湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高三年级上册10月联考数学试卷试题及答案

湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考

数学试题

一、单项选择题：（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.）

1.已知集合I『IT〃，则集合Ac5的子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】

【分析】先确定集合3中的元素，依次判断是否满足三+3%-9<0,即可确定Ac5,即可得解.

【详解】根据题意，B={%eN|y=lg(3-x)}={0,1,2},

可得A,2eA,

所以人心3={0,1},所以集合Ac5的子集个数为2?=4.

故选：B.

1-iII

2.若复数z满足——=3+4i,则同二（）

z

A.好B.-C.立D.立

5552

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的除法、复数的共辗及复数的模公式即可求解.

(l-i)(3-4i)_3-4i-3i-4_-l-7i

【详解】由题意得=不

z(3+4i)(3-4i)--9+16-25

3.在VABC中，G为7ABe重心，设氏4=凡8。=匕，则CG=（）

12,21,

A.—a——bB.——a+—b

3333

1221,

C.——a+—bD.—a——b

3333

【答案】A

【解析】

【分析】根据重心得出CG=2GF,进而得出CG=（（C3+C4）,再结合已知条件转化为用。力表示即可.

【详解】设尸分别是的中点，

由于G是三角形ABC的重心，所以CG=2GF,

22,CB+CA、

则

CG=3312J

因为，所以C4=BA—BC=a—Z?,CB=-b，

-11r\

所以CG=—仿一2人)=—&——b.

3、733

故选：A.

C

]—x

4.已知集合4=〈龙——-<01,8={尤|f-(2a+l)x+«(«+l)<0),若“九eA”是“xe6”的必要不充

x+2

分条件，则实数。的取值范围是（）

A.〃<-3或〃21B.〃<-3或〃>1

C.。<一3或〃21D.av-3或〃>1

【答案】C

【解析】

【分析】由题意确定BuA,列出不等式即可求解.

【详解】A=4x上二或x<—2}

x+2（1

B=f_(2a+l)%+a(a+l)K0}={x[a<x<a+\^

因为“尤e4,是“xe夕’的必要不充分条件，所以tA，

所以。+1<—2或。之1.解得:a<—3或。21.

故选:C

5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量

达到2079mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，

其血液中的酒精含量上升到了。.4mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度

减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：坨2a。.3010）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】

lg-

【分析】设至少经过/个小时才能驾驶，则40（1-0.2）,<20,所以,再结合对数的运算性质求解.

lg0.8

【详解】设至少经过f个小时才能驾驶，则40（1-0.2）'<20,

即所以flg0.8<lg；,

所以C坨:一口坨2四一0.3010一”,

lg0.8Ig4-lg5lg5-21g2l-31g21-0.9030,

即至少经过4个小时才能驾驶.

故选：B.

6.已知实数,且满足COSSl>cos加，则下列一定正确的是（）

_3_3

A.sina<sinbB.—>户

44

C.sina-a>sinb-bD.<田

【答案】D

【解析】

【分析】由已知条件结合余弦函数单调性可得-lv〃vav0,通过对应函数的单调性，判断选项中的大小

关系是否正确.

【详解】。］£（一1,。）时，〃兀,历1£（一兀,0）,余弦函数在（一兀,0）上单调递增，

由cosa?i>cos阮，得即>E，则有一lv〃vav0.

正弦函数在（—1,0）上单调递增，则有sinbvsina,A选项错误;

哥函数y=/|在(-1,0)上单调递减，则有B选项错误；

设函数/(x)=sinx-x,由/r(x)=cosx-l<0,/(%)在(一1,0)上单调递减，

-1<b<a<G,则有/(〃)>/(〃)，即sin〃一Z?>sin〃-Q,C选项错误；

暴函数y=f是偶函数，在(T，0)上单调递减，/〉/，D选项正确.

故选：D.

7.已知函数/(尤)的定义域为R,若/(x+1)为偶函数，/(x+2)为奇函数，则下列一定正确的是

()

A./(2022)=1B.〃力=小+2)

C./(x+3)为奇函数D./(x+2024)为奇函数

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性得出函数值判断A,根据对称性分别判断B,C,D.

【详解】函数y=/(x+l)是偶函数，/(x+l)=/(l-x),

所以〃龙)的图象关于直线x=l对称，且因为“x)=/(2—X),

由于函数y=〃x+2)是奇函数，所以“力的图象关于(2,0)对称，则/(2-x)+/(2+x)=0,

令x=0,可得/⑵+"2)=0,即/(2)=0,

由〃%)=/(2—%),可得/(%)=—/(2+X),

因为〃龙)不一定恒为0,所以/(x)=/(x+2)不一定成立，故B选项错误；

可得/(X+4)=—f(x+2)=f(x),所以/(%)是周期为4的周期函数.

所以/(2022)=/(4x505+2)=/(2)=0,故A选项错误；

因为〃x+l)=/(l—力，则/(%+2)=/(—x),

且/(%)=—/(2+力，即得—〃x)=/(—x),

所以/(%)为奇函数，即/(%+2024)=/(另为奇函数，D选项正确；

因为/(%)=-〃2+同,所以〃％+3)=_〃1+力,

又因为/（x+1）为偶函数，/（九）不一定恒为0,所以/（尤+3）不一定为奇函数，所以C选项错误.

故选：D

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是把/（1+1）为偶函数，/（尤+2）为奇函数转化为对称关系得出函

数周期及对称轴对称中心解题.

8.在VA3C中，记角A,8,C的对边分别为“,4c,若02=/+b2+",点。在边A3上，CO平分

ZACB,且|CD|=g,则4a+9b的最小值为（）

2525

A.—B.25C.—D.24

24

【答案】A

【解析】

【分析】由余弦定理可得角C的大小，由S"c=SAS+SBCO可得1+^=2,结合基本不等式“1”的巧

ab

用，即可得4a+9〃的最小值.

12几

【详解】由c?naZ+4+abncosCu—5,Ce（0,兀”.。=石，

又SABC=SACD+SBCD,

1,.2711,.兀1,.兀c,711c

..—cib,sin———b,CZ?|sin—l—b,C^L）\sin—2ab=a+b,..—l—=2,

232।।32।।3ab

a>0,b>0,

,994a25

4a+9b=万（4a+9Z?）>—13+2Nab,

2T

当且仅当丝==取等号；又1+工=2,即当且仅当a=工力=』取到最小值”.

ab3ab462

故选：A.

二、多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求

的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量a=（百，加）力=（0,1）,则下列说法正确的是（）

A.若同=2,则°.匕=1

B.不存在实数加，使得a〃匕

C.若向量aJ_(〃一48)，则冽=1或根=3

D.若向量。在6向量上的投影向量为―匕，则的夹角为事

【答案】BCD

【解析】

【分析】运用平面向量的性质定理，即可求解.

【详解】A选项：|a|=J(百)+加？=J3+加2=2,所以zn=±l,所以《/;=±1，故A错误；

B选项：若得&〃b,贝打xG=O，显然不成立，故B正确；

C选项：因为a-48=-4｝若向量a_L(a-48),

贝i]a(a-4b)=3+7”(加-4)=0=>m=1或田=3,故C正确；

D选项：设d力的夹角为。(。£[0,可)，

a-bb..

则向量。在b向量上的投影向量为仃自二机/7=一/?，所以冽二—1,

\b\\b\

又因为向量。在6向量上的投影向量为修片=,卜占<。56=^^我。5g=2co的目=-b,

\b\\b\\b\

所以cos8=一工

2

则a/的夹角为0,故D正确.

3

故选：BCD.

10.已知函数/(x)=sin[x+l]—cos[g+x],则下列说法正确的是()

A./(%)的图像可由y=JEsinx的图像向左平移3个单位得到

B./(%)图像关于点对称

C./(%)在[0,兀]上值域为[一1,1]

7

D.若ae/(tz)=5cos2a,则cos2a=一

【答案】BD

【解析】

【分析】根据三角恒等变换，化简函数/(%)，根据三角函数的图象性质判断A,B,C选项；利用同角三

角函数关系与二倍角公式转化即可求COS2。的值，从而判断D选项.

【详解】/(x)=sin[x+'|J-cos[，+x[=cosx-sinx=A/2COS

对于A,将y=Jlsinx的图像向左平移7个单位可得

函数y=J5sin[x+[]=sinx+cosxw/(x)图象，故A不正确；

对于B，/Q=V2COS^=0,所以/(%)图像关于点[：,()]对称，故B正确；

715兀

对于C,当xe[0,兀]时，X+~E,则COS卜+：旬一1,

4?T

所以[—后,1],故C不正确；

对于D,f(a)~cos-sinor=5cos2cif=5(^cos2cr-sin2a^=5(cosa-sincr)(cosa+sina),

因为a£,所以cosa—sina>0,则5(cosa+sina)=l,

1124

故cosa+sina=—,平方得cos2a+sin2i+2cosasini=—,则2sinacosa=---,

52525

二匚[[/.\22.2c•12449

所以cosa-smo=cosa+sm。-2cosasino=1+—=——，

v72525

7

则nIcosa-sma=—,

177

所以cos2a=cos2a-sin2a=(cos]+sino)(cosa-sina)=-x—=一,故D正确.

'八75525

故选：BD.

11.已知函数/（》）=111%-％8（_¥）=。6*-■¥+111。，则下列说法正确的是（）

A./（X）有极大值—1

1

B.g（x）20对于xeR恒成立，则实数。的取值范围是［屋5,+00）

C.当。=1时，过原点与曲线y=gO）—相切的直线有2条

D.若关于x的方程/（x）=g（x）有两个不等实根，则实数。的取值范围是（0一）

e

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出极大值判断A；探讨最小值并建立不等式求出。的范围判断B；求出过原点的曲线切线方程,

再确定方程解的个数判断C；变形给定等式并构造函数，探讨函数性质求出。的范围判断D.

11_r

【详解】对于A,/(x)=lnx-x,x>0,求导得r(x)=——1=-当xe(O,l)时，fr(x)>0,

XX

当xe(l,+oo)时，/'(x)<0,函数/(%)在x=l处取得极大值为了⑴=—1,A正确；

对于B,g'(x)=ae*-l,当0<x<lnL时，g'(x)<0,当尤>ln^时，g'(无)>0,

aa

函数g(x)在(0,ln°)递减，在(In+8)上递增，g(x)>g(ln—)=l+21n«,

aaa

由g(x)20对于xeR恒成立，得l+21naN0,解得〃〉屋；，B正确；

对于C,y=g(x)-/(x)-1=ev-1-lnx,函数定义域为(0,+℃),求导得=

x

设切点坐标为(%,%)，则在x=/处，y=e'—1—hw的切线方程为

xxA

y-(e°-l-ln%0)=(e°--)(x-x0),则一(e*°-l-ln%0)=-x0-(e°,

%%

%

化简得ln%0=(1一，当0</<1时，1叫)<0<(1-%0)6,此方程无解；

Av

当公〉1时，ln%0>0>(l-x0)e°,此方程无解；当/=1时，ln%0=0=(1-x0)e°,满足要求，

因此方程1啄=(1-%)e而只有%=1这1个解，即过原点有且仅有一条直线与y=/(x)相切，C错误；

对于D,由关于x的方程/(x)=g(x)有两个实根，得Inruae'+lna有两个不等实根，

整理得Inx=ex+1M+Ina,贝Hiw+x=ex+,na+(x+Ina),即Inx+elar=ev+ln(!+(x+Ina),

令函数/z(x)=x+e"则lux+eto=ev+lnn+(x+Ina)即为/z(lwc)=g+Ina),

函数〃(%)在R上单调递增，则lm;=x+lna,即lna=lnx—x,

由A选项知/(x)=lnx-x,xe(0,+8),函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

/(X)max=/(I)=一1，当0<%<1时，函数y=lnx取值集合为(一8,0),而一1cx<0，

因此/(X)在(0,1)的取值集合为(一8,-1)；当尤>2时，令9(x)=lnx—Lx,(p'(x)=---<0,

2x2

函数0（%）在（2,+8）上单调递减，。（尤）<0（2）=ln2-l<0,则lnx<』x,

2

111

当x>2时，f（x）=\nx-x<-x-x=--x,显然函数丁=一5%在（2,+00）取值集合为（一8,-1）,

因此函数/（X）在（1,+8）的取值集合为（—8,—D,则lna=lnx—X有两个根，必有hw<—1,

解得0<a<,，所以。的取值范围为（0,工），D正确.

ee

故选：ABD

【点睛】思路点睛：解决过某点的函数1x）的切线问题，先设出切点坐标（%,为），求导并求出切线方程

y-y0=f'Mx-x0）,然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知g(九)=sin2x,若/(x)=g(x)[g+a为偶函数，则实数。=.

【答案】1

【解析】

【分析】由题可设函数=+为奇函数，由奇函数的定义结合对数运算即可得实数。的值.

【详解】已知g（尤）=sin2x为R上的奇函数，

若/（%）=8（力炮|机7+〃为偶函数，则函数丸（刀六耳三^+力为奇函数，

—^—+a],则

又〃(—x)=lg

-x-1)

3)+(步坨[匕+[+坨]3+小43+43+川=0,

故[----+a]]-------+a]=1,整理得(2--a2x2=l—x2,

所以帆一")=L解得a=l，

a2=1

告+l)=lgX+1

则〃(x)=lg,其定义域为（-8,-l）u（L+8）符合定义域对称,

X-1)x-1

则函数八（久）为奇函数，所以。=1.

故答案为：1.

13.己知VA3C的外心为。，内角A8,C的对边分别为。，仇。，且a:b:c=5:6:5.若氏4.3。=7，则

BOBA=__________

【答案】—

2

【解析】

【分析】根据向量数量积的几何意义，即可求解.

【详解】由题意，不妨设a=c=5左力=6左（左＞0）,

IH|2_序〃22_序

所以•3C=,以5c|xcosB=acx-----------二--=7左2=7,

解得k=1，则c=5,

又因为。是VA3C的外心，过点。作ODLAB

又因为Q4=OB,所以BD=-BA

2

则BOBA=|BC>|x|BA|XCOSZABO=|BA\x\=y,

25

故填：—.

2

14.定义：如果集合A存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集

4,4,…,4（加eN,加22）,且=A,那么称无序子集组A，4，构成集合A

的一个m划分.若使函数/（x）=sin[s+（°eN）在[o,：J有且仅有一个零点的0的取值集合为A,

则集合A的所有划分的个数为.

【答案】14

【解析】

【分析】通过零点个数确定0,再结合新定义即可求解.

【详解】函数/（x）=sin[ox+；J（oeN）在有且仅有一个零点，则

兀，Cc,r

兀〈一71口+—V2兀=>3<口47,

44

G=4,5,6,7,「.A={4,5,6,7},

集合A的3划分个数为C；=6,集合A的4划分个数为1,

故集合A的所有划分的个数为14.

故答案为：14

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

H•h

15.对于任意两个非零向量口力，定义新运算：。㊉6=勺.

（1）若向量桁=（一1,5）石=（3,4）,求（2a-b）㊉6；

（2）若两个单位向量a1满足（3a+Z?）㊉（a-2&）=-|,求6与6夹角的余弦值.

9

【答案】（1）

力3710

10

【解析】

【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合新定义求解即可.

（2）利用新定义以及向量求夹角的公式求解.

【小问1详解】

2a—5=（—5,6）,

（2。耳力_（5,6）.（3,4）_15+249

.,.（2a-b）㊉b=

2525

【小问2详解】

（3〃+/?）.（〃-26）5

由（3。+6冏a-2b]=--

>3（4-2。）

i-5a^b54

----------=—=a•b7=—,

5-4(2•/?------35

d+b\'b=d'b+1=〃+“=+Z?)2-,2+2〃•/?=

9

/、(a+byb5_3V10

cos(a+b,b)=T---------A—r

'/\a+b\\b\3回.~10

-------,1

5

故a+b与b夹角的余弦值为题.

10

16.已知VA3C的三个内角A&C的对边分别为a,4c,且2sin(A+与=21幺

(1)求角C；

(2)若a=l,点。满足AD=2D5，且―,求VA3C的面积;

3

2%

【答案】(1)—

3

⑵手

【解析】

【分析】(1)由正弦定理边化角及两角和的正弦公式可得：6sinC=cosC+2,再由辅助角公式即可求解;

-12

(2)由题意得到：CD=-CA+-CB,平方得到力，再由面积公式即可求解.

33

【小问1详解】

(兀、b+2a兀、sinB+2sinA

(1)2smAA+—=-------n2sinA+—=-----------------,

V6JcI6JsinC

(6sinA+cosA^sinC=sin(A+C)+2sinA,

gsinAsinC+cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC+2sinA,

gsinAsinC=sinAcosC+2sinA,AG(0,兀),/.sinAw0,

V3sinC=cosC+2nsin[c-《]=l,C-^-e

TT7T27r

-,C——=-:.C=—

623

【小问2详解】

->—•—>—•2~■■—*2/-

由AD=nCD=CA+AD=CA+§AB=CA+§(C3-CA

:.CD=-CA+-CB,

33

.-.|CD|=|C4+|CB=1Jc4|2U|CB|2+4CA-CB=,

/.b?+4/+4ab,7=>/+4—2/?=7

-2b-3=0n(Z?+D(b-3)=0nb=3

.「I…r_1-6_36

..S——〃/?sinC——,1•3,——---

2224

17.已知函数/(1)=Inx—以之+〃.

(1)若％=1是/(%)的极值点，求实数。的值，并求/(%)的单调区间；

⑵若存在X£(l,y),使得〃力>0,求实数〃的取值范围.

【答案】(1)a=g,单调增区间为(0,1)；单调减区间为(1,+8)

⑵

【解析】

【分析】(1)求导，通过x=l极值点，求。，进而确定单调区间；

(2)将/(%)>0转换成T)—lnx<0,构造函数g(x)=a(尤2-l)Tnx(x>1,),通过aW0,a2g,

0<a<-三类情况讨论单调性即可求解.

2

【小问1详解】

/,(x)=--2ax,x=l是/(x)的极值点，故=1—2a=0na=^,

x2

1/\11—(x—+、

当a=3时，ft(%)=2ax=X------------(x>0),

f(x)>0=>xe(0,1),/r(x)v0nx£(1,+8),

可知x=l是/(%)的极大值点，故a=g,

/(%)的单调增区间为(0,1)；单调减区间为(1,+力)

【小问2详解】

由/(x)>。得-1^-Inx<0,xe(1,,

易知一Inx<0,/一1>o,

当a«0时，—1)—in%v0,满足题意；

当时，令g(x)=a(f_1)_1nM,

8,(同=到3>0任(乃在(1,+8)上单调递增，则g(x)>g(l)=o,不符合题意;

X

当0<Q<一时,

2

由8'(尤)>0,得%€由g'(x)<0,得xe

/、

于是有g(x)在1,递减，在,+a?递增,

7

g(l)=o,所以当0<a<；3xe(l,+oo),使得g(x)<0,

也即玉«1,+8),使得〃x)>0,

综上，。的取值范围时

18.己知函数/(x)=loga(x2+无+2)(。>0,。力1)在上的最大值为2,集合

A={引y=/(%)+Lxe[0,2]}.

(1)求。的值，并用区间的形式表示集合A；

⑵若g(尤)=a"+a口一根(优+4-)+1,对者归X2目°，1]，使得玉=g(%2)，求实数加

的值.

【答案】(1)2,A=[2,4]

【解析】

【分析】（1）通过换元。=炉+%+2%,先求得/的范围，在通过0＜。＜1,和。〉1讨论确定。，即可求解;

yyiFT75

(2)通过换元f=2'+2T，构造/i")=产—7泣—1,通过万W2和2<,<1的讨论即可求解.

【小问1详解】

「11「29一

t—%2+X+2x£—,1,贝[J/£—,4,

_4J\_16_

~—29/QQ

当Ovavl时，y=logt,te一,4,max=log16=2^>a=----(舍)

a|_16Jfl4

「29~|

当。〉1时，y=log/Je—,4,max=log/=2=>。=2满足，

16

故a=2.

2

y=f(x)+l=log2(x+x+2)+l,xe[0,2],/.ye[2,4],故集合A=[2,4]

【小问2详解】

由集合A=[2,4],g(x)=22*+B—加值+2T)+1=(2工+2T『—(2*+)—1,

设/=2*+27,则当xe[O,l],即2飞[1,2]时，

由对勾函数的性质可知fe2,-,

故g(x)=(2'+2一工了—〃?(2*+2-x)-l=t2-mt-l,

设人(/)=/—皿—1,则由题意得A=[2,4]为当fe2,g时，人⑺的值域的子集.

当£（2即mW4时，易知/?（。在2,|上单调递增,

A(2)=3-2m<2

得zn加=不1;

2

当23,即4(机＜5时，介⑺在2m上的最大值为人⑵和力5

中的较大值,

若〃(2)=3—2加24得〃zW—；,

5215|

若〃二一二m24得mW—,而4＜根＜5,故不合题意;

422

5m易知/z«)在2,1

当一K一，即54功时,上单调递减,

22

A(2)=3-2m>4

故＜5215°，不等式组无解.

h------m＜2

42

综上所述：实数加的值为工.

2

19.(1)当x«0,可时，求证:

(i)x>sinx；

1o

(ii)e*2—x~+x+1

2

(2)已知函数/(x)=e，+mxsinx-x-l.

(i)当加=1时，求y=/(x)在点(0"(0))处的切线方程;

(ii)讨论函数y=/(x)在［0,可上的零点个数.

【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)证明见解析；(2)(i)y=o；(ii)答案见解析

【解析】

【分析】(l)(i)作差之后构造函数，求导分析单调性可得；(ii)作差之后构造函数，求导分析单调性可得;

(2)(i)由导数的意义求出切线的斜率，再得到切线方程即可;

(ii)当机20和me-1-,0I,求导后由(1)结果进行简单放缩即可，当机e1

—co,----时-，属于隐零