中考数学重难题型专项训练：综合与实践（原卷版+解析）

专题29综合与实践

1.(重庆中考真题)在AABC中，AB=AC,。是边上一动点，连接A。，将AD绕

点A逆时针旋转至AE的位置，使得NZME+4AC=180°.

(1)如图1,当/fiAC=90°时，连接BE,交AC于点若BE平分NABC,BD=2,

求AF的长；

(2)如图2,连接3E,取BE的中点G,连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系，

并证明你的猜想；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接。G,CE.若NBAC=120。，当BD>CD,

ZAEC=150°时，请直接写出BD-DG.

CE

2.(湖南中考真题)如图，在RtZiABC中，点P为斜边上一动点，将ZkABP沿直

线AP折叠，使得点3的对应点为3',连接A3',CB',BB'，PB'.

(1)如图①，若「B'_LAC,证明：PB'=AB'.

(2)如图②，若A6=AC,BP=3PC,求cos/B'AC的值.

PC

(3)如图③，若NACB=30°,是否存在点P,使得A6=CB'.若存在，求此时——的

BC

值；若不存在，请说明理由.

C...

-W

/4~-AB

%

②③备用图

3.(江苏中考真题)己知正方形ABCD与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.

(1)如图①，连接BG、CF,求——的值；

BG

⑵当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE,分别去CF、BE的中点M、N,连接MN、

试探究：MN与BE的关系，并说明理由；

⑶连接BE、BF,分别取BE、BF的中点N、Q,连接QN,AE=6,请直接写出线段QN扫过的

面积.

图②

4.问题提出：

(1)在RtAABC中，ZACB=90°,AOBC,ZACB的平分线交AB于点D,过点D分别作

DE±AC,DFXBC,垂足分别E、F,在图1中与线段CE相等的线段是；

问题探究：

(2)如图2,AB是半圆0的直径，AB=8,P是AB上一点，且尸3=224,连接PA,PB,

NAPB的平分线交AB于点C,过点C分别作CELAP,CFXBP,垂足分别为E、F,求线段CF

的长；

问题解决：

如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知。。的直径AB=70m,点C在上，

且CA=CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交于点D,连接AD、BD,过点P分别作PE_L

AD,PF±BD,垂足分别为E、F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是

户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x(m),阴影部分的面积为y(m2).

①求y关于x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试

求当AP=30m时，室内活动区(四边形PEDF)的面积.

5.(2019•陕西)问题提出:

(1)如图1,已知AABC,试确定一点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形，

请画出这个平行四边形；

问题探究：

(2)如图2,在矩形ABCD中，AB=4,BC=10,若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC,

且使

ZBPC=90°,求满足条件的点P到点A的距离；

问题解决：

(3)如图3,有一座塔A,按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平

行四边形的景区BCDE.根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，Z

CBE=120°,那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE?若可以，

求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由.(塔A的占地面积忽

略不计)

图1图2图3

6.(2019•江西)在图1,2,3中，已知oABCD,NABC=120°,点E为线段BC上的动点,

连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且NEAG=120

(1)如图1,当点E与点B重合时，ZCEF=°；

(2)如图2,连接AF.

①填空：ZFAD__________ZEAB(填“=”)；

②求证：点F在/ABC的平分线上.

(3)如图3,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,当四边形AEGH是平行四边形

7.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外

侧作多边形，它们的面积5，S2,S3之间的关系问题”进行了以下探究：

图2

类比探究

(1)如图2,在RtAABC中，BC为斜边，分别以AB,AC,8C为斜边向外侧作RtAABD,

RtAACE,RtABCF,若Z1=Z2=Z3,则面积可，S2,邑之间的关系式

为；

推广验证

(2)如图3,在品公45。中，为斜边，分别以A5AC8C为边向外侧作任意AABD,

AACE,ASCF,满足N1=N2=N3,ZD=ZE=ZF,贝U(1)中所得关系式是否仍

然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用

(3)如图4,在五边形ABCDE中，ZA=ZE=ZC=105°,NABC=90°,AB=2®

DE=2,点P在AE上,ZABP=30°,PE=也,求五边形ABCDE的面积.

图4

8.【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称

为对余线.

【理解运用】

(1)如图1,对余四边形中，AB=5,BC=6,CD=4,连接AC,若AC=AB,求sin/CAD的

值.

(2)如图2,凸四边形中，AD=BD,AB±AC,当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否

为对余四边形，证明你的结论.

【拓展提升】在平面直角坐标中，A(—1,0),B(3,0),C(l,2),四边形ABCD是对余四边

AF

形，点E在对余线BD上，且位于AABC内部，ZAEC=90°+ZABC,设——=u,点D的

BE

纵坐标为t,请直接写出u与t的函数解析式.

9.如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,NA=30°,点。为AB中点，点P为直线BC上的动

点(不与点B、点C重合)，连接OC、0P,将线段OP绕点P逆时针旋转60°,得到线段PQ,

连接BQ.

(1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；

(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成

立，请说明理由;

⑶如图③，当点P在BC延长线上时，若/BP0=45°,AC=/，请直接写出BQ的长.

10.【性质探究】

如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,AE平分/BAC,交BC于点E.作DFLAE于点H,

分别交AB,AC于点F,G.

(1)判断4AFG的形状并说明理由;

(2)求证:BF=20G.

【迁移应用】

（3）记△DGO的面积为Si,ZXDBF的面积为S2,当％=工时，求42的值；

S23AB

【拓展延伸】

（4）若DF交射线AB于点F,【性质探究】中的其余条件不变，连结EF,当ABEF的面积为矩

形ABCD面积的工时，请直接写出tan/BAE的值.

10

n.【感知】如图①，在四边形ABCD中，/C=ND=90°,点E在边CD上，ZAEB=90°.求

、丁AEDE

证:=.

EBCB

【探究】如图②，在四边形ABCD中，NC=ND=90°，点E在边CD上，当点F在AD延长

线上，NFEG=NAEB=90°，且——=——，连接BG交CD于点H.求证：BH=GH.

EGEB

【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，ZAEB+ZDEC=180°,且——=—,过E作

EBEC

EF交AD于点F,使/EFA=/AEB,延长FE交BC于点G,求证：BG=CG.

12.小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）

的平面图形，/ACB与/ECD恰好为对顶角，ZABC=ZCDE=90°,连接BD,AB=BD,点

F是线段CE上一点.

探究发现：

（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2））,小明经过探究，得到结论：BD

±DF.你认为此结论是否成立？.（填“是”或“否”）

拓展延伸：

(2)将(1)中的条件与结论互换，即：若BDLDF,则点F为线段CE的中点.请判

断此结论是否成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

问题解决：

(3)若AB=6,CE=9,求AD的长.

13.在AABC中，/BAC=90°,AB=AC,点D在边BC上，DE_LDA且DE=DA.AE交BC于点

F,连接CE.

(1)特例发现：如图1,当AD=AF时，①求证：BD=CF；②推断：ZACE=0；

(2)探究证明：如图2,当ADWAF时，请探究/ACE的度数是否为定值，并说明理由；

FF1

(3)拓展运用：如图3,在(2)的条件下，当——=-时，过点D作AE的垂线，交AE于

AF3

1A

点P,交AC于点K,若CK=一时，求DF的长.

3

AAA

14.如图1,在等腰三角形ABC中，ZA=120°,AB=AC,点D、E分别在边AB,AC±,AD=AE,

连接BE,点M,N,P分别为DE,BE,BC的中点.

(1)观察猜想：

图1中，线段MN与NP的数量关系是,ZMNP的大小是；

(2)探究证明：

把AIDE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE,判断AMNP的形状，试说明

理由；

(3)拓展延伸：

把强DE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1,AB=3,请直接写出刖NP面积的最大值.

图1图2

15.问题背景如图(1),已知△ABCs/^ADE,求证：△ABDs/iACE；

尝试应用如图(2),在AABC和4ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=30°,AC

与DE相交于点F.点D在BC边上，—=A/3,求生的值；

BDCF

拓展创新如图（3）,D是△ABC内一点，/BAD=NCBD=30°,ZBDC=90°,AB=4,AC=2百，

直接写出AD的长.

A

A

16.己知：A4BC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,将AABC绕点C顺时针方向旋转得到△

A!B'C,记旋转角为a,当90。＜戊＜180。时，作AD_LAC,垂足为。，4。与BC交于点

E.

(1)如图1,当NQVO=15。时，作N/TEC的平分线EF交3c于点P.

①写出旋转角。的度数；

②求证：EA!+EC=EF-,

(2)如图2,在(1)的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接R4,PF,若AB=五,

求线段以+PF的最小值.(结果保留根号).

17.已知在△ABC中，AC=BC=m,D是AB边上的一点，将/B沿着过点D的直线折叠，使点

B落在AC边的点P处(不与点A,C重合)，折痕交BC边于点E.

(1)特例感知如图1,若NC=60°,D是AB的中点，求证：AP=|AC；

(2)变式求异如图2,若/C=90°,m=6V2,AD=7,过点D作DHLAC于点H,求DH和

AP的长；

(3)化归探究如图3,若m=10,AB=12,且当AD=a时，存在两次不同的折叠，使点B

落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围.

18.问题背景：如图1,在四边形ABCD中，NBAD=90°,NBCD=90°,BA=BC,NABC=

120°,ZMBN=60°,/MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.探究图中线段

AE,CF,EF之间的数量关系.

小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G,使CG=AE,连接BG,先证明4BCG咨ABAE,

再证明△BFG0ABFE,可得出结论，他的结论就是；

探究延伸1：如图2,在四边形ABCD中，/BAD=90°,ZBCD=90°,BA=BC,ZABC=2

ZMBN,/MBN绕B点旋转.它的两边分别交AD、DC于E、F,上述结论是否仍然成立？请直

接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；

探究延伸2：如图3,在四边形ABCD中，BA=BC,ZBAD+ZBCD=180°,ZABC=2ZMBN,

NMBN绕B点旋转.它的两边分别交AD、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由；

实际应用：如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处.舰

艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，

舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海

里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处.且指挥

中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离.

图1图2图3图4

19.如图，四边形A3CD是正方形，点。为对角线AC的中点.

(1)问题解决：如图①，连接B。，分别取CB,8。的中点P,Q,连接尸。，则尸。与

8。的数量关系是，位置关系是；

(2)问题探究：如图②，AAO'E是将图①中的AAOB绕点A按顺时针方向旋转45。得到

的三角形，连接CE,点尸，。分别为CE,3。的中点，连接PQ,PB.判断APQ3的

形状，并证明你的结论；

(3)拓展延伸：如图③，AAO'E是将图①中的AAOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到

的三角形，连接5。，点P,。分别为CE,3。的中点，连接PQ,若正方形A5CD

的边长为1,求APQ3的面积.

20.发现规律

（1）如图①，AABC与4ADE都是等边三角形，直线BD,CE交于点F.直线BD,AC交于点

H.求NBFC的度数.

（2）已知：AABC与4ADE的位置如图②所示，直线BD,CE交于点F.直线BD,AC交于点

H.若/ABC=/ADE=a,ZACB=ZAED=3,求/BFC的度数.

应用结论

（3）如图③，在平面直角坐标系中，点。的坐标为（0,0）,点M的坐标为（3,0）,N为y

轴上一动点，连接MN.将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK,连接NK,0K.求线

段OK长度的最小值.

21.【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段

称为对余线.

【理解运用】

(1)如图1,对余四边形中，AB=5,BC=6,CD=4,连接AC,若AC=AB,求sin/CAD的

值.

(2)如图2,凸四边形中，AD=BD,AB_LAC,当ZCD'+CBZMCA?时，判断四边形ABCD是否

为对余四边形，证明你的结论.

【拓展提升】在平面直角坐标中，A(—1,0),B(3,0),C(：1,2),四边形ABCD是对余四边

形，点E在对余线BD上，且位于4ABC内部，ZAEC=90°+ZABC,设一=u,点D的

BE

纵坐标为t,请直接写出u与t的函数解析式.

BCAB

22.（2021•山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图①，在CJABCD中，BE工AD,垂足为E,尸为CD的中点，连接所，BF,试

猜想所与3尸的数量关系，并加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将口A6CD沿着3/（R为CD的中点）所在

直线折叠，如图②，点C的对应点为C',连接DC,并延长交A3于点G,请判断AG与BG

的数量关系，并加以证明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将口ABCD沿过点6的直线折叠，如图③，点A的对

应点为4,使45,8于点“，折痕交AD于点连接44,交CD于点N.该

小组提出一个问题：若此口ABCD的面积为20,边长A5=5,BC=245,求图中阴影部

分（四边形8HNM）的面积.请你思考此问题，直接写出结果.

图①图②图③

23.(2020•广西中考真题)已知：在矩形ABCD中，AB=6,AO=2百，P是BC边

上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点。落在点G处，折痕为

(1)如图1,当点P与点。重合时，则线段EB=,EF=；

(2)如图2,当点P与点B,C均不重合时，取石厂的中点0,连接并延长PO与GF的

延长线交于点连接尸尸，ME,MA.

①求证：四边形MEM是平行四边形：

②当tan/MAO=g时，求四边形MEM的面积.

图1图2

24.(1)问题发现:如图(1),在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,NAOB=NCOD=36

AT

连接AC,BD交于点M.①空•的值为；②NAMB的度数为

BD

(2)类比探究：如图(2),在AOAB和△OCD中，NA0B=NC0D=90°,Z0AB=Z0CD=30°，

Af1

连接AC,交BD的延长线于点M.请计算——的值及NAMB的度数.

BD

(3)拓展延伸:在(2)的条件下，将aOCD绕点0在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点

M.若OD=1,0B=。值，请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

25.综合与实践

(1)观察理解：如图1,AA3C中，NACB=90°,AC=BC,直线/过点C,点A，B

在直线/同侧，BD±l,垂足分别为。，E,由此可得：ZAEC^ZCDB=90°,

所以NC4E+NACE=90°,又因为NACB=90°,所以NBCD+NACE=90°,所以

NCAE=NBCD,又因为AC=BC,所以AAEC=ACD3（);(请填写全等判定的

方法)

图1

图，图5

(2)理解应用：如图2,AE1AB，且AE=AB,BC±CD,且80=00,利用（1）

中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=

(3)类比探究：如图3,及AABC中，ZACB=90°,AC=4,将斜边A3绕点A逆时

针旋转90。至A3',连接8C,求AAB'C的面积.

(4)拓展提升：如图4,点3,C在NM4N的边AM、AN上，点E,尸在NM4N内

部的射线A。上，Nl、N2分别是A4BE、AC4b的外角.已知A6=AC,

Z1=Z2=ZBAC.求证：CF+EF=BE；

26.已知如图，四边形ABCD,BE、DF分别平分四边形的外角NMBC和/NDC,若NBAD=a,

ZBCD=B

(1)如图1,若a+B=150°,求/MBC+NNDC的度数；

(2)如图1,若BE与DF相交于点G,NBGD=45°,请写出a、B所满足的等量关系式;

(3)如图2,若a=B,判断BE、DF的位置关系，并说明理由.

图2

专题29综合与实践

1.(重庆中考真题)在AABC中，AB=AC,。是边上一动点，连接AZ),将绕

点A逆时针旋转至AE的位置，使得NZME+4AC=180°.

(1)如图1,当4AC=90°时，连接3E,交AC于点歹.若座平分/ABC,BD=2,

求AF的长；

(2)如图2,连接能，取BE的中点G,连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系，

并证明你的猜想；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接。G,CE.若NBAC=120。，当BD>CD,

ZAEC=150°时，请直接写出BD-DG的值.

CE

【答案】(1)、历；(2)AG=-CD,证明见解析；(3)BD—DG=&

2CE2

【分析】

(1)连接CE,过点/作W_LBC,垂足为证明AABF2得：AF=HF,

再在等腰直角AEHC中，找到歹”=巫。/，再去证明为等腰三角形，即可以间

2

接求出AF的长；

(2)作辅助线，延长B4至点使AAf=AB,连接EM,在△巫F中，根据三角形

的中位线，得出AG=』ME,再根据条件证明：AADC^AAEM,于是猜想得以证明；

2

(3)如图(见解析)，先根据旋转的性质判断出AADE是等边三角形，再根据

Z46C+NA£C=180。证出AB,C,E四点共圆，然后根据等腰三角形的三线合一、角的

和差可得△口)£是等腰直角三角形，设CE=DE=2a,从而可得AD=2a,S=2jL,

根据三角形全等的判定定理与性质可得N8DP=NB4P=120。，从而可得

ZAGD=ZGDP=ZAPE>=90°，根据矩形的判定与性质可得四边形AGDP是矩形，

RD—_Aprp

DG=AP,最后根据等量代换可得一=—=—=—=——，解直角三角形求出

CECECE

。P=如即可得出答案.

【详解】

解：（1）连接CE,过点/作垂足为H.

•.♦3E平分ZABC,ZBAC=90°.

:.FA=FH.

\-AB=AC,

:.ZABC=ZACB=45°9

:.FH=—CF，

2

NBAC+NDAE=180°,

ABAC=ZDAE=90°，

:.ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在AABD和AACE中，＜/BAD=ZCAE,

AD=AE

:.^ABD^ACE(SAS),

:.BD=CE=2,ZABD^ZACE=45°,

：.ZBCE=90°,

•.•BE平分NABC,

ZABF=ZCBF.

:.ZAFB=ZBEC,

ZAFB=ZEFC,

:./BEC=NEFC,

：.ZCEB=ZEFC.

AF=—CF=42.

2

(2)AG=~CD

2

延长B4至点M,使=连接EM.

M

E

：G是座的中点，

AG=-ME.

2

;ZBAC+ZDAE=ABAC+ZCAM=180°,

:.ZDAE=ZCAM,

:.ZDAC^ZEAM,

AD=AE

在△ADC和△AEM中，＜/D4C=/EAM,

AC=AM

:.AADC^^AEM(SAS),

：.CD=ME,

:.AG=-CD.

2

(3)如图，设交于点P,连接DE,DP,

ZDAE+ABAC=180°,ABAC=120°,

：.ZDAE=60°,

由旋转的性质得：AD=AE,

.•.VADE是等边三角形，

:.ZAED=6Q°,AD=DE,

vZAEC=150°,

:.NCED=ZAEC—ZAED=90°,

ZBAC=120°,AB=AC,

ZABC=ZACB=1(1800-ZBAC)=30°,

:.ZABC+ZAEC=180°,

二点AB,C,E四点共圆，

由圆周角定理得：ZAEB=ZACB=30°=-ZAED,

2

」.BE垂直平分A。，ZDEB=-ZAED=30°(等腰三角形的三线合一)，

2

:.AG=DG,AP=DP,BD=AB=AC,

BE平分ZABC,

ZABE=ZCBE=-ZABC=15°,

2

NCDE=NCBE+ZDEB=45°,

Rt^CDE是等腰直角三角形，

CE=DE,CD=V2CE,

设CE=DE=2a,则AD=2a,CD=2四,

由(2)可知，AG=—CD=yfla,

2

DG=AG=y/2a，

AG~+DG~=AD2，

.•.△AQG是等腰直角三角形，且NAGD=90。，

ZEGD=-ZAGD=45°(等腰三角形的三线合一),

2

ZBDG=ZEGD-ZCBE=30°,

BD=BA

在△5D尸和历1P中，<BP=BP,

DP=AP

:.ABDP=BAP(SSS),

：.ZBDP=ZBAP=120°,

ZGDP=ZBDP-ABDG=90°,Z.CDP=180°-ZBDP=60°,

Z.CPD=180°-ZCDP-ZACB=90°,

:.ZAGD=NGDP=NAPD=90。,

二四边形AGDP是矩形，

:.DG^AP,

在RtACDP中，CP=CD-cosZPCD=2亿•—=V6tz>

2

BD-DGAC-APCP娓a娓

则mil-----------=------------=-----=------=----.

CECECE2a2

【点睛】

本题考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、圆周角定理、解

直角三角形等知识点，综合能力比较强，较难的是题(3),判断出AB,四点共圆是

解题关键.

2.(湖南中考真题)如图，在RtZkABC中，点P为斜边上一动点，将△A5P沿直

线AP折叠，使得点3的对应点为3',连接AB',CB',BB'，PB'.

(1)如图①，若PB'LAC,证明：PB'=AB'.

(2)如图②，若AB=AC,BP=3PC,求cos/B'AC的值.

pc

(3)如图③，若NACS=30°,是否存在点P,使得A5=CB'.若存在，求此时——的

BC

值；若不存在，请说明理由.

cc

B'B'

①②③

3pc13

【答案】(1)证明见解析；(2)—；(3)存在，——的值为二或一.

5BC24

【分析】

(1)先根据平行线的判定与性质可得=再根据折叠的性质可得

ZAB'P=ZABP,PB'=PB,从而可得NCPB'=NAB'P,然后根据平行线的判定可得

AB'HBC,最后根据菱形的判定与性质即可得证；

(2)设AC与尸3'的交点为点0,过点。作于点。，设A3=AC=4a(a>0),

从而可得BC=4缶，先证出ACOP〜加'。4,从而可得生="=上=立，设

OB'OAAB'4

OC=y/2b,OB'=4b(b>0),根据线段的和差可得O尸=3亿—4"04=4a—J为，代

入可求出6=逑。，从而可得。4=型“，再在中，解直角三角形可得

77

_i-jo

B，D=2®b=—a,由此可得AO=—a,然后在及△AO。中，根据余弦三角函数的定

77

义即可得；

(3)如图(见解析)，设A3=CB'=2根(m>0),从而可得

BC=4m,AC=2回乳,AB'=2m,分①点5'在直线AC的左侧；②点3'在直线AC的右

侧两种情况，再分别利用等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得.

【详解】

(1)证明：•.•Pfi'LAC,ZBAC=90°,

：.PB'//AB,

:.ZCPB'=ZABP,

由折叠的性质得:NAB?=ZABP,PB'=PB,

:.ZCPB'=ZAB'P,

:.AB'//BC,

•••四边形ABP?是平行四边形，

又=PB，

,平行四边形ABPB'是菱形，

（2）如图，设AC与P3'的交点为点0,过点。作于点。,

-,-AB=AC,

.•.尺以人8。是等腰三角形，ZABC=ZACB=45°,

设A3=AC=4a(a>0),则BC=4缶，

-：BP=3PC,

BP=3\/2a,PC=yf2a，

由折叠的性质得：ZAB'P=ZABP=45°,PB'=PB=3AB'=AB4a，

NOCP=ZOB'A=45°

在△口??和Afi'OA中，《

ZCOP=ZB'OA

.•.△COP~AB'Q4,

.ocOP_PC_y/2ay/2

,OB7-O4-V

设OC=®(6>0),则03'=46,0尸=30a—46,OA=4a—四,

OP_3y/2a-4b_y/2

OA4a-yflb4

472

解得z?=-----a，

7

20

OA=4a-0x〃=—ci，

77

在RVB'OD中，BfD=OBfcosZABfP=2y/2b=­a,

7

:.AD=AB,-B,D=—a,

7

12

An丁a3

则8sNB,AC=31=^=y

7°

（3）・・・NAC5=30。,NB4C=90。，

,\ZABC=60°,

设AB=C3'=2根（根＞0）,则BC=4m,AC=仃£^^=2瓜1，

由折叠的性质得：NAB'P=NABP=60°,AB'=AB=2根，

AB'=CB'=2m,

由题意，分以下两种情况：

①如图，当点3'在直线AC的左侧时，过点3'作6'E_LAC于点E,

:.CE=-AC=s[3m（等腰三角形的三线合一），

2

B'E=y/B'C2-CE2=m=-B'C,

2

..在H/VB'CE中，/B'CE=30。,

ZB'CP=ZB'CE+ZACB=300+30°=60°.

又=CB'，

:.ZB'AC=ZB'CE^30o,

ZAB'C=180°-ZB'AC-ZB'CE=120°,

ZCB'P=ZAB'C-ZAB'P=120°-60°=60°,

.•.△CB'P是等边三角形，

PC=CB'=2nl，

PC_2m_l

BC4m2

②如图，当点5'在直线AC的右侧时，过点3‘作8'尸，AC于点歹,

同理可得：NB'CF=30。,

:.ZB'CF=ZACB,

二点3'在3c上，

由折叠的性质得：AP±BB''

在HfAABP中，BP=AB-cosZABC=m,

PC=BC—BP=3m,

PC3m3

BC4m4'

综上，存在点P,使得AB=CB',此时一PC上的值为1土或3'.

BC24

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、折叠的性质、等

边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题(3),正确分两种情况讨论是解题关键.

3.(江苏中考真题)已知正方形ABCD与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.

CF

(1)如图①，连接BG、CF,求f的值；

BG

(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE,分别去CF、BE的中点M、N,连接MN、

试探究：MN与BE的关系，并说明理由；

⑶连接BE、BF,分别取BE、BF的中点N、Q,连接QN,AE=6,请直接写出线段QN扫过的

面积.

【答案】(1)0；(2)MN±BE-MN=-BE-,(3)97

2

【分析】

(1)由旋转的性质联想到连接AE、AC，证明AC4PsM4G即可求解；

(2)由M、N分别是CF、BE的中点，联想到中位线，故想到连接BM并延长使BM=MH,连接

FH、EH,则可证ABVCgAHMr即可得到加'=3。=胡，再由四边形3EFC内角和为

360。可得=则可证明石四△加石，即ABHE是等腰直角三角形，最

后利用中位线的性质即可求解；

(3)Q、N两点因旋转位置发生改变，所以Q、N两点的轨迹是圆，又Q、N两点分别是BF、

BE中点，所以想到取AB的中点0,结合三角形中位线和圆环面积的求解即可解答.

【详解】

解：(1)连接AF、AC

■■■四边形ABCD和四边形AEFG是正方形

AB=BC,AG=FG,ABAD=NGAE=ZCBA=ZAGF=90°

AF,AC分别平分NE4G,NR4Z)

:.ZBAC=ZGAF=45°

ZBAC+ZCAG=ZGAF+ZCAG即ZBAG=ZCAF

且AABC,AAGF都是等腰直角三角形

.•芈=空=6

ABAG

:.ACAF^NBAG

BGAB

(2)连接BM并延长使BM=MH,连接FH、EH

是CF的中点

:.CM=MF

又NCMB=/FMH

：.ACMB^AFMH

:.BC=HF,ZBCM=NHFM

在四边形BEFC中

ZBCM+ZCBE+ZBEF+ZEFC=360°

又NCR4=NAEF=90°

ZBCM+ZABE+ZAEB+/EFC=360°-90°-90°=l80°

即ZHFM+ZEFC+ZABE+ZAEB=180°

即ZHFE+ZABE+ZAEB=180°

-,-ZBAE+ZABE+ZAEB=1SQ°

:.ZHFE=ZBAE

又四边形ABCD和四边形AEFG是正方形

：.BC=AB=FH,EA=EF

:./\BAE=AHFE

：.BE=HE.ZBEA=AHEF

;ZHEF+ZHEA=ZAEF=90。

ZBEA+ZHEA=90°=ZBEH

•••三角形BEH是等腰直角三角形

:M、N分别是BH、BE的中点

:.MN//HE,MN=-HE

2

AMNB=ZHEB=90°,MN=-BE

2

:.MN±BE,MN=-BE

2

(3)取AB的中点0,连接OQ、ON,连接AF

在AAB/中，0、Q分别是AB、BF的中点

OQ=^AF

同理可得ON=」AE

2

AF=42AE=6y/2

:.0Q=3叵,ON=3

所以QN扫过的面积是以0为圆心，3板和3为半径的圆环的面积

:.S=?叵、兀一W兀=9兀.

【点睛】

本题考察旋转的性质、三角形相似、三角形全等、正方形的性质、中位线的性质与应用和动

点问题，属于几何综合题，难度较大.解题的关键是通过相关图形的性质做出辅助线.

4.问题提出：

(1)在RtAABC中，ZACB=90°,AOBC,ZACB的平分线交AB于点D,过点D分别作

DE±AC,DFXBC,垂足分别E、F,在图1中与线段CE相等的线段是；

问题探究：

(2)如图2,AB是半圆0的直径，AB=8,P是AB上一点，且尸3=224,连接PA,PB,

NAPB的平分线交AB于点C,过点C分别作CEJ_AP,CF±BP,垂足分别为E、F,求线段CF

的长；

问题解决：

如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，己知。0的直径AB=70m,点C在上，

且CA=CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交于点D,连接AD、BD,过点P分别作PEL

AD,PF±BD,垂足分别为E、F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是

户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x(m),阴影部分的面积为y(m).

①求y关于x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试

求当AP=30m时，室内活动区(四边形PEDF)的面积.

c

c

图i图2图3

【解析】（1）由“角平分线的性质定理”可知DE=DF,由“三个角是直角的四边形是矩形”

可得四边形CEDF是矩形，由于DE=DF,所以矩形CEDF是正方形，所以与线段CE相等的线

段有DE、DF、CF；

（2）由题意可知/A=60°,ZB=30°,由AB=8以及30°的直角三角形的各边之间的关

系，可以得到AP=-AB=4,BP=A/3AP=4A/3,CE=A/3AE；设CF=a,由（1）可知：CF

2

=CE=PE=a,贝IjAE=4—a,由CE=A/^AE,可歹!J方程g（4-a）=a,解得a=6-2百，即

CF的长为6—2道；

（3）第①小问：阴影部分的面积等于AABC、4APE与4BPF的面积之和.根据题意可知^

ABC为等腰直角三角形，其面积为70X35+2=1225；将4APE绕点P逆时针旋转90°（如

答图所示），发现4APE与4BPF的面积之和等于RtABPG的面积，RtABPG的面积=PG-BP

+2=AP・BP+2=x（70—x）+2；所以阴影部分面积=1225+x（70—x）+2,化简即可.第②

小问，正方形PEDF的面积=PF?.如答图，在RtZkBPG中，PG=30,BP=40,运用勾股定理

可求出BG=50,再运用等积法求出PF的长，从而求出正方形PEDF的面积.

【答案】解：（1）ED、DF、CF；

(2)：AB是直径，PB=2PA,.\ZA0P=9