冀教 九下 数学 第30章《求二次函数表达式解几何最值问题》课件

30.4二次函数的应用第三十章二次函数第2课时求二次函数解几

何最值问题逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2二次函数的最值几何面积的最值课时导入对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究．知识点二次函数的最值知1－讲感悟新知11．当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处

取得最值．即当x＝－

时，y最值＝.

当a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大

值；当a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在

最小值．知1－练感悟新知2.当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若－在自变量的取值范

围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时，

最小值在x＝

处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的

较大的函数值；当a＜0时，

最大值在x＝

处取得，

最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值；知1－练感悟新知(2)若

不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和

最小值同时存在，且函数

在x＝x1，x＝x2时的函数值

中，较大的为最大值，较

小的为最小值，如图②.感悟新知知1－练例1导引：先求出抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标，然后

看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值

范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，

利用图象求解．

分别在下列范围内求函数y＝x2－2x－3的最值：(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.知1－练感悟新知解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴图象的顶点坐标为(1，－4)．(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，∴当x＝1时，y有最小值，y最小值＝－4.∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的

图象左右对称，端点处取不到，

∴不存在最大值．知1－练感悟新知(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)，

而函数y＝x2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线y＝x2－2x－3的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝3时，y最大值＝32－2×3－3＝0；

当x＝2时，y最小值＝22－2×2－3＝－3.知1－讲总结感悟新知

求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象，借助于图象的直观性求解．感悟新知知1－练1二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值

为(

)A．2B．4C．－4D．16已知0≤x≤，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最

大值是(

)A．－6

B．－2.5

C．2

D．不能确定BB知识点几何面积的最值知2－讲感悟新知2利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：(1)引入自变量；(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相

关的量；(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且

用函数表示这个面积；(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．知2－讲感悟新知特别提醒1.列函数表达式的关键是一些面积的计算公式；2.取最值的关键是要求出自变量的取值范围.知2－练感悟新知例2用总长度为24m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架，其横档和竖档分别与AD，AB平行.设AB=xm，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大?最大面积是多少平方米?感悟新知知2－讲1.当矩形的宽AB=xm时，如何用包含x的代数式表示矩形的长BC?2.矩形的面积S与矩形的宽x之间的等量关系是什么?3.你能写出矩形的面积S与矩形的宽x之间的函数表达式吗?4.请用配方法将所得到的二次函数一般式转化成顶点式.5.该二次函数有没有最大值?最大值是多少?此时x的值

是多少?思考：

感悟新知知2－练∵∴当x=3时，S有最大值，且S最大＝12m2

答：当x=3时，矩形框架ABCD的面积S最大，

最大面积为12m2.解：感悟新知知2－练

如图，已知△ABC的面积为2400cm2，底边BC长

为80cm.若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，

且四边形BDEF为平行四边形，设BD＝x(cm)，S▱BDEF＝y(cm2)，求：(1)y与x之间的函数关系式．(2)自变量x的取值范围．(3)当x为何值时，y取得最大值？最大值是多少？导引：(1)可分别设出△DCE的边CD上的高和△ABC的边BC

上的高，根据条件求出△ABC的边BC上的高，再利用

相似找出其他等量关系，然后设法用x表示▱BDEF的边BD上的高；(2)BD在BC边上，最长不超过BC；(3)根据x的取值范围及求最值的方法解题．例3感悟新知知2－练解：(1)设△DCE的边CD上的高为hcm，△ABC的边BC

上的高为bcm，则有S▱BDEF＝xh(cm2)．∵S△ABC＝

BC·b，∴2400＝×80b.∴b＝60.∵四边形BDEF为平行四边形，

∴DE∥AB.∴△EDC∽△ABC.∴∴y＝x·

＝－

x2＋60x，即y＝－

x2＋60x.

感悟新知知2－练(2)自变量x的取值范围是0＜x＜80.(3)由(1)可得y＝－(x－40)2＋1200.∵a＝－

＜0，0＜x＜80，∴当x＝40时，y取得最大值，最大值是1200.知2－讲总结感悟新知

本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系，再代入数值，用x表示出h，进而得到y与x之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积．感悟新知知2－练如图，已知AB＝2，点C在线段AB上，四边形ACDE和四边形CBFG都是正方形.设BC=x.(1)AC＝_________.12－x感悟新知a(地平线)知2－练(2)设正方形ACDE和正方形CBFG的总面积为S，

用x表示S的函数表达式为S＝____________.(3)总面积S有最大值还是最小值？这个最大值或

最小值是多少?(4)当总面积S取最大值或最小值时，点C在AB的

什么位置？(3)S＝2x2－4x＋4＝2(x－1)2＋2.∵a＝2＞0，∴S有最小值，S最小值＝2.(4)当S