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文档简介
随机值号翁析第5幸：随机信号通过带通系
统目录n 基本概念l
分析复信号的有⼒⼯具使得实信号可以很⽅便地表示成复解析信号。l
为频域分析因果系统搭建了⼀个桥梁可以简单地表明因果信号频谱的实部和虚部之间的关系。
t定义：设
x(t
)为实信号，其希尔伯特变换(Hilbert)记为
H[
x(t
)]
:xˆ
(t
)
H[x(t
)]
x(t
)
1n 正变换与反变换l
正变换l
反变换⎣
⎦l
恒等变形通过替换变量
'
t
可以将正(反)变换变形为H[x(t)]
=
xˆ(t)
=
1π
-
t
-
τx(τ) τ
=
x(t)* 1dπt
H
-1
⎡
xˆ
t
⎤
=
x
t
=
-
1xˆ
τ
1dτ
=
-xˆ
t
*t
-
τ πtπ
-
x
t
'd
'
,
'1
xˆt
x
t
xˆ
t
'd
'
'1
n 频域分析Xˆ
jX
sgn
希尔伯特变换频域响应：1 F
⎯
j
sgn
⎨
t
j,
00,
0j
0⎧⎪⎪⎩回2
0
Hh
(
)2
回10Hh
(
)n 物理意义Hilbert变换器Hilbert变换器实际上就是⼀个90o频段移
90o，负频段移
-90o
。ω
0ω
<
0移相器，幅度不变，正
x
t
h
t
= 1πtH
ω
=
1, H
ω
=
⎨⎧-j⎩
j1
txˆ
tn 基本概念定义：实信号
x(t
)与
!x(t
)构造的复信号：z(t
)
x(t
)
j
!x(t
)称为
x(t
)
的解析信号(Analytic
signal)或信号预包络(Pre-envelope)。由解析信号可以求出原信号，2z(t)
z*
(t
)x(t
)
Re[z(t
)]
n 解析信号频域分析l
若 x(t
)
是确定信号,则
z(t
)
也是确定信号∵
z(t
)
x(t
)
jxˆ
(t
)
Z
(
)
X
(
)
j(
j
sgn(
))
X
(
)
X
(
)
sgn(
)
X
(
)
2
X
(
)u(
)l
若 x(t
)
是随机信号,则
z(t
)
也是随机信号，平稳随机信号的解析信号是平稳随机的，且它们是联合平稳。功率谱为：S
(
)
S (
)
|
2u(
)
|2
4S (
)u(
)z x x解析信号本质上是原信号的正频率部分，是实信号的⼀种“简练”形式。n ⼀个例⼦：信号解调l
幅度、频率经过调制的信号x(t
)l
构造其解析信号z(t
)
x(t
)
j
!x(t
)l
可以读出瞬时幅度、瞬时相位、瞬时频率n 性质l
希尔伯特逆变换H
1
H
证明：Θ H
j
H
j
j2
sgn2
(
)
1
H
H[
x(t
)]
x(t
)
H
H[
x(t
)]
x(t
)Θ H
1
⎡⎣
H[x(t
)]⎤⎦
x(t
)
H
1
⎡⎣⎤⎦
H
⎡⎣
⎤⎦l 90o
相移的全通滤波器。H[e
j
0t
]
je
j
0t
e
j
/2e
j
0t
e
j
(
0t
/2)H[e
j
0t
]
je
j
0t
e
j
/2e
j
0t
e
j
(
0t
/2)H[e
j
0t
]
H[e
j
0t
]H[cos
0t]
cos(
0t
/
2)
sin
0t2H[e
j
0t
]
H[e
j
0t
]H[sin
0t]
sin(
0t
/
2)
cos
0t2l
希尔伯特变换只改变相位，不改变能量或功率，有或 lim证：x
t
dt
x
t
dt2ˆ
2
x
t
dt
limx
t
dt2ˆ
211T
2TT
2TTT
T
T
xˆ
2
t
dt
xˆ
t
⎡
1
Xˆ
e
j
t
d
⎤
dt*
⎢
2
⎥⎣⎦Xˆ
*
⎡
xˆ
t
e
j
t
dt
⎤
d
12
⎥⎦⎢⎣
Xˆ
Xˆ
＊
d
1
2
1
2
22
X
d
x t dt
l
设具有有限带宽 Δ
的信号
a(t
)
傅⽒变换为
A(
)假定
0
Δ
，则有H
⎡⎣a(t
)cos
0t
⎤⎦
a(t
)sin
0tH
⎡⎣a(t
)sin
0t
⎤⎦
a(t
)cos
0t证明：a(t
)cos
0ta(t
)t设所以H
⎡⎣a
t
cos
w0t
⎤⎦
a
t
sin
w0t同理可证H
⎡⎣a
t
cos
0t
⎤⎦
-a
t
cos
0ta
t
⎯F
A
ω
x
t
=
a
t
cos
ω
t
⎯F
1
⎡
A
ω
-
ω
+
A
ω
+
ω
⎤
=
X
ω
00 02
⎣⎦Xˆ
ω
=
F
⎡⎣
xˆ
t
⎤⎦
=
-jsgn
ω
X
ω
j=
- ⎡⎣
A
ω
-
ω0
-
A
ω
+
ω0
⎤⎦2l
奇偶变换H[奇函数]
=偶函数H[偶函数]
=奇函数证：l若
y
t
v
t
x
t
，则yˆ
t
vˆ
t
x
t
v
t
xˆ
t
u1x(t
v)dv
xˆ
(t
)
v
∵ x(
t
)
x(t
)
xˆ
(
t
)
1
u
x(
t
u)du
1x(t
u)du
n 性质l
若随机信号X
(t
)平稳，则
!X
(t
)
平稳，且⼆者联合⼴义平稳。可利用随机信号经过线性系统的结论进⾏说明。l
对于平稳随机信号 X
(t
)，满⾜R
ˆ
RX
，S
ˆ
SX
X Xt
X
t
1
tXˆ
证明：或
：R
τ
=
R
τ
* 1 * -1
=
R
τ
Xˆ
X
πτ πτ Xl
对于平稳随机信号R ˆ
Rˆ
X
，R
ˆ
Rˆ
X
XX XXxˆ
-t
=
x
-t
* 1πtH
ω
=
12S
ˆ
ω
=
SX
ω
H
ω
X=
SX
ω
2证明：lR ˆ
,
R
ˆ
均为奇函数XX XX即
R ˆ
0
R
ˆ
0
0
,XX XX正交。x
t
与
xˆ
t
在同⼀时刻R ˆ
RX
h
XX
R
1
Rˆ
XX
R
ˆ
τ
=
RX
τ
*
h
-τ
XX=
RX
τ
*
-=
-Rˆ
τ
X1πτl
时间自相关函数也为奇函数R
ˆ
RXT
XT证：R
lim 1
T
xˆ
t
xˆ
t
dtR
Rˆ
XT
R
ˆ
ˆXXT XXTT
2TXˆT
T
T
⎡
x
t
x
t
2
1T
2T
T
lim⎤d
d
⎥dt⎦
⎣⎢
RXT
2
=-
d
d
d
Rˆ
XT
Rˆ
XT
d
RXT
l
⼯程信号(实因果)
x(t)
=
x(t)u(t)
的频谱的实部与虚部是ω域的希尔伯特变换对或者说频谱是解析信号。傅里叶变换为：X
(
)
Re[
X
(
)]
j
Im[
X
(
)]令：Re[
X
(
)]
R(
),Im[
X
(
)]
I
(
)X
(
)
R(
)
jI
(
)
F[
x(t
)u(t
)]1
[R(
)
jI
(
)]*[
(
)
1 ]2
j
1 1 1 1 1 -1
R(
)
I
(
)
*
j[ I
(
)
R(
)
* ]2 2
2 2
\ R(
)
I(
)
*1
I(
)
R(
)
* -1
n 只适用于近似窄带的信号• 希尔伯特变换是非因果的• ⼯程实现通过信号延迟操作• 在⼀定频带范围内满⾜理想特性参考：/p/25250010n
部分信号不存在希尔伯特变换n
对噪声的影响，不具备稳定性n
⽆法处理非平稳随机信号n 基本概念定义：复(值)随机变量：两个实变量X与Y
作为实部与虚部n 统计特性复随机变量统计特性由X与Y
联合概率特性完整描述。l
均值mZ
mX
jmYl
⽅差Z
X
jY22
Z
E
⎡
Z
mZ⎤
DX
DY⎣⎦l证：
E
⎡⎣
Z1
Z2
⎤⎦
E
⎡⎣
X1
jY1
X
2
jY2
⎤⎦RZ
Z1
2
RX
X
RY
Y
j
⎡
RX
Y
RY
X
⎤1 2 1
2 ⎣
1
2 1 2
⎦
E
⎢⎣
Z1
mZ1
Z2
mZ2
⎥⎦
RZ
Z
mZ
mZ1
2 1 2CZ
Z1
2
CX
X
CY
Y
j
⎡C
X
Y
CY
X
⎤1 2 1
2 ⎣
1
2 1 2
⎦
⎡
⎤Z1Z2X1
X
2 Y1Y2X1Y2Y1
X
2
⎦R
R
R
j
⎡
R
R⎤⎣CZ
Z1
2
CX
X
CY
Y
j
⎡CX
Y
CY
X
⎤1 2 1
2 ⎣
1
2 1 2
⎦l 对于复随机变量
Z1
和
Z2独立性：f
x1
,
y1;
x2
,
y2
f
x1
,
y1
f
x2
,
y2
不相关：正交：Z1Z2C
01
2或
RZ
Z
0
0或
Z
Z1
2RZ
Z1
2
mZ
mZ1 2
n 基本概念定义：复值随机信号：Z
t
X
t
jY
t
n 统计特性l 均值l ⽅差l 自相关函数mZ
t
mX
t
jmY
t
2
t
2
t
2
t
Z X YRZ
t,
t
E
⎡⎣
Z
t
Z
t
⎤⎦
l
自协⽅差函数l
如果 mZ
t
mZ，RZ
t
,
t
RZ
则义平稳。Z
t
⼴l
如果
RZ
Z
，则
Z1
t
和
Z2
t
联合平稳。CZ
t1
,
t2
E
⎡
Z
t1
mZ
t1
Z
t2
mZ
t2
⎤
RZ
t1
,
t2
mZ
t1
mZ
t2
⎢⎣
⎥⎦CZ
t,
t
Z2
t
t,
t
RZ
Z1
21 2l
对于⼴义平稳信号
Z
(t
)
满⾜RZ
RZ
0
CZ
CZ
0
n 解析过程设
X
(t
)为实随机过程，且为⼴义平稳解析信号：RZ
0
0实数R
⎯F
SZ Z
Z
t
X
t
jXˆ
t
ll证：mZ
mX
jmXˆ
m
ˆ
m h
d
m H
0
X
X X
RZ
t,
t
2RX
2
jRˆ
X
RZ
t,
t
E
⎢
X
jXˆ
X
t
jXˆ
t
⎥
⎡⎤⎣
RX
RXˆ
j
⎡⎣
RXXˆ
RXˆX
⎤⎦⎦∵
R
ˆ
RX
,XRˆ
RXˆ
R
ˆ
XXXX
RZ
2RX
2
jRˆ
X
lS
2
⎡
S
j
jS
sgn
⎤ZXX⎣⎦
0
2
⎡⎣
SX
SX
⎤⎦
4SX
u
SX
4u
SZ
4n 带通信号定义：带通信号(Bandsignal):
X
(
f
)
只在某个有限的区间(
f1
,
f2
)
上非零，其中带宽为
Δf
f2
f1
，中⼼频率(通信载波频率)
fc
。窄带信号(Narrow-bandsignal)：带宽远远小于中⼼频率的带通信号
|
f2
f1
|=fc
。n 带通信号的解析信号对于带通信号
x(t
)
其解析信号为z(t
)
x(t
)
jxˆ
(t
) 。其中,解析信号的频域部分为原信号正频域部分的两倍。z(t
)
z*
(t
)x(t
)
Re(z(t
))
2n 复包络带通信号
x(t
)
复包络
a(t
)
+载频
fc
。x(t
)
Re[z(t
)]
Re[
x (t
)e
j
2
fct
]Lx (t
)可能取复值
i(t
)
jq(t
)
a(t
)e
j
(
t
)Lx(t
)
Re
⎡a(t
)e
j
0t
⎤
Re
⎡r(t
)e
j
t
e
j
0t
⎤
Re
⎡r(t
)e
j
0t
t
⎤
r(t
)cos[
t
(t
)]0⎣
⎦⎣
⎦⎣
⎦x(t
)
Re
⎣⎡a(t
)e
j
0t
⎦⎤
Re
⎡⎣
i(t
)
jq(t
)
e
j
0t
⎤⎦
Re
⎡⎣
i(t
)
jq(t
)
cos
0t
j
sin
0t
⎤⎦
i(t
)cos
0t
q(t
)sin
0t同相与正交分量：i(t
)
与
q(t
)包络与相位分量：r(t
)
与
(t
)它们之间的关系是：带通信号主体上是正弦波，包络随
r(t
)
缓慢波动，相位随
(t
)缓慢“抖动”。i
2
(t
)
q2
(t
)⎧r(t
)
⎧
i(t
)
r(t
)cos
(t
)与
⎨
q(t
)
(t
)
arctan⎨q(t
)
r(t
)sin
(t
)i(t
)⎪⎩⎪⎩n 调制与解调i(t
)与q(t)
x(t
)称为调制(Modulation)x(t
)
i(t
)cos
0t
q(t
)sin
0tx(t
)
i(t
)与q(t
)称为解调(Demodulation)i(t
)
LPF{
x(t
)
2cos
0t} q(t
)
LPF{
x(t
)
2sin
0t}n 带通随机信号平稳性实带通信号⼴义平稳的条件是
i(t
)与
q(t
)满⾜Ri
(
)
Rq
(
) Riq
(
)
Rqi
(
)证：x(t
)
i(t
)cos
0t
q(t
)sin
0tE[
x(t
)]
E[i(t
)]cos
0t
-
E[q(t
)]sin
0t
0E[
x(t
)
x(t
)]
Ri
(
)cos
0
(t
)cos
0t
Rq
(
)sin
0
(t
)sin
0t
Riq
(
)cos
0
(t
)sin
0t
Rqi
(
)sin
0
(t
)cos
0t三角函数积化和差
[Ri
(
)
Rq
(
)]cos
0
(2t
)
[Riq
(
)
Rqi
(
)]sin
0
[Riq
(
)
Rqi
(
)]sin
0
(2t
)
}/2Rx
(t
,
t
)
Ri
(
)cos
0
Rqi
(
)sin
0
n 平稳带通信号的矩特性E[
x(t
)]
E[i(t
)]cos
0t
E[q(t
)]sin
0t
0Rx
(t
,
t
)
Ri
(
)cos
0
Rqi
(
)sin
0
Rx
(t
,
t
)
{
[Ri
(
)
Rq
(
)]cos
0
n 性质1Riq
(
)
Rqi
(
)
Siq
(
)
Sqi
(
)Riq
(
)
E
i(t
)q(t
)
E
q(t
)i(t
)
Rqi
(
)
Riq
(
)l
互相关函数是奇函数Riq
(0)
E[i(t
)q(t
)]
0即，i(t
)
与
q(t
)
在同⼀个时刻正交。l 为了
x(t
)
⼴义平稳，两路分量必须功率相同。Ri
(
)
Rq
(
)
Si
(
)
Sq
(
)n 性质2由于z(t
)
a(t
)e
j
0tR
(
)
R
(
)e
j
0
z aSz
(
)
Sa
(
0
)R (
)
E
⎡⎣
Z
t
Z
*
t
⎤⎦
E
⎡a
t
e
j
0
t
a*
t
e
j
0t
⎤⎣
⎦
R
(
)e
j
0
Za
2
2
2
2a xzx(t
)
i(t
)与q(t
)称为解调(Demodulation)i(t
)
LPF{
x(t
)
2cos
0t}Rqi
(
)
LPF{-2Rx
(
)sin
0
}Rx
(
)
Ri
(
)cos
0
Rqi
(
)sin
0
Ri
(
)
LPF{2Rx
(
)cos
0
}q(t
)
LPF{
x(t
)
2sin
0t}n 功率谱和互功率谱l
功率谱S
(
)
S (
)
⎧
Sx
(
0
)
Sx
(
0
)|
|
0其他0i q⎨⎩2cos
0
2
[
(
0
)
(
0
)]Ri
(
)
LPF{2Rx
(
)cos
0
}(
)
⎧
j[Sx
(
0
)
Sx
(
0
)]|
|
0其他S (
)
S0qiiq⎨⎩l
互功率谱2sin
0
j2
[
(
0
)
(
0
)]Rqi
(
)
LPF{-2Rx
(
)sin
0
}0
0
0
N
02W零均值带通白⾼斯噪声功率谱，如图(a)所示，Sx
(
)
Si
(
)(a)
(b)则其同相与正交分量的功率谱如图(b)所示，且分量独立。n 带通⾼斯噪声N0W
2W
2证：利用功率谱、互功率谱的关系易知，Siq
(
)
Sqi
(
)
0进⽽得到，S
(
)
S (
)
⎧
N0|
|
W
/
2q其他⎨
0i q⎩N sinW
/
2R
(
)
R
(
)
0
,Riq
(
)
Rqi
(
)
0i q
n 基本结论小结l
带通信号的表达式：x(t
)
i(t
)cos
0t
q(t
)sin
0t
r(t
)
cos[
0t
(t
)]
Re
z(t
)
Re
⎡⎣a(t
)e
j
0t
⎤⎦ll 两个分量信号满⾜以下特征保证
x(t
)
平稳。Ri
(
)
Rq
(
), Riq
(
)
Rqi
(
)i(t
)与q(t
)在同一时刻正交E[x(t)]
E[i(t
)]cos
0t
E[q(t
)]sin
0t
0Rx
(t
,
t
)
Ri
(
)cos
0
Rqi
(
)sin
0
l
复信号
a(t
)
与
z(t
)
之间的关系，R
(
)
R
(
)e
j
0
z
al
功率(或⽅差)之间的关系，l
分量与带通信号的相关函数的关系，Ri
(
)
LPF{2Rx
(
)cos
0
}Rqi
(
)
LPF{-2Rx
(
)sin
0
}l
有关信号的功率谱、互功率谱的关系，SZ
(
)
4Sx
(
)u(
)
4Sx
(
)
2
2
2
,
2i q z
2
2
2a xxS
(
)
S (
),
S (
)
S
(
)
S
(
)z a 0 x x x
n 窄带⾼斯信号对于平稳的窄带⾼斯信号X
(t
)
，X
t
~
N
0,σ
2
其复包络为X
L
(t
)
AC
(t
)
jAS
(t
)n 窄带⾼斯的包络的⼀维概率分布X⎧⎪
X
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AC
t
cos
0t
AS
t
sin
0t⎪⎩
Xˆ
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AC
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sin
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0t⎨⎧⎪
AC
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X
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0t⎪⎩
AS
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X
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sin
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Xˆ
t
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0t⎨X
(t
)高斯，Xˆ
(t
)高斯
A (t
),
A (t
)高斯分布
~
N
0,
2C S X
n 窄带⾼斯的包络和相位的⼀维概率分布lAC
(t
)与AS
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)在同一个时刻正交⎯A⎯c
(
t
)⎯,
AS
(⎯t
)高⎯斯
在同一个时刻不相关互相独立f
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