北京市顺义区某中学2023-2024学年高三年级下册3月月考数学试题

顺义区第九中学高三3月月考

数学

2024.3

第一部分（选择题共40分）

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.选出符合题目要求的一项）

1.若集合A={R—2<1},3=—1或x>3},则（）

A.{x\-2<x<-l}B.{x\-2<x<3}

C.{x|x<l或x>3}D.{x|-2<x<l或x>3}

【答案】C

【解析】

【分析】运用集合的并集的定义，借助于数轴表示即得.

【详解】由A={x|-2<x<l},3={x[%<-1或x>3}可知，

AoB={x\-2<x<l}o{x|x<-IgJcv>3}={x|x<1或x>3}.

故选：C.

2.设aeR,若复数（。-2i）（2+i）在复平面内对应的点位于虚轴上，则。=（）

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由复数乘法运算可得该复数在复平面内对应的点为（2a+2,a-4）,由复数的几何意义可解得

a=­l.

【详解】根据题意可得（a-2i）（2+i）=2a+ai-4i-2i2=2a+2+（a-4）i,

所以在复平面内对应的点为（2a+2,a—4）,即（2a+2,a—4）在虚轴上，

因止匕可得2a+2=0,即a=-1；

故选：B

3.下列函数既是偶函数，又在（0,+"）上单调递增的是（）

…$B.小）&

C./(x)=lg(x2+l)D.f(x)=x--

【答案】C

【解析】

【分析】根据偶函数的定义，结合函数的单调性逐一判断即可.

【详解】对于A,定义域为故是非奇非偶函数，A错,

对于C,•.•定义域为R,且/(—x)=lg[(—x)2+l]=lg(d+l)为偶函数，

设方=炉+1，・.・y=lg，在(0,+。)上为增函数，/=X2+]在(0,+8)上为增函数,

・・・/(%)=坨(％2+1)在(0,+8)上为增函数，.・.(2对.

对于D,----%=~f(^)为奇函数，，口不对.

故选：C.

4.若(1一2%)3=%++々3X3,则〃1+%+。3=()

D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】对犬赋值，分别赋值x=0,x=l,进而可得结果.

【详解】由(1一2%)3=/+卬%+%%2+/％3,

令X=0,则r=%,即%=1,

令％=1,则(1-2)3=4+q+〃2+〃3，

即一1=1+〃]+a?+%

所以q+%+%=—2.

故选：D.

5.向量口尻1在正方形网格中的位置如图所示.若向量X商+5与]共线，则实数2=()

【答案】D

【解析】

【分析】先由图得出用万万表示△的式子，再根据向量共线的充要条件求之即得.

【详解】根据网格图中的百出了的大小与方向，易于得到"=2Z+B，

由向量资+B与工共线，可得热+B=启=*2£+坂)，解得：?=1,2=2Z=2.

故选：D.

6.已知a,b>0,且awl,b/1,若loga6〉l,则()

A.(a-l)(Z?-l)<0B.(a-l)(a-Z?)>0C.D.(Z?-l)(Z?-a)>0

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性，结合。>1或0<。<1分类讨论进行判断即可.

【详解】解:由log“5〉l,即log”6〉log.a,,

当a>l时，则有b>a>l,

此时Z?—1>0,b—a>0,a—1>0,a—b<0,

则(。一1)(/?-1)>0,(a-l)(a-Z?)<0,(Z?-l)(/?-a)>0,

D选项符合；

当0<a<l时，则有0<><a<l,

此时Z?—1<0,b—a<0,a—1<0,a—b>0,

则>0,(a-l)(a-Z?)<0,(Z?-l)(a-/?)<0,

D选项符合；

故选：D.

7.若数列｛a“｝为等比数列，则“%21”是“弓+为22”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】设出公比4,先由生21得到利用基本不等式可得4+%=«!(1+1)22qq222,得

到"4是"6+%”'的充分条件，再通过举反例4吗=2说明"生不是"四+%之2”的必要

条件，故得结论.

【详解】因数列｛4｝为等比数列，不妨设公比为夕，则由可得q/Ni,故4〉。，而

a］+a5=q(l+q"),

由1+/22寸知。i+qN2qq2,当且仅当/=1时取等号，而［^之］,故q+%22,

此时4=±1,。1=1,故“/21”是“6+%22”的充分条件;

2g1

r\2—W1

42a24

，则%=iQ--~4，而1+q2，

由+%=q(l+q)22可得q2]+q4cl+=1

q

故不一定能得到421・

如q=g,q=2时，满足q+%之2,但是a,==2x(-i)2=g<1,

故“a3>1”不是“a1+的22”的必要条件.

即“％21”是“/+%22”的充分不必要条件.

故选：A.

8.随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注.故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木

质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”.图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐尻(wu)殿顶可近似

看作图2所示的几何体，其中底面A3CD是矩形，-=-,EF//AB,四边形是两个全

AB9

等的等腰梯形，AES,△用C是两个全等的等腰三角形.若5C=10,EF=12,AE=13,则该几何体的体

积为(

（图1）（图2）

A.720B.240岳C.300厉D.1080

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可将几何体分割成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥，再由柱体和锥体的体积公式即可

求得出结果.

【详解】由生=*,砂〃AB,BC=10可得A5=18；

AB9

分别过点eP作EP,E。,在MW垂直于垂足分别为P,Q,MN,如下图所示:

又底面A3CD是矩形，四边形是两个全等的等腰梯形，是两个全等的等腰

三角形，

所以四边形M8CN,APQ£>为全等的矩形，即APLPQ,

又APL石P,EPc尸。=P,ERPQu平面PEQ,所以AP/平面PEQ；

由APu平面A3CD可知平面ABCD±平面PEQ；

则三棱柱EPQ-WWN为直三棱柱，四棱锥E-APQD和四棱锥尸-MBCN为全等的四棱锥；

易知%f=石尸=12，AP=3,又AE=13,可得PE=J13?-3?=4厢=EQ；

作则可得EH即为四棱锥E—APQD的高，且必=血/，=3后；

所以可得力”叫Jx3xK）x3厉=3°汨'

三棱柱£PQ—WWN的体积为丫=!><10乂3岳乂12=180岳，

2

因此该几何体的体积为1/+2匕_”四=180715+2x30715=240拒.

故选：B

22

9.已知双曲线C:三-2=1（。>0/>0）的右顶点为M,以M为圆心，双曲线C的半焦距为半径的圆与双

ab

曲线C的一条渐近线相交于A,8两点.若=空，则双曲线C的离心率为（）

3

A.75B.2C.73D.72

【答案】D

【解析】

【分析】做交A3于C点，。点为弦A3的中点，可得圆心〃到渐近线的距离等于半径的一

半，即约=£,再利用/+廿二。?可得答案.

c2

2冗

【详解】因为NAMB=—,如图，做交A3于C点，。点为弦A3的中点，

3

ZAMC=60°,ZCAM=30°,所以圆心M到渐近线的距离等于半径的一半，

则—=—,则a",—/)=?,即—4^—+4=0，解得=2,

则双曲线C的离心率为

故选：D.

10.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，

适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（KoM）曲线是几何中最简单

的分形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段

生成1级科赫曲线“\”,将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可

得3级科赫曲线,在分形几何中，若一个图形由N个与它的上一级图形相似，且相似比为厂的部分组

成，则称O=|10grN|为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（

〃=0级

片飞片3级

A.log23B.log32C.1D.21og32

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意得出Me〃曲线是由把全体缩小工的4个相似图形构成的，再根据题设条件即可得出结

3

果.

【详解】由题意Koc/i曲线是由把全体缩小工的4个相似图形构成的，

3

则其相似的分形维数是D=|log34|=210g32,

故选：D.

第二部分（非选择题，共110分）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11.函数“力=叭彳+口+丁匚最的定义域是.

【答案】（-1』

【解析】

【分析】由对数函数定义域及被开方数为非负解不等式即可得结果.

【详解】由"%）的解析式可得Ji>0,

解得一1<X<1；

所以其定义域为（—1』.

故答案为：（—1』

12.设尸为抛物线C：V=16%的焦点，直线=点A为C上任意一点，过点A作4尸，/于P,

Hi]||AP|-|AF||=.

【答案】3

【解析】

分析】根据抛物线方程可求得准线方程和焦点坐标，再由抛物线定义可得结果.

【详解】易知抛物线C:/=i6x的焦点/(4,0),准线方程为x=-4,如下图所示:

可设AP垂直于准线x=-4的垂足为Q，

根据抛物线定义可得盟=|AQ|,易知|P0=3；

所以||AP|AF||=||AP|—|AQ||=3.

故答案为：3

13.已知直线>=履+根(机为常数)与圆/+>2=2交于点当左变化时，若|M7V|的最小值为

2,则加=.

【答案】±1

【解析】

【分析】利用圆的弦长公式表示出|MN|,即可根据最值求解.

【详解】必+丁=2可知圆心为(0,0),半径/=应.

\m\

圆心到直线的距离：d=

sli+k2'

由垂径定理可知：1^双1=23户-出=2」2--J

V1+k

当左=0时，l"N|取得最小值，并且|MN|血n=2,2-〃/=2n/”=±l,

故答案为：±1.

14.已知函数/(x)=sin(ox)+sin2x,其中℃N*，若函数〃另<2恒成立，则常数①的一个取值为

【答案】1；答案不唯一；只要常数。的取值不等于2+8左（左eN）即可

【解析】

【分析】由三角函数的值域可知〃X）W2,当且仅当丁=5111（0力和丁=5也2%同时取到1时，等号成

立；再根据正弦函数〉=5也》在x=]+2而（％eZ）取得最大值，联立即可得到

【详解】若函数/（尤）=2,即存在x使得y=sin2"Dy=sinox同时取到1,

兀71

所以2x=2Al兀+—,GZ,即九=尢兀+—,eZ,

IT4k+1

所以左]兀+]=242兀+—,％2£Z,解得口=2•优--,kx€Z,k2€Z

24Ki+1

当匕=&=0时，0=2；因为左eZ,&eZ,所以。=2+8左，左eN,其中

k_k

k=

-T7~eZ,Zr2eZ,贝|当。工2+8%（左eN）时，〃x）＜2.

^vK,I1

故答案为：1；答案不唯一；只要常数。的取值不等于2+8©左eN）即可.

15.在平面直角坐标系xoy中，点P«y）到两个定点4（—a,0）,6（a,0）的距离之积等于/.>（））,称

点P的轨迹为双纽线.双纽线是瑞士数学家伯努利于1694年发现的.所以点P的轨迹也叫做伯努利双纽线.给

出下列结论：

①-y/2a<x<42a；

②点P的轨迹的方程为+y2『=2a2（%2—y2）；

③双纽线关于坐标轴及直线y=x对称；

④满足I冏=归却的点P有三个.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②

【解析】

【分析】先由双纽线的定义求出其方程，从而可判断选项②；由方程可得

（x2+/）2=2a2（x2-y）<2a2x2,从而可判断选项①；根据对称性的判断方法在点P的轨迹上任取点

判断点（〃,㈤是否也在曲线上，从而判断选项③；由满足|P4|=|尸]的点尸在y轴上,令

%=0,得y=0从而可判断选项④.

【详解】由双纽线的定义可得|可卜|尸5|=/,即伺+耳2+产伺_42+[2=4

即[（x+a）2+y2].[（x-a）2+,2]=44

即（x+aj（x-tz）2+y2[（x+a）2+（x-a）〔+_y4=a4

BPx4+/+2x2j2+2a2y2=2a2x2,即（/+/『=2/1_力，所以②正确.

由吠+力？=242卜2—y2）,则任+,2）2=2。2卜2_,2）42心2,当y=0时等号成立.

即所以必42储，则—亿＜x4缶，所以①正确.

在点P的轨迹上任取点（7”,〃），即有（序+/2）2=2a~（"一”2）

则点P（m,n）关于直线y=X对称的点为（小加）,

若双纽线关于直线丁=%对称，则点（小加）也在该曲线上，即（川+病了=2〃（小—加2）

所以加—“2="2—"，即〃/=/,显然对于该曲线上任意取的点（加,“）不满足.

所以双纽线不关于直线y=*对称，故③不正确.

由4（—a,0）,B（a,o）,若满足|/利=归同，则点尸在y轴上.

在方程中（Y+y2）2=2/（x2—y2）,令％=0,解得y=o

所以满足|PA|=的点p为P（0,0）,故④不正确.

故答案为：①②

【点睛】关键点睛：本题考查曲线的轨迹及其性质的问题，解答本题的关键是先由题意先求出点P的轨迹

的方程（V+y2）2=2〃（炉—,2）,然后分析其对称性和范围，属于中档题.

三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

16.在AABC中，asin2B+bsinA=0.

（1）求3的值；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使AABC存在且唯一确定，求sinA的值.

条件①：a?_方2+02+3c=0;

条件②：b=l；

条件③:S”竽，

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

【答案】（1）B=—

3

0.3A/3

（2）smA=-----

14

【解析】

12兀

【分析】（1）利用正弦定理化简可得cos3=—-,即可得5=——；

23

（2）对条件①②③的组合进行分类讨论可知，只有选择①③才满足题意，计算可得〃=3,。=58=7,再

由正弦定理可得sinA=±®.

14

【小问1详解】

由Qsin25+bsinA=0利用正弦定理可得sinAsin2B+sin5sinA=0,

即2sinAsinBcosB+sinBsinA=sin5sinA（2cosB+l）=0,

易知sin5sinAwO,所以2cos5+1=0,可得COSJB=-』，

2

27r

又5£（0,兀），所以5=7；

【小问2详解】

2r2.21

由（1）可得cos3=a即/—廿+02=_讹；

2ac2

若选择①②，

由a?—//+/+3c=0可知a=3,

又5=1,可知力＞B,显然该三角形不存在；

若选择②③，

则SARC=—cicsinB="",即ac=15；

△/IDC24

又/=〃2+H—2accos5=（a+cy-2ac+ac=-ac=l,可得a+c=4；

联立＜a+cy=4可知该方程无解，

ac=15

所以只能选择①③,

由①得a=3,又S=—acsinB="也可得。=5；

△ADRC24

止匕时/=/+c?—2〃ccosB=9+25-2x3x5x[—g]=49,解得b=7；

由正弦定理一L=—2—可得sinA=a*=』xX3=38,

sinAsinBb7214

即加t

17.根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位：cm)：

立定跳远单项等级高三男生高三女生

优秀260及以上194及以上

良好245~259180-193

及格205-244150-179

不及格204及以下149及以下

从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到1cm)：

男生180205213220235245250258261270275280

女生148160162169172184195196196197208220

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.

(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；

(2)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项

等级为优秀的人数，估计X的数学期望E(X)；

(3)从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件

A,“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B.判断A与8是否相互独立.(结论不要求证明)

【答案】(1)-

3

(3)A与8相互独立

【解析】

【分析】(1)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4,获得优秀的女生人数为6,计算频率得

到优秀率的估计值；

(2)由题设，X的所有可能取值为0，L2,3.算出对应概率的估计值，得到X的数学期望的估计值；

(3)利用两个事件相互独立的定义判断即可.

【小问1详解】

样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4,获得优秀的女生人数为6,

41

所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为一=-；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为

123

6__1_

【小问2详解】

由题设，X的所有可能取值为。J2,3.

P(X=0)估计为(29|；

121

产(乂=1)估计为©。x-x—x—+(

332

121

P(X=2)估计为C；,X-X——X------1-

332

11

p(x=3)估计为g)2x—=—.

218

24S17

估计X的数学期望石(X)=0x—+1义一+2x—+3x—=—

v'9918186

【小问3详解】

尸⑷估计为©生|21_3

I+C；xIX2~4

2

P(5)估计为C；小I+《x

尸(AB)估计为C；xgx4

尸(AB)=P(A)尸(或，所以A与3相互独立.

18.在三棱柱ABC-A§IG中，平面4。。］4，平面43。，443。为正三角形，。尸分别为AC和4月

的中点.

(1)求证：。尸//平面5。。1片；

(2)若A8=2,AA=3,A4求。尸与平面其与。所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)3屈

“40

【解析】

【分析】(1)取用G的中点为。，可证明四边形PDCO是平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得出

结论；

(2)建立空间直角坐标系求出平面ABC的法向量，即可求得。尸与平面AAC所成角的正弦值为上叵.

40

【小问1详解】

取耳£的中点为。，连接尸。,。，如下图所示:

又O,P分别为AC和4耳的中点，可知阳n4G，且PD=gAG，

由三棱柱性质可知AC〃AG,且OC=gAG,即可得PDHOC,PD=OC,

所以四边形P0CO是平行四边形，即可得。尸〃CD；

又0。.平面3。。|5],CDu平面BCG5],

所以0尸//平面

【小问2详解】

易知03_LAC,

又平面ACG4，平面ABC,平面ACGAn平面ABC=AC,

可得平面ACGA,

又A&U平面ACC]4,所以O3LA4,

又因为A4］，A5,ABcOB=B,且AB,QBu平面ABC,

所以A4，平面ABC；

由ACu平面ABC,所以LAC；

即可知A4,AC,03三条线两两垂直，

取4G的中点为E,连接0£,

可知0E〃,

以。为坐标原点，分别以。4,03,OE所在直线为羽％z轴建立空间直角坐标系，如下图所示:

3),尸为4耳的中点可得p*与3

31

可得而=b'2JC4；=（2,0,3），4X=（-1,A/3,0）；

设平面A^C的一个法向量为n=(x,y,z),

L-n=2x+3z=0

则一，令1=3,则y二若,z=-2,

B1,为=-x+y/3y=0

BPn=（3,6,-2）

设QP与平面A耳。所成的角为e，

33

则sin0=IcosOP,n\==2r工一=之叵；

11\oP\\n\710x440

所以OP与平面\BXC所成角的正弦值为上叵.

40

22

19.已知耳，工分别是椭圆E:=+==l(a〉6〉0)的左、右焦点，A3分别为椭圆E的左右顶点，且

ab

区段=2十,|AB|=4

(1)求椭圆E的方程；

(2)若P为直线/:x=4上的一动点(点P不在x轴上)，连接AP交椭圆于。点，连接PB并延长交椭圆

于。点，试问是否存在X,便得与4°=45述8成立，若存在，求出X的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)—+/=1

4-

(2)存在，3

【解析】

【分析】(1)依题意，易得。的值，求出ZH直，即得椭圆方程；

(2)设点尸(4,%),%/0,得直线AP的方程为：y=&(x+2),与椭圆方程联立，利用韦达定理和题设

6

条件证明直线CD经过定点£(1,0),将面积分割转化化简即可求得X的值.

【小问1详解】

依题意，|AB|=2a=4,闺玛|=2c=2g,

则a=2,C=百，故尸="2一=],

V-2

于是，椭圆E的方程为土+y2=l.

【小问2详解】

如图，设点尸(4,%)，%WO,又4—2,0),

则直线AP的方程为：y=&(x+2),代入方程工+y2=1整理得：(9+町)炉+4%了+4必—36=0,

64'

设C(%i，X),，由韦达定理，%-2=-%,解得：石=2-%2=-----*，贝U

9+尤9+/9+北

…十箕

又因3(2,0),则直线6?的方程为：y=网(x-2),代入方程工+)?=i整理得:

24

(1+券江-4%x+4y；-4=0,

42

设。(%2，，2)，由韦达定理，X,+2=---V1，

「一1+Jo

一建-2=%'且为ga

得：.2)=

-T1+Jo1+Jo

6%-2%

44古竹「八MA”如不小7,y1—/2必9+y；1+Jo配+24%2%

故r直绫CD的斜率为Qz)--c2Q2

为一911O8—2%2需-2-4y：+363-%

9+¥i+y；

则直线CD的方程为：y=kCD(x-xl)+yl,

将上述左co,%的表达式代入，即得直线CD的方程为：y=—------经■)^—“1，

3—y；9+y-9+/

化简可得：(3—*)y+2%(—x+l)=0,

因为eR,故直线CD恒过定点E(l,0).

；|AE||EC|sinZAEC+!|AE|-|ED|sinZAED

qqaq

T,日°AACD=QICTQAED

口ABCD口4BEC丁口4ED^\BE\-\EC\sinZBEC+!|BE\\ED\sin/BED

因sinZAEC=sinZAED,sinABEC=sinZBED，ZAEC=/BEC,

C^|AE|(|EC\+\ED\)sinZAEC|4F|

故为------------------------------=I^£I=3=2.

|B£|

S^BCD11(IECI+IEDI)sinZBEC

【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如

下：①设出直线方程，将其与椭圆方程联立，整理成关于x或y的一元二次方程的形式；②利用八〉0求

得变量之间的数量关系，同时得到韦达定理；③利用韦达定理表示出题设中的等量关系，化简整理得到所

求的定点.

20已知函数/(x)=e2*T1ax2_x+|J.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线的方程；

(2)若函数/(%)在％=0处取得极大值，求。的取值范围；

(3)若函数/(%)存在最小值，直接写出。的取值范围.

【答案】(1)=0

"2e

(2)(—8』)

⑶K

【解析】

【分析】(1)先求导后求出切线的斜率r(o)=o,然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程;

(2)根据函数的单调性和最值分类讨论；

(3)分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.

【小问1详解】

—,所以：切点为

2e

又/'(%)=e2Al[2依2+2(a-l)x]=2x(ar+tz-l)e2x_1,所以：/r(0)=0,

所以：切线方程为y-上=0.

2e

【小问2详解】

定义域为R,f'(x)=2x(ax+a-l)e2x~l,

①当a=0时，/'(x)=—2—XT,令/'(尤)>0得尤<0,所以：〃尤)单调递增区间为(—8,0)；

令广(£)<0得了>0,所以/(%)单调递减区间为(€),+“)；所以：/(%)在x=0取极大值，符合题意.

②当a<0时，由/'(%)=2](依+。一1)02>1=0,得：%=0,x2=---<0

X，/'(%),/(%)变化情况如下表：

1—CI

X0(0,+“)

a

/'⑴—0+0—

/(X)减极小值增极大值减

所以：/(%)在％=0处取得极大值，所以：。<0符合题意.

③当a>0时，由/'(x)=2x(ar+a—l)e"T=0,得：%=0,x2=-~,

⑴当一^<0即。>1时，f'(x),/(%)变化情况如下表:

5")1—d

X0(0,+oo)

a

/'⑴+0—0+

/(X)增极大值减极小值增

所以：“尤)在％=0处取得极小值，不合题意.

(ii)当宁=0即a=l时，/'(X)20在R上恒成立，所以：/(%)在R上单调递增，无极大值点.

(iii)当宁〉0，即0<a<l时，/(%)变化情况如下表：

1—a

X(-8,0)0

a

/'(X)+0—0+

“X)增极大值减极小值增

所以：/(x)x=o处取得极大值，所以：0＜。＜1合题意.

综上可得：。的取值范围是

【小问3详解】

详解如下：根据(2)知可分三种情况：①aWO,②0＜。＜1,③。之1：

①当aWO时，/(X)在区间［-8,单调递减，［与@，°［单调递增，在(0,+“)上

单调递减，无最小值.

②当0＜。＜1时，当x＜0,x趋向y。时，/(力趋向于0,

当x＞0,要使函数/(%)取得存在的最小值，

/I-—f(1-aYi-a11-2a-l

＜0,解得：0＜。《工，

即：/=e+=e。

\aJ\aJa222

故x=LW时，取得最小值，故。的取值范围为(0，2.

a12.

③当时，/(同在工趋向fo时，/(力趋向于0,

又因为x=0时，/(x)取到极小值，/(0)=—＞(故无最小值.

2e

,K1

综上所述：函数/(X)存在最小值，a的取值范围为

21.已知无穷数列｛。“｝满足%=max｛4+i，%+2｝—rnin｛«/;+1,an+2｝(w=1,2,3,•••),其中max｛x,y｝表示x,

y中最大的数，min｛x,y｝表示x,y中最小的数.

(1)当4=1,见=2时，写出肉的所有可能值；

(2)若数列｛4｝中的项存在最大值，证明：。为数，列｛。“｝中的项；

(3)若a”＞0("=1,2,3,…)，是否存在正实数M,使得对任意的正整数“，都有4WM?如果存在，写

出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.

【答案】（1）{1,3,5）

（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据定义知为20,讨论名〉2、/<2及。3,2大小求所有为可能值；

（2）由0,假设存在4eN*使,进而有4Wmax{4+i，%+2}V%,可得

min{4+i，a%+2}=0,即可证结论；

（3）由题设区产a.（"=2,3,…），令5={加4>4+1,“21},讨论S=0、S#0求证即可判

断存在性.

【小问1详解】

由%=max[an+i,an+2}