=(2,2,0).

设平面BEG的法向量为/n=(x,y,z),则卜竺°,所以12"°,

=0,