中考数学专项复习：与实数有关的计算（解析版）

L1题型突破训练：与实数有关的计算

题型分类结构图(本专题共69题48页)

题型1：实数的混合计算

典例：(2022•广西•南宁十四中九年级期中)计算：V12-I-1|+(1)-2+(2022+TT)0.

解：-|-1|+G)+(2022+n)°

=2百-1+4+1

=2V3+4.

巩固练习

1.(2022・重庆巴蜀中学九年级期中)甘—V^—(兀-5)。+(—2厂2=.

解：七一V51—(TT—5)°+(―2)-2=V5—i―1+^=V5—1,

故答案为：V5-1.

(2)(2022・重庆八中九年级期中)计算：cos30°-|1-V3|=.

解：cos300-11-V3|

-V23一1

-V23一

-

故答案为：1_冬

2.(2022・江苏•盐城市初级中学一模)计算：(TT-1)°+V12-2COS30O.

【答案】1+百

【分析】直接利用零指数幕的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而合并得出答

案.

【详解】解：(兀一1)°+值一2cos30。

c不V3

=1+12>/3-2x—^―

=1+2V3-V3

=1+V3

【点睛】此题主要考查了零指数基的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值，实数的运算，正确

化简各数是解题关键.

3.(2022・四川乐山•九年级期中)计算：V25+|1-V3|+V27.

【答案】4+4V3

【分析】原式先化简算术平方根和绝对值，然后再合并即可.

【详解】解:V25+|1-V3|+V27

=5+百一1+3V3

—4+4A/3

【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

4.(2022・上海,青浦区实验中学九年级期中)计算：4°+8^-(72-1)-1+|1-V2|.

【答案】1

【分析】根据a°=1(。40),L=：,酒=费，去绝对值，分母有理化，然后进行加减，即可.

［详解］4°+一(/—I)"1+|1-V2|

1广

-1+2----------1+V2

V2-1

l(V2+1)

=2+72--------------------------

(V2-1)(72+1)

=2+V2-(V2+1)

=2+V2-V2-1

=1.

【点睛】本题考查实数，二次根式的知识，解题的关键是a°=l（aAO）,aT=±加=*，分母有理化.

a

5.（2022・江苏•连云港市新海初级中学三模）计算：|—3|+7^-（1-兀）°.

【答案】0

【分析】根据绝对值的意义，求一个数的立方根以及零指数幕进行运算即可.

【详解】解:原式=3—2—1=0.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，求一个数的立方根以及零指数嘉等知识点，灵活运用所学知识点是解

本题的关键.

6.（2022・江苏•射阳县第四中学二模）计算：迎+（2010—百）°—G）T

【答案】2夜一1

【分析】先化简二次根式和计算零指数幕和负整数指数事，再根据实数的混合计算法则求解即可.

【详解】解：原式=2近+1—2

=2V2-1.

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，零指数幕，负整数指数幕，实数的混合计算，熟知相关计算法

则是解题的关键，注意非零底数的零指数幕结果为L

7.（2022・广西•平果市教研室九年级期末）计算：+2cos45。一迎+

【答案】1

【分析】分别计算负指数幕、三角函数值、根式化简、去绝对值，然后计算即可.

【详解】解：原式=2+2x^-2鱼+鱼一1

=2+V2-2V2+V2-l

=（2-1）+（V2-2V2+V2）

=1+0

=1

【点睛】本题考查了与负指数幕、特殊角三角函数值、二次根式化简、绝对值化简相关的实数混合运算，

熟练掌握相关知识并正确运算是解题关键.

8.（2022•江苏•阳山中学九年级期中）计算：

(1)2tan45°——--—2sin260°

''sin30°

(2)V12-4sin30o+|V3-2|；

【答案】⑴一半

⑵百

【分析】(1)根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解；

(2)根据化简二次根式，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算即可求解.

【详解】(1)2tan45°——-——2sin260°

sin30°

3

=2—2—2x--

4

=—3•

2’

(2)V12-4sin30°+|V3-2|

=2V3-4x-+2-V3

=2V3-2+2-V3

—V3.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，二次根式的性质化简，掌握特殊

角的三角函数值是解题的关键.

9.(2022・山东•淄博市张店区第九中学九年级期中)计算：

(l)cos600+sin45°—tan45°；

(2)6tan230°-V3sin60°-2cos45°.

【答案】⑴等

(2)|-V2

【分析】(1)先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再根据实数混合运算法则进行计算即可；

(2)先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再根据实数混合运算法则进行计算即可.

【详解】(1)解：cos60°+sin45°-tan45°

V2-1

z------

2，

(2)解：6tan2300-V3sin600-2cos45°

V3V2

=6x-V3x--2x—

22

13厂

6x————A/2

32

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.

题型2：程序计算中的实数运算

典例：（2022•河北邢台•七年级期末）按下面程序计算:

将i+1作为输入值

（1）当输入x=5时，输出的结果为

（2）若输入x的值为大于1的实数，最后输出的结果为17,则符合条件的久的值是

解：（1）当x=5时，

2

+1=5+1=26>15,

输出的数是26.

（2）当第一次输出的结果为17时，

Ax2+1=17,

解得：x=4或久=一4,

又：力>1,

.".%=4,

当第二次输出的结果为17时，则

（%2++1=17,

x2+1=4,（%2+1=—4舍去）

解得：x=V3（x=-B舍去）

当第三次输出的数为17时，则

x2+1-V3,止匕时%<1不合题意，舍去，

综上：x的值为：旧或4

故答案为：(1)26；(2)或4

巩固练习

1.(2022•浙江・杭州绿城育华学校一模)有一个数值转换器，原理如下：当输入的久=144时，输出的y等

于()

A.3B.8C.3V3D.2a

【答案】D

【分析】根据程序进行计算即可.

【详解】解：输入x=144时，取算术平方根为12,是有理数，

输入％=12时，取算术平方根为2b，是无理数，输出，

.,.y—2V3.

故选：D.

【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，根据程序设计进行计算是解题的关键.

2.(2022・河北•一模)按如图所示的程序计算，若开始输入的。值为次，则最后输出的结果是()

A.3+V3B.15+V3C.3+3V3D.15+7百

【答案】D

【分析】按所示的程序将n=值输入，结果为3+次，小于15；再把3+四作为“再输入，所得结果大

于15,则就是输出结果，所得结果小于15,再次循环输入，直到输出结果.

【详解】解:当71=旧时n(n+1)=V3(V3+1)=3+V3<15,

当Ji=3+百时，n(n+1)=(3+73)(4+V3)=15+7V3>15,

故选：D.

【点睛】本题以一种新的运算程序考查了实数的运算，解题关键判断结果与15的大小，要注意两方面：①

新的运算程序要准确；②实数运算要准确.

3.（2022•辽宁葫芦岛•七年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的

是（）

A.输入值久为16时，输出y值为4

B.输入任意整数，都能输出一个无理数

C.输出值y为遥时，输入值x为9

D.存在正整数居输入x后该生成器一直运行，但始终不能输出y值

【答案】D

【分析】根据运算规则即可求解.

【详解】解：A.输入值x为16时，V16=4,〃=2,即y=&,故A错误；

B.当x=0,1时，始终输不出y值.因为0,1的算术平方根是0,1,一定是有理数，故B错误；

C.x的值不唯一.x=3或x=9或81等，故C错误；

D.当x=l时，始终输不出y值.因为1的算术平方根是1,一定是有理数；故D正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了算术平方根及无理数的概念，正确理解给出的运算方法是关键.

4.（2022•山东济宁•八年级期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的X值为逐，则最后输出的结果是（）

A.5V5B.5+V5C.24D.35+11遍

【答案】B

【分析】把*=近代入代数式x（x+1）得到结果，若大于7则输出，若结果不大于7再次代入，循环后满足

条件即为所求结果.

【详解】解：当x=Z时，x(x+1)=V5(V5+1)=5+V5,

'."4<5<9

.".2<V5<3,

A5+A/5>7

二最后输出的结果为5+V5.

故选：B.

【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图的意义是解本题的关键.

5.（2022•浙江•七年级专题练习）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法:

①当输出值y为百时，输入值X为3或9；

②当输入值x为16时，输出值y为迎；

③对于任意的正无理数V，都存在正整数x,使得输入x后能够输出y；

④存在这样的正整数x,输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值.

其中错误的是（）

A.①②B.②④C.①④D.①③

【答案】D

【分析】根据运算规则即可求解.

【详解】解：①x的值不唯一.x=3或x=9或81等，故①说法错误；

②输入值x为16时，V16=4,,V4=2,y=V2,故②说法正确；

③对于任意的正无理数y,都存在正整数x,使得输入x后能够输出y,如输入故③说法错误;

④当x=l时，始终输不出y值.因为1的算术平方根是1,一定是有理数，故④原说法正确.

其中错误的是①③.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：H,2H等；开方开不尽的数；以

及像0.1010010001...,等有这样规律的数.

6.（2022・全国•九年级专题练习）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2,则输入x的值是.

【答案】1

【分析】根据程序分析即可求解.

【详解】解：•••输出y的值是2,

上一步计算为2=工+1或2=2久一1

X

解得（经检验，%=1是原方程的解），或x=|

当％=1>0符合程序判断条件，%=|>0不符合程序判断条件

故答案为：1

【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键.

7.（2022•北京海淀•九年级期末）给定二元数对（p,q）,其中p=0或Lq=0或1.三种转换器4B,

C对（p,q）的转换规则如下：

规则

a.转换器/当输入（1,1）时，输出结果为1；其余输出结果均为0.

转换器B当输入（0,0）时，输出结果为0；其余输出结果均为1.

转换器C当输入（1,1）时，输出结果为0；其余输出结果均为1.

b.在组合使用转换器时，A,B,C可以重复使用.

k___________________________________________________________________7

（1）在图1所示的"A-B—U组合转换器中，若输入（1,0）,则输出结果为；

A

C

(1,0)-----(0,1)

图1

（2）在图2所示的"①一C—②"组合转换器中，若当输入（1,1）和（0,0）时，输出结果均为0,则该组合转换

器为"--C-―”（写出一种组合即可）.

①

【分析】（1）利用转换器C的规则即可求出答案.

（2）利用转换器A、8、C的规则，写出一组即可.

【详解】（1）解：利用转换器C的规则可得：输出结果为1.

（2）解：当输入（1,1）时，若①对应A,此时经过A、C输出结果为（1,0）,②对应4输出结果恰好为0.

当输入（0,0）时，若①对应4此时经过4C输出结果为（0,1）,②对应4输出结果恰好为0.

故答案为：1;A；A.

【点睛】本题主要是新定义题目，利用题目所给规则，进行分析判断，即可解答出该题目.

8.（2022・河北•廊坊市第十六中学七年级期末）一个数值转换器，如图所示：

（1）当输入的X为2时，输出的y值是.

（2）当输出的y值为旧时，请写出两个满足条件的x的值为和

【答案】V239

【分析】（1）将x=2代入程序进行计算即可；

（2）根据算术平方根的定义进行取值.

【详解】解：（1）当x=2时，输出片鱼.

故答案为：V2；

（2）当x=3时，y=V3,

当x=9时，79=3,3是有理数，不能输出，

百是无理数，y=V3；

故答案为：3；9.

【点睛】此题考查了运用算术平方根解决程序计算问题的能力，关键是能准确求解算术平方根，并能辨别

无理数.

9.（2022・福建厦门•七年级期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：

①当输出值y为企时，输入值X为2或4；

②当输入值X为9时，输出值y为百；

③对于任意的正无理数y,都存在正整数x,使得输入x后能够输出y；

④存在这样的正整数x,输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值.

其中正确的是.

【答案】②④##④②

【分析】根据流程图逆向分析即可判断①，把x=9代入流程图判断②；通过特殊值法排除③；当x=l时判

断④.

【详解】解：①•••当比=16时，V16=4,〃=2,2取算术平方根为企，输出值y为近，则输入值x为2

或4或16等，故①不符合题意；

@V9=3,3取算术平方根为旧，输出值y为百，故②符合题意；

③如X=7l2时，兀2是正无理数不是正整数，输出值y为兀是正无理数，故③不符合题意；

④当x=l,1的算术平方根为1,该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值，故④符合题意；

故答案为：②④.

【点睛】本题考查了实数的性质，求一个数的算术平方根，无理数的定义，理解题意是解题的关键.

10.(2022•河北・邯郸市第二十三中学七年级期中)任意给出一个非零实数m,按如图所示的程序进行计算.

(1)当时，输出的结果为.

⑵当实数m的一个平方根是-旧时，求输出的结果.

【答案】(1)0

(2)2

【分析】(1)将代入流程图，逐步计算即可；

(2)根据题意求出m的值，代入流程图计算即可求出值.

(1)解：当m=l时，

(I2+1)-M-2x1=0；

2

(2)根据题意得：m=(-V3)=3,

二⑶+3)+3—2x3=-2.

【点睛】此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

11.(2022・上海•七年级专题练习)如图是一个无理数筛选器的工作流程图.

(1)当x为9时，y值为；

⑵如果输入。和1,(填"能"或"不能")输出y值；

⑶当输出的y值是代时，请写出满足题意的X值：.(写出两个即可)

【答案】⑴店

(2)不能

(3)5或25(答案不唯一)

【分析】(1)根据运算流程图，即可求解；

(2)根据0的算术平方根是0,1的算术平方根是1,即可判断；

(3)根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值.

【详解】(1)解：当输入x=9时，9的算术平方根为3,不是无理数，3的算术平方根为百，

即y=V3；

故答案为：V3

(2)解：当输入x=0或1时，因为0的算术平方根是0,始终是有理数，1的算术平方根是1,也始终是有

理数，

所以不能输出y；

故答案为：不能

(3)解：当y=时，y2=(V5)=5,此时x=5；

当y=时，y2=(代)=5,52=25,此时x=25；

故答案为：5或25(答案不唯一)

【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键.

题型3：定义新运算

典例：(2022•江苏宿迁•七年级期中)设a、b都表示有理数，规定一种新运算“※J当时，aAb=b?,

当a<6时，aAb=2xa.例如：1A2=2x1=2,3A(—2)=(—2)2=4.

01x23

(1)(-1)A(-5)=;

(2)求(2A3)A(一1)的值；

⑶若有理数x在数轴上对应点的位置如图所示，设：m=(1AX)AX；n=XA3,比较m、C的大小关系.

解：(1)•••(-1)<(-5),

•••(-1)A(-5)=(-5)2=25；

(2)(2A3)A(-1)

=(2x2)A(-1)

=(-l)2

=1;

(3)由数轴知

(1A%)AX=(2X1)AX=2AX=X2,XA3—2x

x2<2x,

m<n.

巩固练习

1.(2022・陕西咸阳•八年级期中)现定义一个新运算"※乙规定对于任意实数x,y,都有久Ay=gF5+

\fxy+l,则7A9的值为.

【答案】8

【分析】根据新运算要求可知两个数进行新运算等于这两个数和的算术平方根，再加上这两个数的乘积与1

的和的立方根，再代入计算即可.

【详解】7A9=V7+9+V7x9+1=716+^64=4+4=8.

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的计算，理解新定义是解题的关键.

2.(2022•山东德州•九年级期中)给出一种运算：对于函数旷=/，规定y'=n/T.例如：若函数为=/,

则有=若函数72=炉，求方程y；=12的解为.

【答案】%i=2,x2=-2

【分析】根据新定义的规定先计算为'，再解方程.

2

【详解】解：1y2'=3x,

又・.•y2'=12,

.•・3x2=12.

.・.%2=4.

,,,%]=2,%2=-2,

故答案为：%i=2,x2=-2.

【点睛】本题考查了解一元二次方程的直接开平方法.掌握新定义规定的运算和一元二次方程的解法是解

决本题的关键.

3.(2022•山东潍坊•八年级期中)定义一种运算☆,规则为•☆6=工+]根据这个规则，若久☆(久+1)=於,

ab2x

贝UX=.

【答案】1

【分析】根据给定的新定义，可得x☆(x+l)=工+」7,进一步可得工+二7=；,解分式方程即可

xx+1xx+l2x

【详解】解：根据给定的定义，

得工☆(%4-1)=-+二，

Xx+l

xx+l2x

去分母，得：2(%+1)+2%=3(%+1),

解得x=1,

经检验，x=l是原方程的根，

故答案为：1.

【点睛】本题考查了解分式方程和新定义的综合，理解新定义并熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.

4.(2022•山东烟台•期中)在有理数的原有运算法则中，补充新的运算法则"*"如下：当a2b时，。*8=反；

当a<b时，a*b=a.则当久=3时，(3*久>(-x)—(2*x)=.

【答案】-29

【分析】根据题意，当aNb时，a*b=b2；当时，a*b=a,当x=3时=—

2*x=2,由此即可求解.

【详解】解：当％=3时，3*X=3*3=32=9,9x(—x)=9x(—3)=-27,2*%=2*3=2

(3*%)•(一比)一(2*©=9x(—3)—2=—29,

故答案为：-29.

【点睛】本题主要考查有理数的定义新运算，掌握有理数的加法、减法、乘法运算法则是解题的关键.

5.(2022•山东•商河县第三实验学校八年级期中)规定以下两种变换：如f(2,1)=(-

2,1)；②g(m,n)=(一以—m),如g(2,l)=(-1,-2),按照以上变换有:f。(3,4)]=/(—4,—3)=(4,-3),

那么见/(-2,3)]等于.

【答案】(-3,-2)

【分析】直接利用新定义分别化简，进而得出答案.

【详解】解：g[f(-2,3)]=g(2,3)=(-3,-2)

故答案为：(-3,-2)

【点睛】此题考查新定义的运用，仔细阅读题干，理解材料的含义是解题的关键.

6.(2022・江苏无锡•七年级期中)定义一种新运算：%y=x+y-xy,则计算(一3)'2=.

【答案】5

【分析】根据新运算的定义代入直接计算即可.

【详解】解：y-x+y-xy,

(-3)'2=-3+2—(—3)x2=-3+2+6=5,

故答案为：5

【点睛】本题考查了新运算和有理数的混合运算，理解新运算的定义是解题的关键.

7.(2022•安徽•宣城十二中七年级期中)对于实数a、b,定义运算：a△b=[；如：2“3=

[a-b(a<b,aW0)

2-3=!,4-2=42=16.照此定义的运算方式计算[2仅一4)]*[(—4乃(-2)]=.

O

【答案】1

【分析】由题中规定的运算规则，分别计算出2c(-4),(—4)、(一2)即可.

【详解】解：根据题意得：2-(—4)=2-4=1，(-4)"(—2)=(―守=16,

16

则⑵(-4)]x[(-4)*(-2)]=^x16=1.

故答案为：L

【点睛】本题是新运算问题，考查了有理数的混合运算，负整数指数哥，理解题中定义的新运算规则是关

键.

8.(2022・贵州六盘水•七年级期末)规定一种新运算法则：a&(=a?一2ab-水例如:302=32-2x3x

2—2=-5.

(1)求—2笆的值；

(2)若50%=—5—x,求x的值.

【答案】⑴5

(2)x=3.

【分析】(1)利用已知的新定义计算即可；

(2)利用新定义计算出5<8)x=25-lOx-x,再利用等式的性质得出25-2X5K—%=-5—X,即可求

解.

【详解】(1)解：-201

11

=(-2)2-2x(-2)x---

41

=4+——7T

33

=4+1

=5

(2)解：50%=-5—%

25—2xSx—x=-5—x

25—1lx=-5-x

—11%+、=-25—5

-10%=-30

x=3.

【点睛】本题主要考查了新定义运算，以及有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，利用已知的新的

运算法则进行计算.

9.(2022•江西景德镇,八年级期中)定义：如果两个无理数的乘积等于一个有理数，即a-b=c,则称。和

b是关于c的共轨数例：V2-V8=4,则称鱼和我是关于4的共轨数.

(1)已知旧和b是关于6的共粗数，则6=.

(2)若(2-遮)和(6+小次)是关于3的共朝数，求m的值.

【答案］⑴

(2)3

【分析】⑴根据定义，得到疡/)=6,计算即可.

(2)根据定义，得到(6+?m⑶(2-8)=3,展开化简计算即可.

【详解】（1）因为旧和b是关于6的共甄数,

所以百b=6,

所以匕=*=28，

故答案为：2次.

（2）因为（2-百）和（6+小百）是关于3的共辗数，

所以（6+mV3）（2-V3）=3,

所以12-6V3+2mV3-3m=3,

所以（2百-3）m=6V3—9=3（2遮-3）,

解得m-3.

【点睛】本题考查了新定义计算，正确理解新定义是解题的关键.

10.（2022•河北石家庄•九年级期中）定义新运算“X：对于任意实数a,b,都有a的=（a+2b）（a-2b）+3,

其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算.

如，2。3=（2+2x3）（2-2x3）+3=8x（-4）+3=-29.

据此，解答下列问题：

（1）lnl=;

（2）方程xnl=0的解为;

（3）若关于x的方程=2-k有一个解为久=1,则k的值为.

【答案】0x=±12

【分析】（1）根据题目定义运算法则进行代入计算；

（2）由题意构造一元一次方程并求解；

（3）根据定义和方程解的定义代入计算.

【详解】解：（1）lnl=（1+2X1）（1-2X1）+3-3x（-1）+3=-3+3-0,

故答案为：0；

（2）由题意得方程（X+2X1）（%-2X1）+3=0,

整理得%2-4+3=0,

解得X=1或X=-1,

故答案为：刀=1或％=-1;

（3）由题意得方程（1+2x）（1一2x）+3=2-k,

将x=1代入得（1+2x1）（1一2x1）+3=2-k,

解得k=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了实数运算和解一元二次方程及新定义问题的解决能力，解题的关键是能准确理解并运

用以上知识进行列式、代入并求解.

11.(2022•江苏徐州•七年级期中)［概念学习］

规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2+2+2.(—3)+(-3)+(-3)+

(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2+2+2记作2③，读作"2的圈3次方"，(-3)+(-3)+(-3)+

(一3)记作(一3)④，读作"-3的圈4次方"，一般地，

把a十a十a十a(a*0)记作a0,读作"a的圈"次方

几个a

［初步探究］

(1)直接写出计算结果：2③=,

(2)关于除方，下列说法错误的是

A.任何非零数的圈2次方都等于1；

B.对于任何正整数n,1的圈。次方都等于1；

C.3④=4③；

D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数.

［深入思考］我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除

方运算如何转化为乘方运算呢？

(1)试一试：仿照图中的算式，将下列运算结果直接写成幕的形式.

小、r-i_i_ir~

除万一>2④=2+2+2+2=2x,x,><m=(5)2乘方幕的形式

(―3庐=一；②⑥:一；(后)⑩:一

(2)想一想：将一个非零有理数。的圈”次方写成幕的形式等于;

(3)算一算：］22+(_g④x(_2)⑥_(_m⑥+33.

【答案】［初步探究］⑴|(2)C［深入思考］(1)54,28(2)备(3)—2

【分析】［初步探究］

(1)根据新定义计算；

(2)根据新定义可判断C符合题意；

［深入思考］

（1）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算；

（2）利用新定义求解；

（3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算.

【详解】［初步探究］

⑴2③=2+2+2=）

故答案为：|;

（2）任何非零数的圈2次方都等于1,故A正确，不符合题意；

对于任何正整数n,1的圈。次方都等于1,故B正确，不符合题意；

3④=3-3:3+3=>4③=4+4+4=：，故C错误，符合题意；

负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故。正确，不符合题意；

故答案为：C；

并深入思考］

⑴（一3）⑤a㈠⑩=2%

故答案为：;54；28；

（2）a@=/；

（3）122+（一§x（—2）⑥一（一乡⑥一33

=144+（—3）2x^-（-37+33

=144X"13

=1-3

=-2

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，涉及新定义，解决本题的关键是对相应的运算法则的掌握与运

用.

题型4：与实数运算相关的规律探究

典例：（2022•山东•烟台市福山区教学研究中心八年级期中）观察下列等式：均=ll+^+i=|=1+

y/2"21x2

⑴请写出第一个等式:xn=

⑵根据以上规律，计算第1+冷+%3+…+%2020-2021=

⑴解：根据规律可知,

故答案为:1+；

九（71+1）

(2)%1+%2+%3----1"%2020—2021

2020x2021

111

=2020+1

2020~2021

1

2020+1---r-2021

2021

故答案为：一盛•

巩固练习

1.（2022•浙江•杭州市清河实验学校七年级期中）观察下列等式：71=7,72=49,73=343,74=2401,75=

16807,76=117649,•••,试利用上述规律判断算式7+72+73+---+72。2。结果的末位数字是（）

【答案】A

【分析】先根据给出的已知条件得到尾数以7,9,3,1四次循环，再得到2020+4=505,结合每组尾数的和,

从未可得答案.

【详解】解：V71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,•••

.••尾数以7,9,3,1四次循环，

而2020+4=505,7+9+3+1=20,

23

：.7+7+7+•­•+72。20的末位数字为0）

故选A.

【点睛】本题考查的是数字的规律探究，总结出尾数以7,9,31四次循环是解本题的关键.

2.（2022•福建宁德•八年级期中）有一列数按如下规律排列：-gg第，-普，客…则第10个数是

2441664

A一包B包C-豆D叵

91010

292j22

【答案】D

【分析】将这列数据改写成：-多g-1，器，-察，服..，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分

248163264

子，三确定分母即可.

【详解】解:-V-T--P鸟一普，3••可写出：

Z44Io64

V2V3V4V5V6V7

~f4*W16，32，64"

.•.第10个数为需，

故选：D.

【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律.

3.(2022・江苏•七年级专题练习)各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a,b的值分别

【答案】C

【分析】分析前三个图形，有：右上=左上+3,左下=左上+4,右下=右上X右下+1,由此即可求出a、b、c

【详解】由前三个图形，有：右上=左上+3,左下=左上+4,右下=右上X右下+1,

.•“=6+3=9

•••a=6+4=10

・•・b=ac+1=10x9+1=91

故选：c

【点睛】本题考查规律中的数字变换，分析前面的图形，得出：右上=左上+3,左下=左上+4,右下=右上X

右下+1,找出给定的数之间的关系时解题关键.

4.(2022•山东潍坊・七年级期中)观察下列各式：—1X、=—1+)—X=——X=—+pi,■

ZZZ3Z3j434

试运用你发现的规律计算：

++----1-(———x^—)+(———X-J—)=.

12yv237k34712020202171202120227----------

【答案】一IS

【分析】通过观察所给的等式，将所求的式子变形为一1+3-1+1-1+5+…一募+六一募+六，

再计算即可.

【详解】解：(-lxi)+(-ixi)+(-ixi)+-••+(--X—)+(--X—)

、2yk23yv34y、202020217k202120227

111111111

=_1_|_____________I____________I______LII

223341"2020202120212022

1

=—1-I------------

2022

_2021

一2022’

故答案为：一卷.

【点睛】本题考查数字的变化规律，解题的关键是通过观察所给的等式，探索出运算的一般规律，并能灵

活应用该规律进行计算.

5.(2022•辽宁鞍山•七年级期中)观察下列各式：(1)71x2x3x4+1=5；(2)62x3x4x5+1=11；

(3)73x4x5x6+1=19；根据上述规律，贝1JV11义12x13x14+1=.

【答案】155

【分析】根据前面几个算式的值，探究总结出规律，再计算Jllx12x13义14+1的值.

【详解】解：因为X2X3X4+l=5=1x4+l,

V2X3X4X5+1=11=2x5+1,

V3X4X5X6+1=19=3X6+1,

VilX12X13X14+1=11x14+1=155.

故答案为：155.

【点睛】本题主要考查了实数的运算，解决问题的关键是根据已知算式探究规律，运用探究总结的规律解

答.

6.(2022•吉林・长春市实验中学七年级期末)a是不为1的有理数，我们把名称为a的差倒数.如：2的差

倒数是2=-1，1的差倒数是一不=3已知的=-3a2是的的差倒数，是的差倒数，是的差

的倒数，…，依此类推，。2。1。的差倒数。2。11=.

【答案】V

【分析】根据题目中的数据，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到020〃

的值.

【详解】解：由题意可得，

1

al二一百，

13

。2=书="

1A

=「=4,

1-4

11

。4=口=-…，

由上可得，这列数依次以4循环出现，

•.3=670…1,

3

._1

,,a2011――百，

故答案为：-

【点睛】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出相应

项的值.

7.(2022・山东•广饶县乐安街道乐安中学期末)2X(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1的个位数字为

【答案】1

【分析】将2写成31,再采用平方差公式逐级计算，最终原式为36。再根据3的整数次塞的个位数字每4

个数字为一个循环组依次循环，即可求解.

【详解】解：原式=(31乂3+1乂32+1)(34+1乂38+1)(316+1)(332+1)+1

=(321)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1

=(341)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1

=(381)(38+1)(316+1)(332+1)+1

=(3161)(316+1)(332+1)+1

=(3321)(332+1)+1

=36气+1

=36，

：3i=3,32=9,33=27,24=81,25=243,

••.3的整数次累的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，

64=16x4,

364的个位数字与34的个位数字相同，为1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了平方差公式以及实数的运算等知识，将原式变为364是解答本题的关键.

8.(2022•山东济南•期中)已知：

22

13=1=lxIX2；

4

13+23=9=^x22x32；

4

l3+23+33=36=ix32x42；

4

I3+23+33+43=100=ix42x52...

4

⑴猜想填空：I3+23+33+■■■+(n—I)3+n3=.

(2)计算：

①I3+23+33+•••+1003；

②23+43+63+•••+983+1003.

【答案】(*xMx5+1)2

⑵①25502500；@13005000

【分析】(1)从等式的序号数与平方塞底数之间的关系上去探索规律，计算即可.

(2)①根据13+23+33+…+10()3=[x1002X1012计算即可.+43+63+-+983+

1003=I3X23+23x23+23x33+23x43+...+23X503=23X(I3+23+33+43+...+50,根据规

律计算即可.

【详解】(1)因为V=l=ixl2x22=-xl2x(l+I)2;

44

13+23=9=；x22x(3)2=ix22x(2+I)2；

I3+23+33=36=ix32x42=x32x(3+I)2；

I3+23+33+43=100=|x42x52=1x42x(4+I)2...

所以1?+23+33+•••+(n-I)3+n3=xn2X(n+l)2,

故答案为：ixn2x(n+I)2.

(2)①根据规律，得13+23+33+…+1003=3X1002X1012=25502500.

②因为23+43+63+…+983+1003=I3X23+23X23+23x33+23x43+...+23x503

=23X(I3+23+33+43+...+503),

根据规律计算得：23+43+63+•­•+983+1003=23x(I3+23+33+43+...+503)

=8xix502x512=13005000.

4

【点睛】本题考查了等式型数字规律探索，熟练掌握等式序号与平方幕底数之间的关系探索是解题的关键.

9.(2022•福建宁德•八年级期中)细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：

OAj=(V1)2+1=2,Si=?(Si是RtaA遇2。的面积);

2万

OAj=(V2)+1=3,S2=/⑸是以△4力3。的面积);

2/n

OA^=(V3)+1=4,S3(S3是及△出44。的面积);

⑴请你直接写出。4102=,Sio=;

(2)请用含有n5为正整数)的式子填空：。然=,Sn=；

⑶在线段。为、。42、。&、…、。42022中，长度为正整数的线段共有条.

⑷我们已经知道(VH+3)(同-3)=4,因此将^分子、分母同时乘以(旧+3),分母就变成了4,

请仿照这种方法求仁+++…+｝三的值；

31+32>+XX+MJ99+JlOO

【答案】(1)10,当

(2)n,日

(3)44

(4)18

【分析】(1)认真阅读新定义，根据已知写出答案即可；

(2)认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可；

(3)通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数.分析2022最

接近哪个正整数的平方.

(4)化简整理后求值即可.

【详解】⑴解：由题意可得，。&02=(何2+]=i0,Sio=半，

故答案为：10,当

2

(2)由题意可得。维=(Vn-1)+1=n,Sn=y,

故答案为：n,当

(3)解：线段。①、。42、。力3、…、。4022的长分别是VI、企、再、四、…、V2022.

长度为正整数的数字分别是1、2、3、4、5.........a,

V442=1936,452=2025,

a—44,

2022

・・・线段。&、。&、OA3、…、。/中，长度为正整数的线段共有44条.

故答案为：44.

(Z4.X)---1-----1.-----1----1.-----1----.1-…H.------1-----

S1+S2S2+S3S3+S4S99+S100

1111

=-------------1--------------1--------------F......H--------------；-----

ViV2V2V3VsV4V99V100

-----1--------------1--------------1------------1---------

22222222

2222

=-------------1--------------1--------------F.....4-------------；-----

V1+V2V2+V3V3+V4V