排列与组合 2025年高考数学基础专项复习

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布2025年高考数学专项复习第二节排列与组合目录排列问题组合问题排列与组合的综合应用壹贰叁排列问题壹教材知识萃取

直接法分类法选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再根据分类加法计数原理得出总数.分步法选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再根据分步乘法计数原理得出总数.捆绑法可以把相邻元素看作一个整体,与其他元素进行排列,同时也要注意捆绑元素的内部排列.插空法先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列后所形成的空中.定序法对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以已定序元素的全排列.间接法对于分类过多的问题,一般利用正难则反、等价转化的方法加以解决.教材素材变式［人A选必三P38复习参考题6第8题变式］已知有7名同学，其中4名男同学，3名女同学（这7名同学中有甲、乙、丙），若这7名同学站成一排，则共有_______种不同的排法.5

040

（1）若这7名同学站成两排，前排3名同学，后排4名同学，则共有_______种不同的排法.5

040

（2）若这7名同学站成两排，前排3名女同学，后排4名男同学，则共有_____种不同的排法.144

（3）若这7名同学站成一排，其中甲站在中间的位置，则共有_____种不同的排法.720

（4）若这7名同学站成三排，第一排站2名同学，第二排站3名同学，第三排站2名同学，其中甲站在第二排的中间位置，则共有_____种不同的排法.720

（5）若这7名同学站成一排，则甲、乙只能站在两端的排法共有_____种.240

（6）若这7名同学站成一排，则甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有_______种.2

400

（7）若这7名同学站成一排，则甲、乙必须相邻的排法共有_______种.1

440

（8）若这7名同学站成一排，则4名男同学必须站在一起，3名女同学也必须站在一起的排法共有_____种.288

（9）若这7名同学站成一排，则甲、乙必须相邻，且丙不能站在排头和排尾的排法有_____种.960

（10）若这7名同学站成一排，则甲、乙不能相邻的排法共有_______种.3

600

（11）若这7名同学站成一排，则甲、乙、丙这3名同学彼此不能相邻的排法共有_______种.1

440

（12）若这7名同学站成一排，则4名男同学彼此不能相邻，3名女同学彼此也不能相邻的排法共有_____种.144

（13）若这7名同学站成一列，则甲必须站在乙的前面（可以相邻也可以不相邻）的排法共有_______种.2

520

（14）若这7名同学站成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，则共有_______种排法.3

720

组合问题贰教材知识萃取

分组问题完全均匀分组解题时要注意分组后一定要除以组数的阶乘数,避免重复计数.部分均匀分组解题时要注意分组后一定要除以均匀分组数的阶乘数.不等分组先分组,后排列即可.分配问题相同元素分配问题常用“隔板法”求解.不同元素分配问题常用分步乘法计数原理,先分组,后分配.有限制条件的分配问题常用分类讨论法求解.教材素材变式1.［多选］［人A选必三P26习题6.2第8题变式］下列等式中，正确的是(

)

ABD

2.&1&

［人A选必三P25例7变式］在一次数学竞赛中，某学校有12人（包含甲、乙、丙3人）通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训.（1）任意选5人，不同选法的种数为_____；792

（2）甲、乙、丙3人必须参加,不同选法的种数为____；36

（3）甲、乙、丙3人不能参加,不同选法的种数为_____；126

（4）甲、乙、丙3人中只能有1人参加,不同选法的种数为_____；378

（5）甲、乙、丙3人中至少有1人参加,不同选法的种数为_____;666

（6）甲、乙、丙3人中至多有2人参加,不同选法的种数为_____.756

3.&2&

［人A选必三P22思考2变式］按下列要求分配6本不同的书.（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本,有____种不同的分配方式；60

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有_____种不同的分配方式；360

（3）平均分成三份，每份2本，有____种不同的分配方式；15

（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本,有____种不同的分配方式；90

（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本，有____种不同的分配方式；15

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有____种不同的分配方式；90

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有____种不同的分配方式.30

（1）将6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有____种不同的放法；10

（2）将6个相同的小球放入4个不同的箱子中，允许有空箱子，共有____种不同的放法；84

（3）将6个相同的小球放入3个不同的箱子中,每个箱子至多可以放3个小球,且允许有空箱子,共有____种不同的放法；10

（4）将6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有____种不同的放法；65

（5）将6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有_______种不同的放法.（结果用数字作答）1

560

排列与组合的综合应用叁教材知识萃取求解排列与组合的综合应用题的方法以元素为分析对象先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素,即优元法(直接法)以位置为分析对象先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置,即优位法(直接法)先不考虑附加条件计算出所有排列数或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数(间接法)教材素材变式

BA.30

B.36

C.360

D.1

296

2.［人B选必二P38复习题A组第5题变式］从某学习小组的8人中选2人分别担任组长和副组长，其中甲不能担任组长，则不同的选派方法共有____种.（用数字作答）49

3.[人B选必二P38复习题A组第8题变式,2023全国甲卷（理）]现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(

)

BA.120种

B.60种

C.30种

D.20种

4.[人B选必二P24习题3-1A第7（2）题变式，2021全国乙卷（理）]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(

)

CA.60种

B.120种

C.240种