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文档简介

2024-2025学年上学期九年级第一次综合训练数学试卷

一、选择题

1.下列各组图形中,一定相似的是()

A.任意两个平行四边形B.任意两个正方形C.任意两个菱形D.任意两个矩形

2.方程2x2_6X+9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()

A.6,2,9B.2,-6,9C.2,6,9D.2,-6,-9

3.一元二次方程x2-6%-6=0配方后化为()

A.(x-3)2=15B.(x-3)2=3C.(x+3)2—15D.(x+3)2—3

4.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5on,6c机和10on,另一个三角形

的最短边长为2.5CM,则它的最长边为()

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

5.将抛物线歹=/+]向左平移3个单位长度得到抛物线()

22

A.夕=(x+3),lB.J=(x-3),1c.y=x+4Dy=x-2

6.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点

A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是()

23

A-B.lC-D.2

32

7.某品牌网上专卖店1月份的营业额为50万元,已知第一季度的总营业额共600万元,如果平均每月增长率为

羽则由题意列方程应为()

A.50(1+x)2=600B.50[1+(1+X)+(1+X)2]=600

C.50+50x3%=600D.50+50x2%=600

8.已知抛物线y=axz+bx+c的部分图象如图所示,则当y<0时,x的取

值范围是()

A.x<3B.x>-1

C.-l<x<3D.x<-1或x>3

9.如图,。为△ABC的边AB上一点,若A8=15,AC=10,AO=3,在AC边上取

一点E,使△AO石与AA3c相似,则AE的长为()

5

A.2B.3.5C.2或4.5D.2或3.5

10.已知二次函数y=7-2依+。QW0)的图象经过A仔,yp,B(3a,y2)两点,则下列判断正确的

是()

A.可以找到一个实数°,使得yi>aB.可以找到一个实数a,使得竺<0

C.无论实数。取什么值,都有yi>aD.无论实数a取什么值,都有"<0

二、填空题

11.若AABC与AA'B'C相似,一组对应边的长为AB=2cm,A'B'=4cm,那么AABC与AA'B'C的

相似比是.

12.抛物线的对称轴是.

A

13.二次函数y=(xT),当x<0时,y随X的增大而.(填“增大”或--7。

“减小”)

14.如图,AB〃CD,AC,BD相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则BE的长为.

15.设。,6是方程/—》—6=0的两实数根,贝!J/+1b-6-.

16.在平面直角坐标系xOy中,A(xi,yi),B(尤2,>2),C(X3,>3)是二次函数

y=-/+4x-1图象上三点.若对于比<xi</w+l,m+l<x2<^m+2,m+2<x3<m+?i,存在贝U加

的取值范围是.

三、解答题

17.解方程:X2-7X+10-0

18.如图,已知四边形ABCD相似于四边形ABCD,求NA的度数及x的值.

(第18题)(第19题)(第20题)

19.如图,EG〃BC,GF〃CD,AE=3,EB=2,AF=6,求AD的值.

20.如图是一张长12dm,宽的长方形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样的边长为x而的正方形,然

后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体纸盒.若要制作一个底面积是40而2的一个无盖长方体纸

盒,求剪去的正方形边长X.

21.如图,AIBC中,CD是边A3上的高,且坦=型,求NACB的大小.

CDBD

22.已知关于x的一元二次方程:27+(〃?,-2)x-m=0.

(1)求证:不论根为何实数,方程总有实数根;

(2)当〃?=-7时,此方程的两个根分别是菱形ABCD两条对角线长,求菱形A3CD的面积.

23.【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题:

如图(1),在△ABC中,点。是2C的中点,点E是AC的一个三等分点,且庇]人0连结A。,BE

交于点G,则昆=______.

GE

【拓展】

(2)如图(2),在平行四边形4BC。中,点E为BC的中点,点/为CD上一点,BF与AE、AC分别

交于点G、M,若史二,求皂■的值.

CDmMG

24.中新社上海3月21日电(记者缪璐)21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决

赛中,陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军,全红婵位列第二,掌敏洁获得铜牌.在精彩的比赛过程中,

全红婵选择了一个极具难度的207c(向后翻腾三周半抱膝).如图2所示,建立平面直角坐标系xOy.如

果她从点A(3,10)起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分,从起跳到入水的过程中,她的竖直高

度了(单位:米)与水平距离x(单位:米)近似满足函数关系式y=a(x-/i)2+k(a<0).

图1

(1)在平时训练完成一次跳水动作时,全红婵的水平距离尤与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离x/m033.544.5

竖直高度y/机1010k106.25

根据上述数据,直接写出k的值为,直接写出满足的函数关系式:

(2)比赛当天的某一次跳水中,全红婵的竖直高度了与水平距离x近似满足函数关系y=-5f+40x-68,

记她训练的入水点的水平距离为力;比赛当天入水点的水平距离为“2,则必”2(填

或;

(3)在(2)的情况下,全红婵起跳后到达最高点2开始计时,若点2到水平面的距离为c,则她到水

面的距离y与时间t之间近似满足y=-5p+c,如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极

具难度的270c动作,请通过计算说明,她当天的比赛能否成功完成此动作?

25.在平面直角坐标系中,抛物线y=o?+bx+3QW0)经过A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点

C,点P是抛物线上一动点,且在直线的上方.

(1)求抛物线的表达式.

(2)如图1,过点尸作尤轴,交直线于点E,若

PE=2ED,求点尸的坐标.

(3)如图2,连接AC、PC、AP,AP与BC交于点G,过

点P作尸尸〃AC交BC于点F.记△ACG、△尸CG、APGF

的面积分别为Sl,S2,S3.求一s3一s的最大值.

S2S1

参考答案与试题解析

解答题(共2小题)

1.如图,△ABC中,CO是边AB上的高,且迫=①,求/ACB的大小.

CDBD

【考点】相似三角形的判定与性质.

【解答】解:是边A3上的高,

/.ZADC=ZCDB=90°,

..AD=CD

"CD而,

:./\ADC^/\CDB,

ZA=ZDCB,

VZA+ZACD=90°,

ZDCB+ZACD=9Q°,

即NAC3=90°.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.

2.【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题:

如图,在△ABC中,点。是BC的中点,点E是AC的一个三等分点,且AE=、AC-连结A。,BE交于

点、G,求里的值.

GE

小明发现,过点。作Z)H〃AC交BE于H,可证明△AGEgAOGH,得到相关结论后,再利用相似三角

形的性质即可得到问题的答案.下面是小明的部分证明过程:

解:如图①,过点。作Z)”〃AC交BE于H,则/E4G=/"DG,ZAEG=ZDHG,

•.•。是BC的中点,

:.BD=CD,

•BHBD一

••——I,

EHCD

:・BH=EH,

•■"DH=yCE)

是AC的一个三等分点,且AE-^AC,

3

•••AE=yCE-

:.AE=DH,

:.AAGE出△DGH.

请你补全余下的证明过程.

【尝试应用】

(2)如图②,在△ABC中,。为AC上一点,AB=AD,连结BD,AELBD,交BD、BC于点E、F.若

AD=6,CD=2,AF=5,则AE的长为至.

—8—

【拓展提高】

(3)如图③,在平行四边形ABC。中,点E为BC的中点,点F为C。上一点,与AE、AC分别交

于点G、M,若上口一,则生:的值为三工.

CDmMG一m—

AA

BDC

Ec

图①图②国③

A

A\

BDC

【考点】相似形综合题.

【解答】【感知】解:如图①,过点D作。H〃AC交BE于H,则/EAG=//TOG,ZAEG=ZDHG,

•••£)是BC的中点,

:.BD=CD,

.BH=BD=1

・'EHCD

:・BH=EH,

:.DH=^CE,

9

是AC的一个三等分点,且AE=』AC,

3

:.AE=—CE,

2

:.DH=AE,

:.AAGE^ADGH(ASA),

:.GH=GE,

:.BG-GH=GE+GH,

:.BG=3GE,

.•.幽=3,

GE

.•.1.的值为3.

GE

【尝试应用】解:如图②,取2C的中点X,连结即,则

':AB=AD=6,AE_LB。于点E,CD=2,AF=5,

:.BE=DE,AC=AD+CD=6+2=8,

:.EH//CD,EH=—CD=\,

2

':EH//AC,

:.AEUFsAACF,

.EF-EH-l

AFACR

...EF=AAF=AX5=互,

2

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