2025年高考数学专项复习训练：基本不等式及其应用【九大题型】原卷版+解析版

专题1.4基本不等式及其应用【九大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1基本不等式及其应用】....................................................................2

【题型2直接法求最值】...........................................................................3

【题型3配凑法求最值】...........................................................................4

【题型4常数代换法求最值】......................................................................4

【题型5消元法求最值】...........................................................................4

【题型6齐次化求最值】...........................................................................5

【题型7多次使用基本不等式求最值】.............................................................5

【题型8利用基本不等式解决实际问题】...........................................................5

【题型9与其他知识交汇的最值问题】.............................................................8

►考情分析

1、基本不等式及其应用

考点要求真题统计考情分析

基本不等式及其应用是每年高考的必考

⑴了解基本不等式的推2020年天津卷：第14题，5内容，从近几年的高考情况来看，对基

导过程分本不等式的考查比较稳定，考查内容、

⑵会用基本不等式解决2021年乙卷：第8题，5分频率、题型难度均变化不大，应适当关

最值问题2022年I卷：第12题，5分注利用基本不等式大小判断、求最值和

⑶理解基本不等式在实2023年新高考I卷：第22题，求取值范围的问题；同时要注意基本不

际问题中的应用12分等式在立体几何、平面解析几何等内容

中的运用.

►知识梳理

【知识点1基本不等式】

1.两个不等式

不等式内容等号成立条件

重要不等式a2+b2>2ab(a,b£R)当且仅当

时取“=”

基本不等式)—a-\-b当且仅当

y[ab4-^~(6z>0,/)>0)

时取

a~\~b.——

;一叫做正数a,6的算术平均数，质叫做正数a,6的几何平均数.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.基本不等式与最值

已知x,y都是正数，

(1)如果积孙等于定值P,那么当尤=>时，和x+y有最小值2五；

1

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积切有最大值

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(l)x、y>0,(2)和(积)为定值，(3)存

在取等号的条件.

3.常见的求最值模型

(1)模型一：mx+—>2y[mn(m>0,n>0),当且仅当x=J，时等号成立；

XV冽

(2)模型二：mx-\——-—=m{x-d)-\——-——I-ma>2^1mn+ma(jn>0,«>0),当且仅当x-a=J'■时等号成

x-ax-aVrn

立；

(3)模型三：——=——1——<—^=—(a>0,c>0),当且仅当x=[归时等号成立；

ax+bx+cQx+b+工2jac+6Va

x

/八十西在iirm/、mx(n-mx)1mx+n-mx.八八八九、止口e止n

(4)模型四：x(n-mx)=---------<—\z---------------)22=——(m>0,n>0,0<x<—),当且仅当工=——

mm24机m2m

时

等号成立.

4.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

nhnh

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+产改为常数)，求2的最值”的问题，先将@+义转化为

xyxy

C+0)；，,再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和

为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

►举一反三

【题型1基本不等式及其应用】

【例1】(2023•安徽蚌埠•模拟预测)已知实数a,6,c满足a<b<c且abc<0,则下列不等关系一定正确的是

A.ac<beB.ab<ac

bcba八

T

C.-C+-D7>2D.-a+D>2

【变式1-1］（2023・湖南长沙•一模）已知2m=3九=6,则机，〃不可能满足的关系是（）

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.（m—l）2+（n—I）2>2

【变式1-2］（2024•山东枣庄•一模）已知a>0,b>0,贝『a+b>2”是“a2+房>2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-3］（2023・辽宁•二模）数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所

示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点。为斜边N2的中点，点。为斜边上异于顶点的一个动点，

设4D=a,BD=b,用该图形能证明的不等式为（）.

A.>y/ab(a>0,b>0)B.<Vafo(a>0,b>0)

C.芋W>0,b>0)D.a2+b2>2Vab(a>0,b>0)

【题型2直接法求最值】

7

【例2】（2023•湖南岳阳•模拟预测）已知函数f（x）=3—7则当x<0时，/（乃有（）

A.最大值3+2&B.最小值3+2立

C.最大值3-2四D.最小值3-2鱼

【变式2-1］（2023•北京东城•一模）已知x>0,则x-4+g的最小值为（）

A.-2B.0C.1D.2V2

【变式2-2］（22-23高三下・江西・阶段练习）（3+甘（1+4%2）的最小值为（）

A.9V3B.7+4V2C.8^3D.7+4^3

【变式2-3］（23-24高二下•山东潍坊•阶段练习）函数y=3—x（x>0）的最大值为（）

A.-1B.1C.-5D.5

【题型3配凑法求最值】

【例3】（2023•山西忻州•模拟预测）已知a>2,贝!J2a+白的最小值是（）

a-L

A.6B.8C.10D.12

【变式3-1］（2024•辽宁•一模）已知小>2几>0,则考+：的最小值为（）

A.3+2V2B.3-2V2C.2+3近D.3近一2

【变式3-2］（2023•河南信阳•模拟预测）若—5<*<—1,则函数/（久）=嗖詈有（）

A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-1

【变式3-3］（23-24高三下•河南•开学考试）已知a>0力>0,则a+26+焉瓦4的最小值为（）

A.6B.5C.4D.3

【题型4常数代换法求最值】

11

【例】（•江苏南通•二模）设久贝咏+的最小值为（）

42024>0,y>0,;x+2y=2,y7

A.-B.2V2C.~+V2D.3

12

【变式4-1］（2024•黑龙江哈尔滨•二模）已知正实数》,>满足：+亍=1,贝|2孙一3%的最小值为（）

A.8B.9C.10D.11

【变式4-2］（2024•广东湛江•一模）已知ab>0,az+ab+2b2=l,则。2十2廿的最小值为（）

A.卡B.竽D.中

【变式4-3］（2023•广东广州•模拟预测）已知正实数x,y满足2x+y=xy,则2xy—2x-y的最小值为

()

A.2B.4C.8D.9

【题型5消元法求最值】

【例5】（2024•陕西西安•三模）已知x〉0,y>0,xy+2x-y-10,贝咏+y的最小值为.

【变式5-1］（2023・上海嘉定•一模）已知实数°、6满足ab=—6,则a?+用的最小值为.

【变式5-2］（2024•天津河东•一模）若a>0力>0,a6=2,则笔普的最小值为.

【变式5-3］（2024•四川德阳,模拟预测）已知正实数久，y,z^^x2+xy+yz+xz+%+z=6,则3%+2y+z

的最小值是.

【题型6齐次化求最值】

【例6】（23-24高一上•湖南娄底•期末）已知%>0,则三尹的最小值为（）

A.5B.3C.-5D.-5或3

【变式6-1］（23-24高一上•辽宁大连•期末）已知x,y为正实数，且x+y=l,则匕瑞里的最小值为（）

入1y

A.24B.25C.6+4V2D.6或一3

【变式6-2］（23-24高二上・安徽六安•阶段练习）设a+b=l力>0,则高+写的最小值是（）

A.7B.6C.5D.4

【变式6-3］（23-24高三上•浙江绍兴•期末）已知x为正实数，〉为非负实数，且x+2y=2,则子+/

的最小值为（）

«3-3

A-4B-ZC.5D.-

【题型7多次使用基本不等式求最值】

【例7】（2023•河南•模拟预测）己知正实数a,b,满足a+625+（,则a+b的最小值为（）

A.5B.|C.5V2D.苧

【变式7-1】（2023•全国•模拟预测）己知a为非零实数，b,c均为正实数，则若鬻上的最大值为（）

A.1B.孚C.，D.—

2424

【变式7-2］（2024•全国•模拟预测）已知a>0,b>0,c>1,a+2b=2,则0+三的最小值为

\ab/c-l

（）

921

A.-B.2C.6D.—

【变式7-3］（23-24高三下•浙江•开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且（+：=c2+d2=2,则。+松

的最小值为（）

A.3B.2V2

C3+V2D3+2^2

【题型8利用基本不等式解决实际问题】

【例8】（23-24高二下•北京房山•期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为

750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间4B,C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月

季(其中B,C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为xm,鲜花种植的总面积为Sm2.

(1)用含有x的代数式表示a；

(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大?

【变式8-1](23-24高一上•辽宁朝阳•期末)冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物

品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.

随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准

备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的x百万元在第小

6A^*,l<m<4

.L.mx卅UM*qv",va，记这4

4—/16——,mGN,5<m<o

百万元投资从2024年开始的第n年产生的利润之和为九(x).

(1)比较%(2)与人(2)的大小；

(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.

【变式8-2](23-24高一上•河南开封•期末)如图，一份印刷品的排版(阴影部分)为矩形，面积为32,

它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为1的空白.记纸张的面积为S,排版矩形的长

和宽分别为x,y.

⑴用x,y表示S;

（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小？并求最小面积.

【变式8-3］（23-24高一上•四川成都・期末）如图所示，一条笔直的河流I（忽略河的宽度）两侧各有一个

社区4B（忽略社区的大小），4社区距离Lt最近的点4）的距离是2km,B社区距离/上最近的点Bo的距离是1

km,且4为=4km.点P是线段友员上一点，设4（）P=akm.

现规划了如下三项工程：

工程1：在点P处修建一座造价0」亿元的人行观光天桥；

工程2：将直角三角形7L40P地块全部修建为面积至少lkm2的文化主题公园，且每平方千米造价为（1+9）

亿元；

工程3：将直角三角形BBoP地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.

记这三项工程的总造价为W亿元.

（1）求实数a的取值范围；

（2）问点P在何处时，W最小，并求出该最小值.

【题型9与其他知识交汇的最值问题】

【例9】（23-24高三上•江苏南通•阶段练习）己知4ABe内接于单位圆，且（1+tan4）（l+tanB）=2,

（1）求角C

（2）求△ABC面积的最大值.

【变式9-1］（23-24高三上•山东青岛•期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西

方早1000多年，在《九章算术》中,将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（如劭而）;阳马

指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈（6z"0。）指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵

ABC-A^BrC^^BX.AC.

⑴求证:四棱锥B-为阳马；

（2）若CiC=BC=2,当鳖膈J—4BC体积最大时，求锐二面角Ci的余弦值.

【变式9-2］（2024•广东珠海一模）已知4、B、。是4A8C的内角，a、b、c分别是其对边长，向量沆=

（a+b,c）,n=（sinB-sinAsinC-sinB）,且沅1n.

（1）求角”的大小；

（2）若a=2,求2L4BC面积的最大值.

【变式9-3］（2024•黑龙江大庆•一模）已知椭圆，+fJ=l（a>b>0）,过点（1,|）且离心率为表4B是椭圆

—>—>—>

上纵坐标不为零的两点，若4F=%FB（4eR）且力F丰FB,其中F为椭圆的左焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求线段4B的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围.

►过关测试

一、单选题

1.（2023・全国•三模）已知a>0,b>0,且a+b=l,则下列不等式不正确的是（）

A.abB.a2+/?2>!

C.—+>2D.-\［a+Vb<1

2.（2024•甘肃定西•一模的最小值为（）

A.2V7B.3V7C.4夕D.S巾

3.（2024•辽宁葫芦岛•一模）已知a>0,b>0,a+b=2,贝!］（）

A.0<a<1B.0<ah<1C.a2+62>2D.l<b<2

4.（2024•浙江嘉兴•二模）若正数％y满足%2-2%y+2=0,贝！J%+y的最小值是（）

A.V6B.苧C.2V2D.2

5.（2024・四川成都・模拟预测）若a力是正实数，且*+福=1,贝必+6的最小值为（）

42

A.-B.-C.1D.2

6.（2024•陕西西安・模拟预测）下列说法错误的是（）

A.若正实数a力满足a+6=1,贝叶+轴最小值4

B.若正实数a力满足a+26=1,则2。+4b22鱼

C.y-V%2+3+，*的最小值为竽

D.若a>6>l,则ab+l<a+6

7.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别

为加元和〃元（m7n）,甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20

件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为臼"2,则（）

A.即=a2B.ai<a2C.ar>a2D.的,42的大小无法确定

8.（2024•四川成都・三模）设函数f（x）=/一久，正实数a力满足f（a）+f（b）=-2b,^a2+Ab2<1,则实数

2的最大值为（）

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2V2

二、多选题

9.（2023•全国•模拟预测）已知实数x,y,下列结论正确的是（）

A.若x+y=3,xy>0,则^+^^23

B.若x>0,盯=1,则今+/+景的最小值为4

C.若久40且xK—1,则

D.若无2一y2=i,则2/+初的最小值为1+孚

10.（2023•重庆沙坪坝•模拟预测）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工

资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅a%,第二次涨幅6%；

乙：第一次涨幅等％,第二次涨幅等％；

丙：第一次涨幅第二次涨幅

其中a〉b>0,小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（）

A.方案甲和方案乙工资涨得一样多B.采用方案乙工资涨得比方案丙多

C.采用方案乙工资涨得比方案甲多D.采用方案丙工资涨得比方案甲多

11.（2024・全国•模拟预测）已知。>0,5>0且，+^=2,则下列说法正确的是（）

Q

A.ab有最小值4B.a+b有最小值万

C.2仍+。有最小值2遍D.-16a2+板的最小值为4企

三、填空题

21

12.（2024・全国•模拟预测）已知x>l,y>0,且X+1=2,则三+y的最小值是.

13.（2024•上海奉贤•二模）某商品的成本C与产量q之间满足关系式C=C（q）,定义平均成本。=C（q）,其

中。=等，假设C（q）=%2+100,当产量等于时，平均成本最少.

14.（2024•全国•模拟预测）记maxQiMM}表示第1，%2,%3这3个数中最大的数.已知。力，都是正实数，

M=max{a,i+—则M的最小值为______.

1acbJ

四、解答题

13

15.（2023・甘肃张掖•模拟预测）已知正实数x,y满足等式5+亍=2.

（1）求xy的最小值；

（2）求3久+y的最小值.

16.(2023•全国•模拟预测)已知x,y,z6(0,+8),且久+y+z=l.

,、yz久

⑴求证：曰+厉+%>1+6—Z；

(2)求/+y2+z2+5xy+4yz+4xz的最大值.

17.（2023•陕西安康•模拟预测）已知函数f（x）=|x+a|+|x—bh

（1）当a=2,6=3时，求不等式/（幻26的解集；

(2)设a>0力>1,若f(x)的最小值为2,求:+六•的最小值.

18.(23-24高一上•贵州铜仁・期末)2020年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活

造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面

逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品

的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用“万元(加")满足产4-

高.已知生产该产品的固定成本为8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为学

万元/万件(产品年平均成本)的L5倍.

(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

19.(2023・全国•模拟预测)已知x,y,ze(0,+oo).

(1)若x+y=l,证明：V^+Vy<V8；

(2)若x+y+z=l,证明/+京+京>1+6-z.

专题1.4基本不等式及其应用【九大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1基本不等式及其应用】....................................................................2

【题型2直接法求最值】...........................................................................4

【题型3配凑法求最值】...........................................................................5

【题型4常数代换法求最值】......................................................................7

【题型5消元法求最值】...........................................................................8

【题型6齐次化求最值】...........................................................................9

【题型7多次使用基本不等式求最值】............................................................11

【题型8利用基本不等式解决实际问题】..........................................................13

【题型9与其他知识交汇的最值问题】............................................................16

►考情分析

1、基本不等式及其应用

考点要求真题统计考情分析

基本不等式及其应用是每年高考的必考

⑴了解基本不等式的推2020年天津卷：第14题，5内容，从近几年的高考情况来看，对基

导过程分本不等式的考查比较稳定，考查内容、

⑵会用基本不等式解决2021年乙卷：第8题，5分频率、题型难度均变化不大，应适当关

最值问题2022年I卷：第12题，5分注利用基本不等式大小判断、求最值和

⑶理解基本不等式在实2023年新高考I卷：第22题，求取值范围的问题；同时要注意基本不

际问题中的应用12分等式在立体几何、平面解析几何等内容

中的运用.

►知识梳理

【知识点1基本不等式】

1.两个不等式

不等式内容等号成立条件

重要不等式a2+b2>2ab(a,b£R)当且仅当

时取“=”

基本不等式)—a-\-b当且仅当

y[ab4-^~(6z>0,/)>0)

时取

a~\~b.——

;一叫做正数a,6的算术平均数，质叫做正数a,6的几何平均数.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.基本不等式与最值

已知x,y都是正数，

(1)如果积孙等于定值P,那么当尤=>时，和x+y有最小值2五；

1

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积切有最大值

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(l)x、y>0,(2)和(积)为定值，(3)存

在取等号的条件.

3.常见的求最值模型

(1)模型一：mx+—>2y[mn(m>0,n>0),当且仅当x=J，时等号成立；

XV冽

(2)模型二：mx-\——-—=m{x-d)-\——-——I-ma>2^1mn+ma(jn>0,«>0),当且仅当x-a=J'■时等号成

x-ax-aVrn

立；

(3)模型三：——=——1——<—^=—(a>0,c>0),当且仅当x=[归时等号成立；

ax+bx+cQx+b+工2jac+6Va

x

/八十西在iirm/、mx(n-mx)1mx+n-mx.八八八九、止口e止n

(4)模型四：x(n-mx)=---------<—\z---------------)22=——(m>0,n>0,0<x<—),当且仅当工=——

mm24机m2m

时

等号成立.

4.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

nhnh

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+产改为常数)，求2的最值”的问题，先将@+义转化为

xyxy

C+0)；，,再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和

为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

►举一反三

【题型1基本不等式及其应用】

【例1】(2023•安徽蚌埠•模拟预测)已知实数a,6,c满足a<b<c且abc<0,则下列不等关系一定正确的是

A.ac<beB.ab<ac

【解题思路】由不等式的性质判断A、B,根据基本不等式可判断C、D.

【解答过程】因为a<b<c且abc<0,所以a<0<b<c或a<b<c<0,

对A：若a<O<bVc,则ac<bc,若aVb<cVO,则ac>bc,A错误；

对B：vh<c,a<0,.'.ab>ac,B错误；

对C：由a<0<bVc或aVb<cV0,知0且匕<c,.l+F>2ax£=2,C正确；

Ccb7cb

对D：当a<O<b<c时，有g<0,从而5+(<0

当a<b<c<0,贝哈>0且a<b,.♦.，+£>2Jix、=2,D错误.

故选：C.

【变式1-1](2023・湖南长沙•一模)已知26=3"=6,则加，〃不可能满足的关系是()

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.(m—l)2+(n—l)2>2

【解题思路】根据对数的运算判断A,根据不等式的性质判断BCD.

mn

【解答过程】<•,2=3=6,・,.m=log26>0,n=log36>0,即'+：=log62+log63=1,即

m+n=mn(mHri),m>0,n>0.

对于A,m+n=mn<(丝m+n>4成立.

对于B,vmn=m+n>2y/mn,•<-mn>4,成立.

对于C,m+n>4,16<(m+ri)2=m2+n2+2?7m<2(m2+n2),即m2+n2>8.故C错误;

对于D,(m-l)2+(几—1)2=(zn-72)2+2>2成立.

故选：C.

【变式1-2](2024•山东枣庄•一模)已知a>0力>0,则“a+8>2”是22+左>2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案.

【解答过程】若。>0,6>0,a+b>2,则小+卜22+初2>2,充分性成立;

若02+房>2,可能a=&,b=0.1,此时a+b<2,所以必要性不成立.

综上所述，“a+b>2”是“a?+按>2"的充分不必要条件.

故选：A.

【变式1-3]（2023•辽宁•二模）数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所

示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边N8的中点，点。为斜边上异于顶点的一个动点，

设AD=a,BD=b,用该图形能证明的不等式为（）.

A.>y/ab(a>0,b>0)B.<Vab(a>0,b>0)

C.竽W>0,b>0)D.a2+b2>2y[ab{a>0,b>0)

【解题思路】由△ABC为等腰直角三角形，得到。。=等，OD=\OB-BD\,然后在RtZ\OCD中，得到CZ)

判断

【解答过程】解：由图知：。。=38=誓0。=|。8—80=|等一b|=|9卜

在RtZkOC。中，CD=70c2+。。2=J丝/，

所以。CW。。，即小W手手（a>。力>0）,

故选：C.

【题型2直接法求最值】

【例2】（2023•湖南岳阳•模拟预测）已知函数f（x）=3-x-7g则当x<0时，f（x）有（）

A.最大值3+2让B.最小值3+2鱼

C.最大值3-2四D.最小值3-2鱼

【解题思路】由基本不等式即可求解.

【解答过程】由题意当x<0时，f（x）=3+[（-%）+（-1）|>3+2V2,等号成立当且仅当％=-正

故选：B.

4

【变式2-1]（2023•北京东城•一模）已知万〉0,贝年—4+嚏的最小值为（）

A.-2B.0C.1D.2V2

【解题思路】由基本不等式求得最小值.

【解答过程】•.这>0,.・.乂+：-422，^|-4=0,当且仅当％=:即x=2时等号成立.

故选：B.

【变式2-2]（22-23高三下•江西•阶段练习）（3+9）（1+47）的最小值为（）

A.9V3B.7+4V2C.8V3D.7+4V3

【解题思路】依题意可得（3+/）（1+4/）=7+专+12尤2,再利用基本不等式计算可得.

【解答过程】（3+9（1+4/）=7+9+12x227+2.12/=7+4后

当且仅当t=12/,即时，等号成立，

故（3+5）（1+4/）的最小值为7+4V3.

故选：D.

【变式2-3]（23-24高二下•山东潍坊•阶段练习）函数y=3-：x（%>0）的最大值为（）

A.-1B.1C.一5D.5

【解题思路】根据均值不等式即可求得函数最大值.

44

【解答过程】因为y=3-1一%=3-（％+嚏）且久>0,

故可得y=3—（%+g）<3—2Jxxi=—1.

当且仅当X=:即X=2时取得最大值.

故选：A.

【题型3配凑法求最值】

【例3】（2023•山西忻州•模拟预测）已知a>2,贝。2a+的最小值是（）

a-z

A.6B.8C.10D.12

【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.

【解答过程】因为a>2,所以a—2>0

oO__

所以2aH=2（a—2）H---+4>2V16+4=12,

CL—Z、'CL—Z

当且仅当2（a—2）=白，即a=4时，等号成立.

所以2a+9的最小值为12.

CL-Z

故选：D.

【变式3-1](2024・辽宁・一模)已知小>2n>0,则借+：的最小值为()

A.3+272B.3-2V2C.2+3立D.3立一2

【解题思路】根据题意，m=(m-2n)+2n,将所求式子变形，利用基本不等式求解.

【解答过程】由m>2n>0,

・•・m-2n>0,m=(m—2n)+2n,

mm(m—2n)+2n(m—2n)+2n,2n+m—2n

d--------------=3o+>3+2V2,

m—2nnm—2nn

当且仅当悬即爪=(2+”时等号成立.

故选：A.

【变式3-2](2023•河南信阳•模拟预测)若—5<x<—1,则函数/(>)=噗洋有()

A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-1

【解题思路】由题意，0<-0+1)<4,/(x)=-[^2+—^-1，利用基本不等式求解.

L2—2(x+l)J

【解答过程】因为一5cx<-1,所以0<-(x+l)<4,

f(x)=—=_卜(,+1)+1]<-21(x+1)1=-1

7W2(*+1)L2+-2(x+l)J-12-2(x+l)

当且仅当呼2=万岛，即刀=一2时等号成立，

ZX.)

所以函数f(x)有最大值-1.

故选：D.

【变式3-3](23-24高三下•河南•开学考试)已知a>0,6>0,贝M+26+忌石的最小值为()

A.6B.5C.4D.3

【解题思路】

根据基本不等式即可求解.

【解答过程】

由于a>0力>0,所以。+2Z?4-1>0,

由a+2b+$=(a+2b+l)+$-122j(a+2b+l)x$-L=3,

（当且仅当a+2b=1时取等号），可得a+26+舄n的最小值为3,

故选：D.

【题型4常数代换法求最值】

【例4】（2024•江苏南通•二模）设久>0,y>0,§+2y=2,贝咏+:的最小值为（）

O

A.-B.2V2C.-+V2D.3

【解题思路】由不等式力”的代换求解即可.

【解答过程】因为§+2y=2,所以*+y=l,

因为x>0,y>0,所以x+；（x+m住+y）=2+xy+击+1

=|+xy+点？I+2回?=|+2X^=|+V2.

zzxyz-u2xy乙L乙

1

xy=——f]+«

当且仅当,2xy即一二二时取等.

]+y=1ly=2-V2

'2%

故选：C.

12

【变式4-1]（2024•黑龙江哈尔滨•二模）已知正实数x,y满足（+1=1,则2孙-3x的最小值为（）

A.8B.9C.10D.11

【解题思路】利用基本不等式计算即可.

【解答过程】易知|+：=1=>2久+y=xy,则2盯-3久=2（2%+y）-3x=（久+2y）,（；+：）

=5+^+y>5+2

当且仅当§=,，即久=y=3时取得等号.

故选：B.

【变式4-2]（2024•广东湛江