浙江省台州市2024-2025学年数学人教版九年级上册期中试卷（二）（含答案解析）

数学人教版9年级上册期中测试

（时间：120分钟总分：120分）

一、单选题。（每题3分，共36分）

1.如图，在正方形ABCD中，E为中点，连接BE,延长E4至点尸，使得〃=£B,以AF

为边作正方形AFG8,在《几何原本》中按此方法找到线段A3的黄金分割点H.现连接

TH并延长，分别交的，3c于点尸，Q,若：△跳P的面积与V3PQ的面积之差为

6节-9,则线段AE的长为（）

2.若关于x的方程（〃7-1）/+彳+1=0有实数根，则机的取值范围是（）

A.m<—B.m>—C.m<—D.—

4444

3.关于x的方程x?+依=2（左为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）

A.两个正根B.两个负根

C.一个正根，一个负根D.无实数根

4.已知加，“是函数%=%与%=x-2x+c图象两个交点的横坐标，点A（r,T）在函数内的图象

上，则以下结论正确的是（）

A.若0</<相<”<2,则〃<TB.若贝！JT</

C.若0<<2,则D.若0<7〃<r<〃<2,贝！JT<〃

5.如图，已知二次函数>=办2+法+（?的图象关于直线x=-l对称，与x轴的一个交点在原点

和。，0）之间，下列结论错误的是（）

1

A.abc<0

C.4〃—21b+c>0D.a-b<m（am+b）（机为任意实数）

6.如图，在RtA4CB中，ZACB=90°,C4=2,CB=4.将"CB绕点A顺时针旋转120。得到

△ADE,边BC上的一点尸旋转后的对应点为Q,连接A。，PD,则AQ+OP的最小值是

（）

A.3乖）B.2币D.4右

7.如图，将菱形OACB绕其对角线的交点顺时针旋转90。后，再向右平移3个单位，则两次

变换后点C对应点。的坐标为（）

A.（2,4）B.（2,5）C.（5,2）D.（6,2）

8.如图，在正方形ABC。中，AB=2,M,N分别为边AD,CD的中点，E为A3边上一动

点，以点E为圆心，的长为半径画弧，交3C于点尸为防的中点，。为线段肱V

上任意一点，则也长度的最小值为（）

2

A.正B.C.2V2-2D.6-2

2，

9.如图，B,C是半径为6的半圆。上的两个点，AD是直径，BC//AD,若BC的长度为

g*则图中阴影部分的面积为（）

10.如图，。。的直径与弦。E交于点C,DC=OC.若NDCO=100。，则的度数为

（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

11.通过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相

同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少有一辆车向左转的概率是（）

A』B-C—D-

A.339U，9

12.有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6,现将这枚

骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为机，第二次记

下的点数为"，则关于&>的二元一次方程组只有非负解的概率为（）

[mx+ny=3

A.—B.-C.—D.—

1243636

二、填空题。（每题3分，共12分）

13.小明在一块画有RRABC的纸片上（其中ZABC=90。，BC<AB）进行了如下操作：第一

步分别以A3、BC为边向外画正方形MFU和正方形BCDE；第二步过点A、B分别作

AC的垂线和AC的平行线，将纸片ABFG一分成②、③、④、⑤四块，如图1；第三步

将图1中的正方形纸片BCDE、AABC纸片及纸片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成图

3

若需《则悬的值

2.

14.对于二次函数＞=/-4办+/+1,当x»2时，y随x的增大而增大、已知此二次函数的图

象上有一点,则m的取值范围为.

15.如图，在及AABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6.是/ABC的平分线，将3。以。为中

心，逆时针旋转90。，点3的对应点为E.则AE的长度为.

16.化学实验课上，张老师带来了Mg（镁）、A1（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属，这

四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来

制取氢气.（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换

出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能

置换出氢气的概率是.

三、解答题。（共72分）

17.（本题10分）如图，在中，"=90。，点。在A3边上，以AD为直径的。。与

3C相切，切点为点E,连接DE,AE.

4

A

⑴求证：AE平分/BAC；

(2)若0。的直径为5,AC=4,求BC的长.

18.(本题10分)(1)当了=时，多项式V-6x+12的最小值为

(2)当尤=时，多项式-d+2x-3的最大值为

(3)当X、y为何值时，多项式2/一4孙+6y2-12y+19取最小值？并求出这个最小值.

19.(本题12分)如图，平面直角坐标系中,抛物线y=加+fcr-2与X轴交于3(4,0),

。(-2,0)两点，与V轴交于点A.

备用图

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点尸是直线下方抛物线上的一动点，横坐标为机.过点尸作x轴的平行线交于

点K,写出PK长度的表达式(用含山的代数式表示)；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点“，使得NMB4=45。？若存在，求出点M的坐

标，若不存在，请说明理由.

20.(本题10分)在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形ABC。(如图1),其

中AB=2,连接对角线AC,且4MC=30。，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活

动.以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：

5

(1)如图2,“奋勇”小组将△/!£>(?绕点。旋转得到AAOC,当点C落到对角线AC上时，

AC与AD交于点孔试猜想线段CC与AC的数量关系，并加以证明；

(2)“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取AC的中点E,连接AE,D0试判断四边形

"DC的形状，并说明理由；

(3)在八位心绕点。旋转的过程中，当DC〃AC时，求点A与点A之间的距离，请你思

考此问题，直接写出答案.

21.(本题10分)如图，A3是0。的直径，点C是。。上一点，连接AC,BC,尸C是。。

的切线，点。是OA上一点，过点。作于点。，交AC于点/，交CP于点E.

(1)如图1,当点。与点。重合时，已知ZA=20。，求/CEF的度数；

(2)如图2,连接OC,AE,当AE〃OC时，AE与。。交于点G,已知AG=6,AB=10,

求EG的长.

22.(本题10分)阅读材料：

材料1：法国数学家弗朗索瓦・书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了

方程根与系数的关系，提出一元二次方程ox?+6x+c=0("0,b2-4ac>0)的两根xi,X2有

b

如下的关系(韦达定理)：石+九，中%r；

2=a2=a-

材料2：如果实数用、〃满足疗一根_i=o、〃2_〃_]=0,且加则可利用根的定义构

造一元二次方程f一九一1=0,然后将阴、〃看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问

6

题.

请根据上述材料解决下面问题:

（1）若实数。，人满足：a2+3a-5=0,廿+3b-5=0（a=b）贝I」。+6=,ab=；

⑵若加马是方程f-6x+后+3=0两个不等实数根，且满足5㈤=%+6,求左的值；

（3）已知实数加、n、/'满足：m2-4m=7+f,，-〃=*+。，且求

（川+1）（4机+8+。的取值范围.

23.（本题10分）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业.某职业教育培训中心开设：

A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学

有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择

一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图

根据图中信息解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的

度数为:

（2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技

术”专业意向的学生有人；

（3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维

修店观摩学习.请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率.

7

参考答案

1.C2.A3.C4.D5.C

6.B7.C8.B9.C10.B

11.D12.D

4

9

<m

15.回

17.(1)证明：连接OE,则=

：.ZOEA=ZOAE9

・・•5c是0。的切线,

：.OE±BC9

=90°,

/.ACIBC,

・•・OE//AC,

.\ZOEA=ZCAE

.\ZCAE=ZOAE,

平分/3AC；

(2)解：・.・AZ)是。。的直径,

ZAED=90°=ZC,

由⑴^ZCAE=ZOAE9

・•.△ADEAEC,

8

.AEAD

,AC-AE?

/.AE2=ACAD=4x5=20,

AE=2y/5,(负值舍去)

CE=VAE2-AC2=2,DE=y/AD2-AE2=45,

OE//AC9

.△BEOSABCA,

.BEOE2.5

,BC-AC-V

:.BE=-BC,

8

3

:.CE=-BC=2,

8

BC=—.

3

18.(1)%2-6X+12=X2-6X+9+3=(X-3)2+3

V(x-3)2>0

.•.当x=3时,多项式V-6x+12取最小值，且最小值为3;

故答案为：3,3

(2)-X2+2X-3=-(X2-2x+1)-2=-(x-1)2-2

v(x-l)2>0

，当x=l时，多项式-f+2尤-3取最大值，且最大值为-2；

故答案为：1,-2；

(3)2x2-4xy+6y2-12y+19

=2,一2孙+V)+(4/-i2y+9)+10

=2(x-y)2+(2y-3y+10

v(x-y)2>0,(2y-3)2>0

.•.当且2y-3=0,即％=y=5时，多项式2%2_4孙+6/一12y+19取最小值，并且最

9

小值为10.

33

x=2，y=5，最小值是10.

1

a=一,

16。+46-2=04

19.(1)解:由题意得,，解得:

4a-26—2=0

所以抛物线的表达式为y=32-夫-2；

(2)解：如图：过点尸作尸轴于点。，交于点E.

VA(0,-2),3(4,0),

/.tanZABO=tanNBKP=-

2

PK=2PE.

设直线AB的解析式为>=依-2,将(4,0)代入，得"=

所以直线A3的解析式为y=2.

I2J

所以=g根一2-L/一L”2

424

所以PK=2PE=-1m2+2m.

(3)解：设对称轴交于点/，对称轴为尤=1,直线A3的解析式为y=g》-2,

，点小二.

:.BF=-45,

2

①当点M在AB上方时，过点M作MN1.AB于点N,

tan/.OBA=—=tanAFMN,ZMBA-45°,

2

10

设=MN=BN=2x,则〃尸=氐，

:.BF=FN+BN=x+2x=-y[5,解得：=—.

2x2

：.MF=6=3,

2

故点“（I」）；

②当点M在A3下方时，

tanNOBA=—=tanZFMN,Z.MBA=45°,

2

设FN=x,MN=BN=2x,则〃尸=氐，

3L3L

:.BF=BN-FN=x=-yJ5,解得：x=-V5.

.-.MF=yf5x=—,

2

故点M（l,-9）；

综上，存在点朋■，点M的坐标为（U）或。，-9）.

20.(1)CC'=AC,

证明：•.•四边形ABC。是矩形,

11

ZADC=90°,

又：ZDAC=30°,

/.DC=-AC,ZACD=90°-30°=60°,

2

由旋转可得，DC=DC,

AT»CC是等边三角形，

/.CC'=DC=-AC,

2

/.CC'=AC；

(2)四边形AEDC是菱形.

理由：由(1)得△DCC是等边三角形，

ZCDC=6Q°,

由旋转得ZA'=/D4C=30。，ZA7M=/CDC'=60。，ZA'DC'=ZADC=90。，AC=AC',

：.ZA'FD=180°-ZA'-ZADA=90°,

/.AC1AD,

又：AC'=CC'=DC',

：.AF=DF,

•.•ZA7)C=90。，点E是线段AC的中点，

/.DE=-A!C,

2

XVDC=^AC,AC=AC,DC=DC,

DE=DC',

又•:AC'IAD,

：.FE=FC',

：.AD与EC互相平分，

四边形AEDC是平行四边形，

又；AC1AD,

・••平行四边形皿》C'是菱形；

(3)如图所示，当点C在AD上方时，连接A4，，

12

A

'：DC//AC,

：.ZC'DA=ZDAC=30°,

由旋转可得，AD=AD,ZADC^ZADC'^90°,NC'AO=/DAC=30。,

JNAZM=ZADC+ZA'DC=120°,

/.ZDAA'=ZDAA=1(180°-ZADAf)=30°,

,?/C'AD=/ZMC=30°,

/.ZDAA=ZDAC'=30°,

.•.点A,C,H三点共线，

NC'AD=NC'ZM=30。，

C'A=C'O=2,AC'=AC=4,

AA'=AC'+A'C=2+4=6；

如图所示，当点C，在线段AZ)下方时，

由旋转可得，ZADC=ZA'DC'=90°,AD=AD,

'：DC//AC,

：.ZAED=ZA'DC'=90°,

,/ZDAC=30°,

ZADE=90°—30°=60°,

△的以是等边三角形，

.*•AAAD=VAC2-DC2=V42-22=2A/3.

13

综上所述，当DC〃AC时，点A与点H之间的距离为6或2右.

21.(1)如图1,连接0C,

・••PC是。。的切线，

/.CO.LPC,即ZOCE=90°,

OA=OC,

：.ZOCA=ZA=20°,

：.ZECF=90°-ZOCA=90°-20°=70°,

DE±AB,

・•・ZADF=90°,

...ZCFE=ZAFD=900-ZA=70°,

：.ZCEF=180°-ZECF-ZCFE=180°-70°-70°=40°.

(2)如图2,过点。作O",AG于点H,

GH=—AG=—x6=3.

22

VOC±PC,AE//OC,

：.AE.LPC,

.•.ZEHO=ZHEC=ZECO=90。，

・••四边形。CEH是矩形,

14

/.EH=OC=-AB=5

29

EG=EH-GH=5-3=2.

22.(1)解：由题意，得a,b是方程％2+3x-5=0的两个根，

...a+b=—3,ab——5•

故答案为：-3,-5；

(2)由题意，得：石+/=6,玉%2=%+3,

..九2=6一石，

5|xJ=x2+6=12—石,

当再＜。时，-5%=12-芭，解得：玉=-3,

W=6-石=9,

.**左+3=—3x9=—27,

二・左二一30；

当王20时，5芭=12-芭，解得：〜=2,

x2=6—2=4,

.**左+3=2x4=8,

.*•k=5；

综上：上=一30或后=5；

(3)=J(7+r),

44V