2024-2025学年广东省汕尾市四校高三（上）联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省汕尾市四校高三(上)联考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合4={久[0<x<2},B={x\-l<x<3},则an8=()

A.[-1,3]B.(0,2]C.(0,1]D.(1,2]

2.已知命题p：VxeR,ex>0；命题q：a>b是ac2>be?的充分条件，贝！|()

A.p和q都是真命题B.-'p和q都是真命题

C.p和「q都是真命题D.「p和「q都是真命题

3.若函数丫=Gcos(2a)K苫)(3>0)两零点间的最小距离为会则3=()

A.1B.2C.3D.4

4.已知一个矩形的周长为36an,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.旋转所形成的圆柱的侧面积最大是

()

A.81cm2B.162cm2C.324;Tcm2D.1627rcm2

5.已知函数拉0)=X2一质一8,在[5,10]上是单调函数，贝冰的取值范围是()

A.(-oo,10]B,[20,+oo)

C.(-oo,10]U[20,+oo)D.0

6.已知a、0都是锐角，sina=1,cos(a+£)=、，则s讥夕的值为()

53331613

A•布B-65C.而D.-布

7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达

到20〜79Mg的驾驶员即为酒后驾车，80Mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其

血液中的酒精含量上升到了lmg/mL如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减

少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？()(参考数据：lg2«0.301,lg3=0.477,匈7«0.845)

A.3B.4C.5D.6

8.设△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且a2+廿十山,=°2,若角。的内角平分线=2,则

前•方的最小值为()

A.8B.4C.16D.12

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图所示是y=/(%)的导函数y=/(%)的图象，则下列结论中正确的是()

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A./(x)在区间(一1,2),(4,+8)上单调递增

B.x=一1是/(久)的极小值点

C./(X)在区间(2,4)上单调递减

D.%=2是f(x)的极小值点

10.已知函数y=/(%+1)为奇函数，且/(I—%)=f(x+3),当xG[0,1]时，/(x)=2—2，，贝|()

A./(久)的图象关于点(1,0)对称B.f(x)的图象关于直线久=2对称

CJO)的最小正周期为2D./(l)+/(2)+...+/(30)=-1

11.已知函数/(*)=Asin{a)x+w)Q4〉0,3>0,|如<多的部分图象如图所示，将函数/(久)的图象先向右平

移/个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的永纵坐标不变)，得到函数或久)的图象.则()

y,

A.3=22

B./(%)=2s)(2%+J)4.\——产M

C.g(x)的一个对称中心是(各,0)

D.若关于“的方程g(x)-m=0在(-卷刍上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为(-2,-悯

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

1

12.已知函数/'(久)=*+log2久，则/(5)=.

13.已知tcma=贝Usin2a=.

14.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体(图1),若中间层旋转角》。为锐角，如图2所示)，记表面积增

TT

加量为S=/(%),则/(*=______,s的最大值是______.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△4BC内，角4B,C所对的边分别为a,b,c,且bcosA—ccosB=(^c—a)cosB.

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(1)求角B的值；

(2)若△ABC的面积为3平乃=⑪，求△4BC的周长.

16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P—4BC中，PA1平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=避.

(1)求证：BC1平面P4B；

(2)求二面角力-PC-B的大小.

17.(本小题15分)

7T71

已知函数/(X)=sin(x+^)+sin(x-g)+cosx+a的最大值为1.

(1)求a的值；

(2)求f(久)图象的对称中心和对称轴；

⑶当久6[苫方时，求/⑴的最值，以及相应x的值.

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ae2x+(a—2)ex—%.

(1)当a=2时，求/(%)在x=。处的切线方程；

(2)讨论/(%)的单调性;

(3)若有两个零点，求a的取值范围.

19.(本小题17分)

已知函数y=/0)的定义域为。，若对任意的实数犯，%2eD,都有中/。1)+/(犯)]/)成立(等号

当且仅当％1=冷时成立)，则称函数y=/0)是。上的凸函数，并且凸函数具有以下性质：

对任意的实数々eD(i=1,2,3，…,n),都有寺[/(久1)+/(%2)++/(%„)]</(yi+%2^"+Xn)(neN,n>1)

成立(等号当且仅当％1=%2=-=。时成立).

(1)判断函数y=-/、y=COSX(XG(0,71))是否为凸函数，并证明你的结论；

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(2)若函数y=g(x)是定义域为R的奇函数，证明：y=g(x)不是R上的凸函数；

(3)求证：函数y=sinx是(0,兀)上的凸函数，并求sirM4-sinB+sinC的最大值(其中4、B、C是△4BC的

三个内角).

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参考答案

1.5

2.C

3.X

4.D

5.C

6.C

7.C

8.4

9.ABC

1Q.ABD

11.ACD

12.1

13,3

]4.苧-412-872

15.解：(1)因为bcosA—ccosB=(c—a)cosBf

由正弦定理得sinBcosZ-siTiCcosB={sinC—sinA)cosB,

即sin(/+8)=2sinCcosB,

又A+B+C=冗,所以sin(Z+8)=sinC,

又0<CV",所以sinC=2sinCcosB,

故l=2cosB,解得cosB=4，

JT

又Be(0,7T),所以B=§；

TT

(2)由(1)知B=3,

由余弦定理得拉=+c2-ac,①

乂S=-acsinB=」ac,

24

故坐ac=3避，则ac=12,②

4

又b=JR,由①②得层+c2-12=13,故M+c2=25,

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所以(a+c)2=a2+c2+2ac=25+24=49,

由题意得a>0,c>0,解得。+c=7(负根舍去)，

故△ABC的周长为7+5.

16.解：(1)证明：因为P41平面ABC,BCu平面力BC,

所以P41BC,同理R41AB,

所以△P4B为直角三角形，

又因为PB=yJPA2+AB2=y[2,BC=1,PC=4，

所以PB2+BC2=PC2,则^PBC为直角三角形，故2clpB,

又因为BC1PA,PAHPB=P,

所以BC1平面P4B.

(2)由(1)BC1平面P4B,又ABu平面PAB,贝l|BC1AB,

以4为原点，力8为万轴，过4且与平行的直线为y轴，2P为z轴，建立空间直角坐标系，如图,

贝必(0,0,0),P(0,0,l),C(l,l,0),B(l,0,0),

所以而=(0,0,l),XC=(1,1,0),近=(0,1,0),PC=(1,1-1),

设平面P2C的法向量为访=(打,月/1),则芸二:，即

令久1=1,则、1=一1,所以访=（1,一1,0）,

设平面PBC的法向量为元=（%2，、2/2），则｛:.罂=］即管+；2-Z2=。，

令%2=1，则Z2=l,所以元=(1,0,1),

所以c°s〈嬴〉=湍=；^/

又因为二面角力-PC-B为锐二面角,

所以二面角A-PC-B的大小为宗

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7T7T

17.解：(1)函数/(%)=sin(x+不)+sin(%—不)+cos久+a

.7T.TTIT,TT

=sinxcos-^-^-COSXSITT^-^-sinxcos-^—cosxsirr^-^cosx+a

=y/^sinx+cosx+a

Ti

=2sm(x+q)+a,

函数〃>)的最大值为1,

所以2+a=1,解得a——1；

■JTJT

(2)令％+%=k7i(kEZ),解得久=—%+kn,kEZ,

TT

故函数的对称中心为(-7+--1)，

令X+看=k7r+看解得％=^+/C7T,fcGZ,

TT

故函数的对称轴为X=§+左兀，kCZ,

⑶当%e［苫,芟时，

则久+?GJ''等'

当X+壮筝即刀=半时，/⑶取得最小值一收一1；

当x即久=狎，f(%)取得最大值1.

18.解：(1)当a=2时，/(%)=2e2x-x,•••fr(x)=4e2x-l,

((0)=3,又f(0)=2,

•••/(%)在％=0处的切线方程为：y-2=3(x-0),

BP3x-y+2=0；

(2)/(%)的定义域为R,f(x)=2ae2x+(a-2)ex-l=(aex-l)(2ex+1),

当aW。时，/'(%)<0,所以/(%)在R上单调递减；

当a>0时，则由/'(%)=0得％=—Ina,

当久G(—8,一)a)时，/'(%)<0；当久e(—Ina,+8)时，/'(%)>0,

所以/(%)在(-8,-"a)上单调递减，(-Ina,+8)上单调递增；

综上所述：

当时，/(%)在R上单调递减；

当Q>0时，/(%)在(一8,一仇Q)上单调递减，(一必见+8)上单调递增；

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(3)若aWO,由⑴知,f(x)至多有一个零点，不合题意.

1

若a>0,由(1)知，当久=一①a时，/(%)取得最小值，且最小值为/(一,a)=1-公+仇。，

要使/(%)有两个零点，则/(一ma)<0,

即求1—)a<0的解集，

令g(a)=1~+lna,a>0,

则g'(久)=*+《=*〉。・

所以g(a)在(。,+8)上单调递增，又g(l)=0,

所以ae(0,1)时，g(a)<0,ae(1,+8)时，g(a)>0,

所以1—5+仇a<0的解集为(0,1).

综上，aE(0,1).

19.解：(1)函数y=-%2、y=cosx(xE(0,兀)都是为凸函数，证明如下：

证明：对于函数/(%)=-%2,XER,对任意的实数第1，%2R，则有步(汽1)+/(%2)]=-£(好+始)，/(

为1+%2)_(冗1+%2)2

又因为对任意实数Q，b,"2+力2_(瞪与2=；(q2_|ab+人2)=X(Q_1)2+第2]之0,当。=6=0时，等

号成立，

所以好+%i>(也尹)2,所以一支好+%^)<—(归尹尸，

即^/(/)+/。2)]</(^4^)，

所以/(%)=-%2,%eR是为凸函数；

对于/(%)=COSX,X6(0,71),对任意的实数％1，X2£(0,71),