生活中的轴对称 教材讲练-2021-2022学年北师大版七年级数学下册专项突破

专题01生活中的轴对称教材同步讲练

知识点11轴对称图形及轴对称性质

1、轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做

轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条.

2、两个图形成轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，

这条直线叫做这两个图形的对称轴.

3、轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线

段相等，对应角相等.

注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点.

类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角.

例1.（2021•黑龙江哈尔滨市•八年级期末）下列说法正确的是（）

A.如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形

B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形

C.等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形

D.一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形

【答案】B

【分析】根据轴对称图形的概念和全等三角形的概念求解即可.

【详解】选项A：如果两个三角形全等，则它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，选项A不正确；

选项B：如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，所以选项B正确；

选项C：三角形的中线是线段，而对称轴是直线，应该说等边三角形是关于一条边上的中线所在直线成轴对

称的图形，所以选项C不正确；

选项D：一条线段是关于经过该线段中垂线成轴对称的图形，所以选项D不正确；故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形，轴对称和轴对称图形的性质，熟练掌握：①如果两个图形成轴对称，那

么这两个图形全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分

线；③线段、等腰三角形、等边三角形等都是轴对称图形.

变式1.（2021•无锡市八年级月考）下列说法正确的是（）

A.关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形

B.全等三角形一定关于某条直线对称

C.两图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于对称轴的两侧

D.有一条公共边的两个全等三角形关于公共边的所在的直线对称

【答案】A

【分析】根据轴对称的定义：两个图形沿一条直线对着，直线两旁的部分能完全重合，那么这两个图形成

轴对称进行判断即可.

【详解】解：A、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，此选项正确；

B、全等三角形是关于某直线对称的错误，例如图一，故此选项错误；

图一

C、两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧错误，例如图二：故此选项错误;

D、有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称，错误，例如图三:

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是熟练把握轴对称的定义.

例2.（2021•沙坪坝区•重庆南开中学九年级月考）下列平面图形是轴对称图形的是（）

【答案】C

【分析】根据轴对称图形的定义判断即可.

【详解】由轴对称图形的定义知，C选项符合题意，故选：C.

【点睛】本题考查轴对称图形的识别，理解基本定义是解题关键.

变式2.（2021•黑龙江哈尔滨市•八年级期末）下列图案中，是轴对称图形的是（）

A.B,

【答案】C

【分析】根据轴对称图形的定义对各选项判断即可得到答案.

【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C.是轴对称图形，故本选项符合题意；D.不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，找轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

变式3.（2021•江苏九年级二模）如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上

述性质的是（）

D.808

【答案】D

【分析】先确定每个图形的性质，然后找出他们的共同性质，再判断四个选项中是轴对称的即可.

【详解】解：：五角星是轴对称和旋转对称图形，三圆两辆相切图形是轴对称图形和旋转对称图形，

心形是轴对称图形，箭头是轴对称图形，他们的共有性质是轴对称性质，

在四个选项中只有D是轴对称图形.故选择D.

【点睛】本题考查图形的性质，共同性质，掌握轴对称性质是解题关键.

例3.（2021北京市八年级期中）下列说法中正确的是（）

①对称轴上没有对称点；②如果A48c与关于直线£对称，那么%BC=S“B，C，；③如果线段/3=49,

直线工垂直平分44,则和49关于直线上对称；④射线不是轴对称图形.

A.②B.①④C.②④D.②③

【答案】A

【分析】根据轴对称的性质和定义，对题中条件进行一一分析，选出正确答案.

【详解】①对称轴上有对称点，错误；②如果A48c与关于直线上对称，那么SMBC=夕。，正确；

③如果线段/8=4"，直线Z垂直平分由于位置关系不明确，则和4夕不一定关于直线Z对称,

错误；④射线是轴对称图形，故本选项错误.故选：A.

【点睛】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图

形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.

变式4.（2021•四川石室初中八年级期中）如图，AABC与AAB，。关于直线MN对称，P为MN上任一点

（A、P、A，不共线），下列结论中错误的是（）

A.AAAP是等腰三角形B.MN垂直平分AA，、CC

C.AABC与AAB，。面积相等D.直线AB,的交点不一定在直线MN上

【答案】D

【分析】据对称轴的定义，AABC与AABC，关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各

点或线段之间的关系.

【详解】解：「△ABC与AABC，关于直线MN对称，P为MN上任意一点，

...△AAT是等腰三角形，MN垂直平分A",CC,这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，

直线AB,AB，关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，故选：D.

【点睛】本题主要考查了轴对称性质的理解和应用，准确分析判断是解题的关键.

例4.（2021•四川广安市•八年级期末）如图，已知A/BC与V关于直线I对称，NB=110°,ZA'=25°,

则/C的度数为（）

C!C

A.25°B.45°C.70°D.110°

【答案】B

【分析】根据成轴对称的两个图形全等求得未知角即可.

【详解】解：:△/BC与V/2'C'关于直线/对称，；.NA=/A，=25。,

VZB=110°,AZC=180°-ZB-ZA=180°-25o-110o=45°.故选B.

【点睛】本题考查轴对称的性质，属于基础题，解题的关键是熟知成轴对称的两个图形全等.

变式5.（2021•江苏八年级专题练习）如图，若平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在直线

对称，ZABE=90°,则/尸的度数为（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】根据轴对称的性质可得NABC=NEBC,然后求出NEBC,再根据平行四边形的对角相等解答.

【详解】：平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在的直线对称，；.NABC=/EBC,

VZABE=90°,.•.NEBC=45°,

:四边形EBCF是平行四边形，，/F=/EBC=45。.故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的对角相等的性质，熟记各性质是解题的关键.

变式6.（2021•江苏南通市•九年级一模）如图，在尺也/。8中，/A4c=90。，ADLBC,垂足为。，KABD

与■△/£）氏关于直线/。对称，点8的对称点是点夕，若/3NC=14。，则的度数为（）

【答案】D

【分析】由对称的性质得,根据/A4c=90。可得2840=38。，再根据直角三角形两锐角关

系求解即可.

【详解】解：•/4ABD与XADB'关于直线AD对称，/.NBAD=NB，AD

ZBAC=90°,ZS^C=14°/.ABAD+ZB'AD+AB'AC=90°

AZBAD=38°/8=90。-38。=52。故选D.

【点睛】本题考查了轴对称的性质以及直角三角形两锐角关系，掌握轴对称的性质是本题的关键.

知识点12利用轴对称作图

1、已知轴对称图形求作对称轴方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直

平分线，这条直线就是它的对称轴.

2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤

方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；（2）分别作出这些关键点关于对称轴的

对应点；（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形.

例1.（2021•吴江市八年级月考）如图是一个经过改造的规则为4x7的台球桌面示意图，图中四个角上的

阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），

那么球最后将落入的球袋是（）

1号袋4号袋

【答案】D

【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项.

【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：

1号袋4号袋

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质.轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）

对应线段相等，对应角相等.注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键.

变式1.（2021•河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击

球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）

1号袋2号袋

A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋

【答案】B

【分析】利用轴对称画图可得答案.

【详解】解：如图所示，

球最后落入的球袋是2号袋，故选：B.

【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形.

变式2.（2021•湖南九年级其他模拟）图1中的图案可以由图2的图案通过翻折后得到的有（）

图1图2

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】根据轴对称性质即可得到结论.

【详解】解：观察图案可知：具有轴对称性质的图案只有2个，

第二个需要上下翻折可得，第一个需要左右翻折可得.故选：C.

【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，解题关键是掌握轴对称的性质.

例2.（2021•福建厦门市•八年级期中）如图，已知△NBC和直线小，画出与A/BC关于直线加对称的图形

（不要求写出画法，但应保留作图痕迹）

m

A

【答案】见解析.

【分析】找出点4、B、C关于直线优的对称点的位置，然后顺次连接即可.

【详解】解：如图所示，△，9。即为A/BC关于直线机对称的图形.

【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，准确找出点/、8、C的对称点的位置是解题的关键.

变式3.（2021•浙江九年级一模）如图，己知图形X和直线/.以直线/为对称轴，图形X的轴对称图形是

A.

C.

【答案】c

【分析】根据轴对称图形的概念解答.

【详解】解：已知图形的轴对称图形是

故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

例3.（2021•河北秦皇岛市•九年级一模）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2

中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个

位置是（)

------1

②।

I-------

I①

一一1

③|

I④

图1图2

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【分析】根据轴对称图形的定义和对称轴的条数两个角度思考判断.

【详解】当放置在①位置时，构成的图形是轴对称图形，且有两条对称轴，不符合题意;

当放置在②位置时，构成的图形不是轴对称图形，不符合题意

当放置在③位置时，构成的图形是轴对称图形，且有一条对称轴，符合题意

当放置在④位置时，构成的图形不是轴对称图形，不符合题意故选C

【点睛】本题考查了拼图中的轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义，准确确定对称轴的条数是解题的

关键.

变式4.（2021•广东九年级其他模拟）小明将一正方形纸片画分成16个全等的小正方形，且如图所示为他

将其中四个小正方形涂成灰色的情形.若小明想再将一小正方形涂成灰色，使此纸片上的灰色区域成为线

对称图形，则此小正方形的位置为何？（）.

第

第

第

第

三

四

二

一

行

行

行

行

---I

►►►

第一列f

第二列一

第三列f

第四列f

A.第一列第四行B.第二列第一行C.第三列第三行D.第四列第一行

【答案】B

【分析】根据轴对称图形的性质和纸片上的四个灰色小正方形，确定出对称轴，即可得出小正方形的位置.

【详解】解：根据题意得：涂成灰色的小方格在第二列第一行.故选B.

笫

第

第

第

四

三

二

一

行

行

行

行

—-♦JI

第二列f

第三列f

第四列f

点评：此题考查了利用轴对称设计图案，解答此题的关键是根据题意确定出对称轴，画出图形.

变式5.（2021•石家庄市第四十四中学九年级一模）如图，在3x3的正方形网格中，格线的交点称为格点,

以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的A/BC为格点三角形，在图中与A/BC成轴对称的格点

三角形可以画出（）

C

AB

A.1个B.2个C.3个D.3个以上

【答案】D

【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案.

【详解】解：符合题意的三角形如图所示：

满足要求的图形有4个故选：D

【点睛】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，关键是要掌握轴对称的性质和轴对称图形的含义.

例4.（2021•河北廊坊市•八年级期末）在正方形网格中建立如图所示的直角坐标系，格点（网格线的交点）

A,B的坐标分别为（0,2）,（—2,—1）.利用线段48分别在图1、图2、图3中按要求画出A/BC,并写

出点。的坐标.（1）A/BC的对称轴是歹轴；（2）A/BC的对称轴是过点3且平行于坐标轴的直线，

并写出点。的坐标；（3）的对称轴是过点B但不平行于坐标轴的直线，且点。落在丁轴右侧的格

点上.

【答案】（1）见解析；（2）见解析，点C的坐标为（-4,2）或（0,-4）；（3）见解析

【分析】（1）做出点B关于y轴对称的点即可；（2）根据轴对称的性质和对称轴的位置作图即可;

（3）根据轴对称的性质和对称轴的位置作图即可；

【详解】（1）如图1,A/BC即为所求，点。的坐标为（2,—1）.

（2）如图2,即为所求，点C的坐标为（―4,2）或（0,-4）.

（3）如图3,A/BC即为所求，点。的坐标为。,1）或（1,—3）.

【点睛】本题主要考查了抽对称变换作图，准确分析作图是解题的关键.

变式6.（2021•云南大理白族自治州•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，AA8C各顶点的坐标分别

为：A（4,0）,B（1,4）,C（3,1）.（1）在图中作A/4'B'C',使和AA8C关于x轴对称；

(2)写出点B',C'的坐标；(3)求AA5C的面积.

【分析】(1)直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案；(2)直接利用(1)中所画图形得出各点坐标即可;

(3)利用三角形所在矩形面积减去周围三角形面积进而得到答案.

【详解】解：(1)由关于X轴对称点的性质我们可以得到的图形如图所示

(2)由(1)中所画的图形我们可以得出两点的坐标分别为：^(-1--4)C(-3,-l)

(3)如图所示,S^BC~S矩形七尸四一^AAEC—1HB—^ABFC

i711

•；SM=3(AE・CE)=3,^B=-(^.S7/)=10,SABFC=&(BF・CF)=3

S矩形=，E・EF=7x4=28SAABC=S^EFHA-S^EC-SAAHB-SABFC=28-10-3.

【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键.

变式7.(2020•佛山市顺德区北洛镇碧江中学八年级月考)如图，直角坐标系中，在边长为1的正方形网

格中，A/OB的顶点均在格点上，点/,3的坐标分别是4(3,1),B(2,3)

(1)请在图中画出A/OB关于y轴的对称A4'。'，点，的坐标为，点8'的坐标为

(2)请写出4点关x轴的对称点Z"坐标为.

【答案】⑴图见解析,2,3)；(2)/(3,-1).

【分析】(1)先根据轴对称的性质画出点H,",再顺次连接点4,0,8'即可得，然后根据点坐标关于y

轴对称的变换规律即可得；(2)根据点坐标关于x轴对称的变换规律即可得.

【详解】(1)先画出点H,8',再顺次连接点即可得△H05',如图所示：

点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同，

4(3,1),5(2,3),2,3),故答案为:2,3)；

.•^（3,1）,.-.^（3,-1）,故答案为：^（3,-1）.

【点睛】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键.

知识点13轴对称的应用（最短路径）

基本问题：在直线/上找一点尸，使得其到直线异侧两点Z、5的距离之和最小.

变式1：在直线/上找一点尸，使得其到直线同侧两点2、8的距离之和最小.

变式2：直线加、〃交于。，尸是两直线间的一点，在直线加、〃上分别找一点Z、B,使得APNB的周

长最短.

例1.（2021•山东德州市•八年级期末）如图，在A/BC中，AB=6,BC=1,/C=4,直线加是A/BC

中边的垂直平分线，尸是直线加上的一动点，则△4PC的周长的最小值为.

【答案】10

【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B,故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出

AB长度即可得到结论.

【详解】解：；直线m垂直平分BC,...B'C关于直线m对称，

设直线tn交AB于D,...当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，

.♦.△APC周长的最小值是6+4=10.故答案为：10.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置.

变式1.（2021•山东滨州市•八年级期末）如图，在A/BC中，ZACB=90°-D5=30>AC=6,P为

2C边的垂直平分线DE上一个动点，则△ZCP周长的最小值为

【分析】因为BC的垂直平分线为DE,所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则

△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可.

【详解】解：如图，:P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，.•.点C和点B关于直线DE对称，

.•.当点动点P和E重合时则AACP的周长最小值，VZACB=90°,ZB=30°,AC=6,AAB=2AC=12,

AP+CP=AP+BP=AB=12,「.△ACP的周长最小值=AC+AB=18,故答案为：18.

【点睛】本题考查了轴对称最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，

确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要.

例2.（2020•绵阳期末）如图，在四边形/BCD中，ZC=70°,/B=/D=90°,E、尸分别是BC、DC

上的点，当△，昉的周长最小时，/£/尸的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

【分析】据要使△/访的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出/关于8C和

CD的对称点,A",即可得出NN/'E+ZA"=ZHAA'=70",进而得出/NEF+N/庄1=2CZAA

'E+ZA"）,即可得出答案.

【答案】解：作/关于2C和CD的对称点,A",连接HA",交BC于E,交CD于F,贝I]/'A"

即为△/斯的周长最小值.作DA延长线AH,

VZC=70°,：.ZDAB=H0a,ZHAA'=70°,/.'E+ZA"=ZHAA'=70°,

VZEA'A=ZEAA',ZFAD=ZA",：.ZEAA'/=70°,AAEAF=\\Q°-70°=40°,

故选：B.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质

和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E,尸的位置是解题关键.

变式2（2020•长白县期末）如图，//OB=a,点尸是内的一定点，点M、N分别在。/、08上移

动，当△尸儿加的周长最小时，的值为（）

A.90°+aB.90°片aC.180°-aD.180°-2a

【分析】分别作点P关于。4、OB的对称点为、尸2,连接尸1、P2,交CU于交03于N,丛PMN的周

长最小值等于尸1尸2的长，然后依据等腰△OPP2中，/。尸1尸2+/。「2尸1=180°-2a,即可得出

OPM+ZOPN=ZOP1M+ZOPiN=180°-2a.

p】

【答案】解：分别作点尸关于CM、。8的对称点尸1、尸2,连接尸1、P2,交CM于交0B于N,则

OP\=OP=OPi,ZOP1M=ZMPO,ZNPO=ZNP2O,

根据轴对称的性质可得PN=PW,的周长的最小值=尸12，

由轴对称的性质可得NPOP2=2//O8=2a,；.等腰△。外尸2中，ZOPiP2+ZOP2Pi=180°-2a,

：./MPN=NOPM+NOPN=/OP\M+NOP2N=/OP\P2+/OP2Pl=180°-2a,故选：D.

【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OPP2中/。2尸2+/。尸#1

的度数是关键.凡涉及最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点.

例3.（2021•湖北八年级期末）如图，A/BC的顶点A,B,。都在小正方形的顶点上，利用网格线按

下列要求画图.

（1）画4G，使它与A/BC关于直线/成轴对称；

（2）在直线/上找一点P,使点尸到点A,点3的距离之和最短；

（3）在直线/上找一点。，使点。到边ZC,5C的距离相等.

।<।'।।>।।।।।）

j，一」一<L_L_L」_」一，一▲_L_j」

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析

【分析】（1）根据轴对称的性质，在网格上分别找到点A、点B、点C的对称点点4、点与、点G，连

接4月、4G、B.a,即可得到答案；（2）根据轴对称的性质，得PBi=PB；再根据两点之间线段最

短的性质，即可得到答案；（3）结合题意，根据角平分线的性质分析，即可得到答案.

【详解】(1)如图所示，在网格上分别找到点A、点B、点C的对称点点4、点与、点C1,连接4片、

B.C.

(2)根据(1)的结论，点2、点用关于直线/成轴对称

：.PB.=PB：.PA+PB=PA+PB,如下图，连接45]

当点P在直线I和4sl的交点处时，PA+PB[=AB,,为最小值，

...当点P在直线/和4sl的交点处时，PZ+P8取最小值，即点P到点A、点B的距离之和最短;

(3)如图所示，连接CG

根据题意的：NNCG=NBCG二点0在直线/和CG的交点处时，点。到边zc，的距离相等.

【点睛】本题考查了轴对称、两点之间线段最短、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、两点

之间线段最短、角平分线的性质，从而完成求解.

变式3.（2021•河南驻马店市•八年级期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1,格点三

【答案】见解析

【分析】（1）根据A、C两点坐标根据平面直角坐标系即可；（2）画出A、B、C关于y轴对称的Ai、Bi>

Ci即可；（3）作点Bi关于x轴的对称点B2,连接CB2交x轴于点P；

【详解】（1）如图所示；（2）如图所示；（3）尸点位置如图所示.

【点睛】本题考查了作图轴对称变换、最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用轴对

称解决最短问题.

例4.（2021•广西贵港市•八年级期末）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法及证明过程）：如图,

已知点P在/A4C内，分别在48、ZC边上求作点E和点/，使的周长最小.

B

【答案】见解析

【分析】步骤：①作P关于AB的对称点P1.②作P关于BC的对称点P2.③连接P1P2.④P|P2与AB的交

点就是E,P1P2与BC的交点就是F.即为所求.

【详解】解：如图：APER即为所求，

玛

注：①作P关于4B的对称点不；②作P关于的对称点鸟；③连接PR.

④P1P2与AB的交点就是E,P1P2与BC的交点就是F.

【点睛】本题考查了作图复杂作图，轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

变式4.（2022•颍泉区期中）如图，点尸是内部一点，现有一只蚂蚁要从P的出发，先到CU,再

到最后返回到点P.请作出蚂蚁爬行的最短路径（要求：保留作图痕迹，不写作法.）

【分析】作点尸关于。/、的对称点P、P",连接PP"与CM、05交于点河、N,可得蚂蚁爬行的最短

路径为：PM+MN+PN=P'M+MN+P"N=P'P".

【答案】解：如图，

作点P关于04、的对称点P、P",连接PP"与。/、。2交于点M、N,

则蚂蚁爬行的最短路径为：PM+MN+PN=P'M+MN+P"N=P'P".

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质.

知识点14等腰三角形性质及判定

1、等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另外一边叫做底，腰和底

的夹角叫做底角，两腰的夹角叫做顶角.特别地，三边相等的三角形叫做等边三角形.

（1）等腰三角形的两个底角相等，可简写成“等边对等角”.

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）.

注意：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直线都是等腰三角形的对称轴.

3、等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成"等角对等边"）.

4、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形或正三角形，它是特殊的等腰三角形；

性质：等边三角形除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有更特殊的性质：（1）有三条对称轴；（2）

每个内角都等于60°,三条边都相等.

判定：（1）三个角相等的三角形是等边三角形；（2）有两个角等于60。的三角形是等边三角形；

（3）有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形.

例L（2021•香坊区八年级期末）等腰三角形的周长为13c加，其中一边长为3c%则该等腰三角形的底长为

（）

A.3cm^5cmB.3cmcmC.3cmD.5cm

【答案】C

【解答】解：①3c加是腰长时，底边=13-3X3=7CTO,

此时，三角形的三边分别为3°加、3cm>7c%,：3+3=6<7,...不能组成三角形；

②3cm是底边时，腰长=/（13-3）=5cm,

此时，三角形的三边分别为5CH、5cm、3cm,能够组成三角形，

综上所述，该等腰三角形的底长为3c%.故选：C.

变式1.（2021•桦甸市八年级期末）等腰三角形的两边长分别是4cm和％加，则它的周长是（）

A.17cmB.22cmC.17c加或22。加D.无法确定

【答案】B

【解答】解：当腰是4c加时，：4+4<9,.•.此时不符合三角形三边关系定理，此种情况不行；

当腰是9c加时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是4CZH+9CVM+9cm=22（?加，故选：B.

例2.（2021•宁波市海曙区初二期末）若中刚好有N8=2NC,则称此三角形为“可爱三角形”，并

且NN称作“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应

该是（）.

A.45°或36。B.72°或36°C.45°或72。D.36。或72。或45。

【答案】C

【分析】根据三角形内角和为180。且等腰三角形的两个底角相等，再结合题中一个角是另一个角的2倍即

可求解.

【解析】解：由题意可知：设这个等腰三角形为AABC,且/B=2/C,

情况一：当NB是底角时，则另一底角为NA,且NA=NB=2/C,

由三角形内角和为180°可知：ZA+ZB+ZC=180°,

.*.5ZC=180o,/•ZC=36°,ZA=ZB=72°,此时可爱角为/A=72°,

情况二：当NC是底角，则另一底角为/A,且/B=2/A=2NC,

由三角形内角和为180°可知：ZA+ZB+ZC=180°,.,.4ZC=180°,即NC=45。，

此时可爱角为NA=45。，故选：C.

【点睛】本题借助三角形内角和考查了新定义题型，关键是读懂题目意思，熟练掌握等腰三角形的两底角

相等及三角形内角和为180°.

变式2.（2021•哈尔滨初二月考）在A/BC中，4D是ZBAC的平分线，且48=ZC+CD,若ABAC=81°,

则ZABC的大小为.

【答案】33°

【分析】可在A3上截取4E=/C,先根据SAS证明△ZED四△/CD,可得。E=DC,然后根据全等三角形

的性质、题中条件可得进而可得NC==2/8,而由三角形的内角和易求得/B+NC的度

数，进一步即可求出答案.

【解析】解：如图，在N5上截取N£=/C,在△4ED和△NCD中，

'：AE=AC,ZEAD=ZCAD,AD=AD,：./\AED^/\ACD（SAS）,：.DE=DC,NC=NAED,

"：AB=AC+CD,AB^AE+EB,：.CD=BE,；.BE=ED,:./EDB=NB,:./C=NAED=2/B,

又•.•/5+NC=180°-/A4C=99°,Z3=33°.故答案为：33°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外

角性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.

例3.（2021•成都市•初二期末）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若

【解析】设/A=x,VAPi=PiP2=P2P3=...=Pi3Pi4=Pi4A,AZA=ZAP2Pi=ZAPi3Pi4=x.

NP2Plp3=NP13P14Pl2=2X,NP2P3P4=NP13Pl2P10=3X,.......,NP7P6P8=/P8P9P7=7x.

...NAP7P8=7X,/AP8P7=7X.在AAP7P8中，ZA+ZAP7P8+ZAP8P7=180°,即X+7X+7X=180°.

解得x=12°,即NA=12°.

变式3.（2020•湖南永定•八年级期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图

所示的“三等分角仪”能三等分任何一个角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在。点

相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若/BDE=78。，则NAOB等于_

度.

【答案】26

【分析】根据题意易得NO=NCDO,ZDCE=ZDEC,则有NDCE=NDEC=2/0,ZBDE=3ZO,然后进

行求解即可.

【解析】解：：OC=CD=DE,.-.ZO=ZCDO,ZDCE=ZDEC,

ZDCE=ZDEC=2/0,ZBDE=ZO+ZDEC=3ZO,

VZBDE=78°,AZ0=26°；故答案为26.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形外角

的性质是解题的关键.

例4.（2021•曹县八年级期中）如图，正方形的网格中，点/,2是小正方形的顶点，如果C点是小正方

形的顶点，且使△NBC是等腰三角形，则点C的个数为（）

【答案】C

【解答】解：如图，分情况讨论:

①N5为等腰△A8C的底边时，符合条件的。点有4个；

②N5为等腰△48。其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.

所以△NBC是等腰三角形，点C的个数为8个，故选：C.

变式4.（2020•海口市第十四中学初二月考）如图，在AABC中，ZABC=60°,/C=45。，AD是BC边上

的高，/ABC的平分线BE交AD于点F,则图中共有等腰三角形（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】根据在△ABC中，/ABC=60。，NACB=45。，利用三角形内角和定理求得/BAC=75。，然后可

得等腰三角形.

【解析】VZABC=60°,ZACB=45°,AD是高，

.,.ZDAC=45°,；.CD=AD,；.△ADC为等腰直角三角形，

VZABC=60°,BE是NABC平分线，二/ABE=/CBE=30。，

itAABD中，ZBAD=180°-ZABD-ZADB=180°-60°-90°=30°,

...NABF=NBAD=30。，；.AF=BFBP△ABF是等腰三角形，

在AABC中，ZBAC=180°-ZABC-ZACB=180°-60°-45°=75°,

ZAEB=ZCBE+ZACB=30°+45°=75°,ZBAE=ZBEA,

；.AB=EB即AABE是等腰三角形，等腰三角形有AACD,AABF,AABE；故答案选：B.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的高、角平分线，等腰三角形的判定，解题关键是要

熟练掌握这些基础知识.

例5.（2020•广东揭阳•初二期末）如图，A48C中，AB=AC,。是中点，下列结论中不正确的是

（）.

A./B=NCB.ADA.BCC.2。平分NB/CD.AB=2BD

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的性质逐项分析即可.

【解析】A、等腰三角形的两个底角相等，所以N5=NC,故A项结论正确；

B、C项，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线以及底边上的高线“三线合一”，所以4D平

仿NBAC,故B、C项结论均正确；

D、由于三角形角度不确定，故无法得到AB和BD的关系，故D项结论错误，故选：D

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角

相等；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线以及底边上的高线“三线合一”.

变式5.（2021•广东高州•初二月考）等腰三角形底边长为6,周长为16,则三角形的面积为（）

A.30B.25C.24D.12

【答案】D

【分析】先求出腰长，作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解

即可.

【解析】解：根据题意，腰长为：|x（16-6）=5,如图，作底边BC上的高AD,

/.AB=5,BD=；X6=3,/.AD=^JAB2-BD2=-32=4'•,•三角形的面积为：；x6x4=12.

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根

据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键.

例6.（2021•渝水区八年级期中）如图，点。，E在△N8C的边8c上，BD=AD=DE=AE=CE.

（1）求/D4E的度数；（2）求证：△/3C是等腰三角形.

【答案】（1）NDAE=60°（2）略

【解答】（1）解：：40=。石=/£,是等边三角形，.,./D4E=60°；

(2)证明：:44DE是等边三角形；.N4DE=/AED=60°，'：BD^AD,：.ZB=ZBAD,

VZADE=ZB+ZBAD：.Z5=30°,同理NC=30°,

:.NB=/C,.♦.△4SC是等腰三角形.

变式6.（2021•南海区八年级期末）如图，在△NBC中，AB=AC,点、D、E、/分别在/8、BC、/C边上,

且BE=CF,BD=CE.（1）求证：△£>£下是等腰三角形；（2）当//=40°时，求NDEF的度数.

【答案】(1)略(2)ZDEF=70°

【解答】证明：'：AB^AC,：.ZABC^ZACB,

'BE=CF

在△D8E和△ECF中,ZABC=ZACB>:.ADBE沿AECF,

,BD=CE

:.DE=EF,，△。斯是等腰三角形；

（2）,:dDBEmLECF,.,.Z1=Z3,Z2=Z4,

VZ^+Z5+ZC=180°,：.ZB=1-（180°-40°）=70°

2

.".Zl+Z2=110°.,.Z3+Z2=110°AZDEF=10°

例7.（2021•福山区初二期末）在下列结论中：

（1）有一个外角是120。的等腰三角形是等边三角形；

（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；

（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；

（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【点拨】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都

相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题.

【解析】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°,已知有一个外角是120°,即是有一个内

角是60°,有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形.该结论正确.（2）：两个外角相等说明该三

角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形.该结论错

误.

（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是

等边三角形.该结论错误.（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形.正确；故选：C.

【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题.

变式7.（2021•辽宁铁岭•八年级期末）如图，E是等边A4BC中NC边上的点，Zl=Z2,8E=C。，则AIDE

是（）

AD

BC

A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.无法确定

【答案】B

【分析】先证得可得NBAE=/CAD=6Q°,即可证明A/OE是等边三角形.

【详解】解：:LABC为等边三角形；.AB=4C,ZBAE=60°,

VZ1=Z2,BE=CD,：./\ABE^/\ACD（&4S）,

：.AE=AD,ZBAE=ZCAD=60°,是等边三角形.故选B.

【点睛】此题考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握等边三角形的

判定定理.

变式8.（2021•无锡市八年级期中）如图，等边AABC的边长为8cm,点P从点C出发，以1cm/秒的速度

由C向B匀速运动，点Q从点C出发，以2cm/秒的速度由C向A匀速运动，AP、BQ交于点M,当点Q

到达A点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若/AMQ