中考数学专项复习训练：锐角三角函数（原卷版+解析）

中考数学一轮复习资料五合一

《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》

（全国通用版）

第23年锐角三龟茂照

:锐角三角函数的定义

1、锐角三角函数的定义

在RtZ\Z6。中，4。=90°,AB=c、BC=a,AC=b,

NA的对边a〜JZA的邻边bNA的对边a

正弦：sin/=—；余弦:cos/l=；正切:tan/l=

斜边b

根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助

线来构造直角三角形.

:特殊角的三角函数值

asinacosatana

£

30°旦此

223

V2

45°也1

22

j_

60°同73

22

:解直角三角形

L在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知

元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.

2.解直角三角形的常用关系：在Rt^/l6C中，乙。=90。，则：

1）三边关系：3+//二。2；2）两锐角关系：4/8二90。；3）边与角关系：sin/二cos8=@,cosA=s\r\B-

c

b。\22

—,tan/l=—；4）sin/l+cosA=1.

cb

3）科学选择解直角三角形的方法口诀：

已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；

已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；

已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.

核4:解直角三角形的应用：

L.仰角和俯角

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角.

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角.

2..坡度和坡角

h

坡度：坡面的铅直高度力和水平宽度/的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作/=].

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a/=tana.坡度越大，cr角越大，坡面越陡.

3.方向角（或方位角）

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角叫做方向角.

4.解直角三角形实际应用的一般步骤

（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题;

（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解.

三角函数不仅是非常重要的一块内容，更是一种重要的解题方法，主要题型有三大种，其一是求某

个角的某个三角函数；其二是利用三角函数求线段长；其三是三角函数的应用。

81•求某角的三角函数

1.如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为L每个小正方形的顶点称为格点，AABC的

顶点均在格点上，则sin44c的值是（）.

萼

A/B.C.—D.-

52

倒【分析】延长AC到点。，连接3D,

由网格可得人疗+或）？=钻2即//位汨=90。，即可求出答案.

【详解】解：延长AC到点。，连接8Z）,如图：

D

•/AD2=20,BD2=5,AB2=25

AD2+BD2=AB2

.\ZADB=90°,

sin/BAC=^=6,

AB5

故选A.

【反思】本题考查网格中的锐角三角函数、解题的关键是作辅助线，构造直角三角形.

2.如图，在正方形网格中，AABC的顶点均在格点上，贝IJtanA的值为（）

I一——44'———1-1——

kO_y__J

'B

A.亚B.亚CTD.l

31043

【分析】根据正切函数的定义，即在直角三角形中,一个角的正切值等于这个角的对边与邻边的比

值，即可求解.

【详解】解：由图可知：tanA=“

故选：C.

【反思】本题考查了正切函数的定义，熟练掌握和运用正切函数的定义是解决本题的关键.

2——利用三角函数求线段长度

4

3.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AS=10,cosB=~,则8C的长为（）

A-

«【分析】在Rt^ABC中，COSB=4^=7'又由钻=10，代入可求得8C.

徵AB5

【详解】解：在Rt^ABC中，

cosB==—,AB=10,

AB5

BC=8,

故选：A.

【反思】此题主要考查锐角三角函数在直角三角形中的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定

义.

•特殊角的三角函数

4.在△ABC中，若sinA=匹，tanB=^-＞则这个三角形一定是（）.

23

A.锐角三角形B.等腰三角形C,钝角三角形D.直角三角形

【答案】C

【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断.

【详解】解：..飞皿人二吏^tanB=,

23

ZA=45°,4=30。，

ooo

ZA=45°,ZB=30°,ZC=180°-ZA-ZB=180-45-30=105°）

△ABC是钝角三角形，

故选：C.

【反思】本题考查特殊角三角函数值，三角形分类，三角形内角和定理，熟练掌握根据特殊角三角函数

值求角度是解题的关键.

2

5.若AABC中，锐角A、8满足|sinA-，|+(cosB-^-

I=0,贝LABC是(

A.钝角三角形B,直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

窗【分析】根据非负数的性质求出，A和N3的度数，即可判断的形状.

【详解】解：；|sinA-42

|+]cosB-；I=0,

sinA-=0,且cos8—=0,

22

ZA=60°,/3=60°,

"=60°,

44BC为等边三角形,

故选：D.

【反思】本题考查了特殊角的三角函数值、三角形的分类、等边三角形的判定，解答本题的关键是掌握

几个特殊角的三角函数值.

4——三角函数与函数、几何的综合

6.如图，在平面直角坐标系中，菱形A30C的顶点。在坐标原点，边80在x轴的负半轴上,

NBOC=60。，顶点C的坐标为（。,3）,反比例函数y的图像与菱形对角线40交于点D连接3D,

当轴时，左的值是（）

A.-273B.-3A/3C.-4石D.-6A/3

倒【分析】过点0作CEU轴于点E根据点C的坐标,求出m=2G根据菱形性质求出

OB=OC=26,NBOD=gNBOC=30。,解直角三角形求出DB=tan30。=2退x]=2,得出点。

的坐标为：卜2后2),代入函数关系式，即可求出左的值.

【详解】解：过点C作CEJ_x轴于点E,如图所示：

•.・顶点C的坐标为(。,3),

OE=—a,CE=3,

.・NBOC=6。。

OC=CE=2百,

cos60°

0•,四边形ABOC为菱形，

OB=OC=2y/3,/BOD=g/BOC=30°,

轴，

•••DB=OBtan30°=2V3x—=2,

3

二点。的坐标为：(-2^,2),

•.­反比例函数y=2的图象与菱形对角线4。交于点D,

X

k=xy=-2百x2=-48,故C正确.

故选：C.

【反思】本题主要考查了解直角三角形，求反比例函数解析式，菱形的性质，解题的关键是作出辅助

线，求出点。卜26,2).

5•三角函数的实际应用

7.长沙市推出新型智慧城市和数字政府建设的工作涉及多个领域，其中智慧校园建设也开展得如火如

茶，规划部门在某学校的办公楼顶部新建了一块大型数字展示屏.如图郡郡同学为测量展示屏的高度

AB,他站在距离办公楼底部E处12米远的地面C处，测得宣传牌的底部8的仰角为53。，同时测得办

公楼窗户。处的仰角为30。（4B、D、E在同一直线上），然后，郡郡沿坡度为1=1:0.75的斜坡从C走

到E处，此时DF正好与地面平行，在/处又测得宜传牌顶部A的仰角为

43

45°.sin53°«—,cos53°®—,tan53°

55

⑴求点尸距离水平地面的高度和它距窗户。的距离；（保留根号）

⑵求数字显示屏AB的高度（结果精确到0.1米，应a1.414,3^1.732）

@【分析】⑴如图所示，过点P作FGLCE交EC延长线于G,则四边形DEGF是矩形，则

FG=DE,FD=GE,解RtZkCDE得到PG=OE=46111,再解Rt^PCG求出CG=36m,则

DF=GE=CG+CE=(3A/3+12)m;

(2)先解在Rt&EBC中，得到3E=16m,贝再解RtZkAF。，得至1JAD，17.2m,则

AB=AD-BD=8.1m.

【详解】(1)解：如图所示，过点尸作PGLCE交EC延长线于G则四边形OEGP是矩形，

FG=DE,FD=GE,

在RtZkCDE中，ZCED=90°,ZDCE=30°,CE=12m,

•••DE=CE-tanZDCE=46m,

•••FG=DE=4后m,

・•・斜坡CP的坡度为，=1:0.75,

,FG_1

"~CG~0J5'

•••CG=3A/3HI,

DF^GE=CG+CE-(373+12)m,

，点厂距离水平地面的高度为46m,它距窗户。的距离为（3』+12）m;

(2)解：在RMEBC中，ZBEC=90°,ZBCE=53°

4

BE=CE-tanZBCE«12x—=16m,

3

•••BD=BE-DE=16-4A/3®9.Im,

在RtzXA/。中，NAD尸=90°,ZAFD=45°,

•••AD=DF-tanZAFD=3^+12»17.2m,

*'-AB=AD—BD=8.1m,

,数字显示屏A3的高度为&lm.

【反思】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角

形是解题的关键.

——从不同角度思考问题，你会有不同收获

在学习数学，做数学题的过程中，我们对待一个问题或者说一个几何问题或代数问题，可以从不同

角度出发，从不同角度思考问题，收获会更多，比如，平面几何问题中，经常会遇到计算线段长度的问

题，我们可以从四个不同角度处理和思考这个问题，其一，我们从勾股定理方面想，可以构造直角三角

形解决；其二，我们从相似三角形的角度出发，可以构造相似三角形解决；其三，我们也可以利用三角

函数解决；其四，有时我们利用等积法来处理计算线段长度问题很简单的，从不同角度出发，收获会更

大。

秘籍十五：从不同角度思考问题，你会有不同收获

一、选择题

1.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,。在格点上，以为直径的圆过C,。两点，则

sin/3C。的值为（）

2.如图，在2x2正方形网格（小正方形的边长均为1）中，AA5c的顶点均在格点上，贝1JsinNC4B=

（）

A.|GB.|C.萼D*

3.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，AABC的三个顶点均在格点上，贝1JsinA的值为（）

4.如图，在网格中，点A,B,C都在格点上，则NC4B的正弦值是（）

A.—B.-C.—D.2

525

5.如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，过A、B、E三点的圆交BC于点。，则

ZAED的正切值是（）

6.如图，在AABC中，tan3=l,sinC=1,AB=旧则边BC的长为（）

A.273-1B.73+1C.72+1D.2直-1

7.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=60°,BC=石，将A/RC绕点B旋转到△AAC的位置，此

时C,B,4在同一直线上，则点A经过的最短路径长为（）

.-------D.--------------=.--------------L/.-------

6633

8.如图，OC平分/AQB,且NAO3=60。，点P为OC上任意一点，尸河，Q4于A/,PD//OA,交OB

于。，若OAf=3,则尸。的长为（）

A.2B.1.5C.3D.2.5

9.如图，在"LBC中，Zfi4c=60。，ZABC=90°,直线4〃乙〃4,4与4之间距离是L6与4之间距

离是2,且hL4分别经过点AB,C,则边AC的长为（）

A.26B.而C.岸口・雪

10.如图，A3为。。的直径，AB=10cm,C、。为。。上两点，若/3CD=60。，则的长为（）

A.5cmB.5-V3cmC.-cmD.-s/3cm

22

_3

11.如下图所示，在矩形A3CO中，DE1AC于点E,设NADE=a,且cosa=g,AB=4,则"）的

长为（）

12.如图，在平面直角坐标系中，等边AaLB的边06在x轴正半轴上，点A（3,m）,m>0,点D、E分

别从8、。以相同的速度向。、A运动，连接AD、BE,交点为F,M是>轴上一点，则成f的最小值

是（）

13.如图，尸为等边AABC外的一个动点（P点与A点分别在8c所在直线的不同侧），且4AP8=60。,

AB=1,则P8+PC的最大值为（）

14.如图，在MAABC中，=90°,cosA=g,点。是48边的中点，以CD为底边在其右侧作等

DF

腰三角形CDE,使acr比二44则=的值为（）

4

15.如图，在RtzXABC中，延长斜边到点D使AB=2BD,连接。C,若tanA=§,贝han/DCB的

值为（）

A

B

A.-B.且C.-D.立

3344

16.如图，一次函数，=6+方的图象与x轴交于点A（4,0）,与y轴交于点B,与反比例函数y=:（x>0）

的图象交于点C,。.若tan/BAO=2,BC=3AC,则点。的坐标为（）

A.（2,3）B.（6,1）C.（1,6）D.（1,5）

17.在AABC中，（石tanA-3）2+|2COSB一百卜0,贝IJAABC为（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.含60。的任意三角形D.是底角为30。的等腰三角形

18.在AABC中，ZA,乙B都是锐角，且sinA=；,cosB--,则AABC是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定

二、填空题

19.如图，在中，ZC4B=90°,以点8为圆心、8C为半径作弧交射线胡于点D若BC=4,

4

S扇BCD=§乃,贝UsinB的值为

20.如图，在网格中小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则—ABC的正切值是

21.如图，等腰AABC内接于。。，已知钻=AC,ZABC=30°,3£）是。。的直径，如果。。=：石，则

AD=.

22.如图，C。是△ABC的角平分线，过点。分别作AC8C的平行线，交BC于点E,交AC于点

尸.若乙AC8=60°,CD=48,则四边形CELS'的周长是

将“WE沿AE折叠后点B的对应点落在对角线AC上的

3

4则班的长是一

24.如图，AABC的顶点在正方形网格的格点上，贝1JtanNABC的值为

25.如图，点E,F,G,〃分别位于正方形ABCD的四条边上（AE<AH）,四边形EFG”也是正方

形，连接AC交于点M,设NAHE=e,若AfC=4A〃，则tana的值为

三、解答题

26.某风景区，风轩亭8在翠微阁A的正南方向，两个景点被一座小山阻隔，计划在A、8之间修建一条

直通景观隧道（如图）.为测量A、8两点之间距离，在一条东西方向的公路/上选择产、。两点分别观测

A、B,已知点A在点尸的北偏东45。方向上，点B在点。的北偏东30。方向上，8。=1200米，

尸。=2000米，试求A、8两点之间的距离.（精确到1米，其中友=1.41,豆=1.73）

27.如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由QN位置运动到

底面。垂直的加位置时的示意图，已知AC=0.8米，BD=0.2米，a=30°（参考数据：有“73,

V2«1.41)

图1图2

⑴求A3的长；

⑵若QV=0.7米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）.

28.某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，A3长6米，长

2米，点。距地面为0.4米.道闸打开的过程中，边AO固定，连杆。分别绕点A,。转动，且边

3C始终与边AD平行.如图②，当道闸打开至/ADC=60。时，边8上一点P到地面的距离PE为2.4

米，求点P到MN的距离PF的长；

3I“I/

DIIIIlc

图①图②

29.在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰位于B市的南

偏东25。方向上的A处，且在C岛的北偏东58。方向上，8市在C岛的北偏东28。方向上，且距离C岛

312km,此时，我方军舰沿着AC方向以30b”/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C

l434

岛？（参考数据：75^1.73,sin53°«—,cos53°«-,tan53°«—）

30.某广场举行无人机表演，如图，点，E处各有一架无人机，它们在同一水平线上，与地面A3的距

离为60m.此时，点E到点A处的俯角为60。，点E到点C处的俯角为30。，点。到点C处的俯角为

45°,点A到点C处的仰角为30。.点A,民COE均在同一平面内，求两架无人机之间的距离。E的

长.（结果保留根号）

□口

口

目

昌

AB

一、选择题

1.如图，在RtZiACB中，ZC=90°,。是AC的中点，AC=8,tanZC4B=-,贝IJsin/DBA等于

2

2.如图，点A,B,C都在正方形网格的格点上，则sin/BAC的值是（）

B

A.正B.1C.-D.近

222

3.如图，若将“103绕点。按顺时针方向旋转50。后，得到△A'C®,且A4'=6,则。4的长为（）.

33

A.3sin25°B.3cos25°C.------D.------

sin25°cos25°

4.如图，中，AB=AC=1Q,BE_LAC于点E,BE=2AE,。是线段班上的一个动点，则

+的最小值是（）

5

A.26B.46C.575D.10

5.如图，点P（12,a）在反比例函数、=一（无＞0）的图象上，轴于点H贝hosNOPH的值为（）

o\HX

1205八12「

AA.—B.—C.—D

13135

6.如图，AABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cosNACB等于（

To-

_3

7.如下图所示，在矩形A3co中，DE1工AC于点E,设NADE=c,且cosa=w，AB=4,则AD的长

为（）

8.如图，A3是半圆的直径，/ABC的平分线分别交弦AC和半圆于E和。，若BE=2DE、AB=4,

则AE长为（）

B-72+1C.娓

9.如图，点4是反比例函数y=-l图像上一动点，连接A。并延长交图像另一支于点8.又C为第一象

4

限内的点，且AC=3C,当点A运动时，点。始终在函数y=—的图像上运动.则乙CA3的正切值为

y

A.2B.4C.—D.上

52

10.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,。都在格点上，以AB为直径的圆经过点

N2A/13

CL/.----------------

T13

11.如图，在AABC中，ZC=90°AC=8cm,A5的垂直平分线MN交AC于。，连接50,若

A.6cmB.5cmC.4cmD.2限m

12.如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=5点。是AC上一点，连接.若tanNA=g,

tanZABD=1,则C£）的长为（）

D

AB

A.275B.3C.V5D.2

二、解答题

计算后-4sin30°-(J+(2023+6.12)°

13.

2020

14.计算：(-l)+^8-Q^+V2sin45°

15.计算：-(^-3.14)°+|l-V2|-2sin45o

16.计算：(万-1)°-囱+应《«45。+1)

17.计算：(-1)2023-2cos300+11-731+.

18.计算：2一1+|指一3|+2/sin45。.

19.计算：花一2sin30。-卜-行|++(A/3-1)°,

20.计算：(一J-173-2|+3tan30°-6^|+(2023-

21.图1是某简易座椅，图2是其侧面示意图，固定点。为椅腿A3和。的中点，靠背E尸的一端固定

在A0上的点E处，将班'绕点E顺时针旋转180。后与EB重合，此时靠背收拢.已知AB=CD=40cm,

AE,=10cm,ZAOC=74°.

图1

⑴求坐垫AC的长.

（2）在收拢靠背的过程中，求点尸到点C距离的最小值.（结果精确到1cm；参考数据：

sin37°=cos53°~0.6,sin53°=cos37°~0.8,tan37°®0.75,tan53°~1.33,^/97«9.85)

22.某居民楼紧挨一座山坡A3,经过地质人员勘测，当坡度不超过45。时，可以确保山体不滑坡，如图

所示，已知AE/BD、斜坡AB的坡角NASD=60。，为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡

5c与地面应＞成45。角,AC=20米.求斜坡5c的长是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：

V2«1.41,6a1.73)

23.如图，海面上有A,8两个小岛，A在8的正东方向.有一艘渔船在点尸处，从A处测得渔船在北偏

西60。的方向，从2处测得渔船在其东北方向，且测得尻尸两点之间的距离为30海里.

⑴求小岛A,8之间的距离（结果保留根号）；

⑵渔船在尸处发生故障，在原地等待救援.一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发先沿正西方向

前往B点去取修理的材料（取材料的时间忽略不计）,再沿射线斯方向以相同的速度前往P点进行救

援.救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线CP方向前往尸

点，已知AP,C三点在同一直线上，从8测得C在B的北偏西15。方向.请通过计算说明救援船能否

在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点.（参考数据：点a1.41,A/3»1.73,76»2.45）

24.应天门是隋唐洛阳城中轴建筑群上著名的“七天建筑”之一，是古代举行重大国事庆典与外交活动

的重要场所.

问题提出：如何测量应天门东阙楼的高度？

方案设计：如图，某数学课题研究小组通过调查研究和实地测量，他们在B处测得东阙楼楼顶A的仰角

为41。，沿8C向前走了20m至点C处（8,C,D三点在同一水平线上），测得东阙楼楼顶A的仰角为60。.

问题解决：根据上述方案和数据，求应天门东阙楼AQ的高度.（结果精确到1m,参考数据：

sin41°®0.66,cos41°®0.75,tan41°a0.87,73»1.73）

25.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的

标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照

射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天

定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC,已知该市冬至正

午太阳高度角（即NABC）为37。，夏至正午太阳高度角（即ZADC）为84。，圭面上冬至线与夏至线

3

之间的距离（即。3的长）为4米.求表AC的长（最后结果精确到0.1米）.（参考数据：sin37°»-,

cos37°,tan37°®,tan84°q—)

542

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第沙年锐角三龟笛剧

敦殂特制律解

一、选择题

1.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,。在格点上，以A2为直径的圆过C,

。两点，则sin/3CD的值为（）

~~A

【答案】A

【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得N3CD=N3A。，根据直径所对的圆周角为90度

可得ABDA=90°,因此解RUBDA求出sin/BAD即可.

【详解】解：连接A£＞、BD

•••/BCD,ZBAD都是BD所对的圆周角,

ZBCD=ZBAD,

A3为直径，

NBZM=90。，

由图可知30=3,AD=4,

AB^JAD2+BD2=5.

7?力3

sinZBAD=——二一

AB5

3

/.sinZBCD=sinZBAD=-

5

故选A.

【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数等，利用同弧所对的圆周角相等

得出ZBCD=ZBAD是解题的关键.

2.如图，在2x2正方形网格（小正方形的边长均为1）中,AABC的顶点均在格点上，则

sinZCAB=(

A/。・半D/

【答案】B

【分析】如图，作CD，AB于点D,根据题意有求出AC、AB,接着因为有

4ABeS正方物M/G—S即-S^CG—与SVABC=]XABxCD,联合求解即可求出CD,

CD

最后根据sin/。”就即可求出答案.

【详解】如图，作CDLAB于点D,

根据题意有,

AC=AB=V22+12=\/5,

..c_c_c_c_c

,4ABe—正方形&ABNt^ACG&BCN'

即S=2x2--x2xl-lx2xl--xlxl,

aABC222

.C,3

…一

SvABC=/xABxCD,

-X45XCD=-

22

，ZZ-ADCD53.

si•nACAB=——==-

ACy/55

故答案为：B.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、三角形的面积公式以及勾股定理的应用，牢记

以上知识点是解题的关键.

3.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，AABC的三个顶点均在格点上，贝IJsinH

的值为（）

【答案】D

【分析】由三角函数定义即可得出答案.

【详解】如图所示：

由图可得：AD=3,CD=4,

由勾股定理得AC=^AD2+CD2=5，

,“4

sinA=—.

5

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形.构造直角三角形是解答本题的关键.

4.如图，在网格中，点A,B,C都在格点上，则/C钻的正弦值是（）

A.立B.1C.述D.2

525

【答案】A

【分析】取格点。，连接8,证明AACD是直角三角形，且/ADC=90。，进而即可求

解.

【详解】解：如图所示，取格点D,连接C。，

•••AC2=12+32=10,CD2=12+12=2,A£>2=22+22=8

•••AD2+CD2=AC2,

・•.△ACD是直角三角形，且/ADC=90。

CD=y/2,AC=Vio,

CDV2

sinZCAB^—_45

ACA/10-5

故选：A.

【点睛】本题考查了求正弦，勾股定理与网格问题，掌握正弦的定义是解题的关键.

5.如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，过A、B、E三点的圆交

BC于点。，则上4ED的正切值是（）

A.1B.2C.好D.亚

225

【答案】A

【分析】根据切线的性质得到NC4B=90。，再根据等角的正切相等即可求得的正

切值.

【详解】解：；根据题意可知：OA=OB=OE,

二.AC与。。相切，

NC4B=90°,

..在放△ABC中，tanZABC=——,

AB

vAB=1,AC=2,

…巾AC1

••tanN_A5c--—

AB2

vZAED=ZABC

tanZAED=—,

2

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角的性质，正切值的定义，利用圆周角的性质进行

等量转换是解题的关键.

6.如图，在AABC中，tanB=l,sinC=1,AB=42,则边8C的长为（）

A

B

A.273-1B,73+1C.72+1D.2A/2-1

【答案】B

【分析】过点A作AD13C于点。，根据三角函数值和勾股定理求出AD=m=l,再根

1Ar\CD=]=]=./g

据sinC=5，求出NC=30。，根据tan/C=——求出一tan30。一百一,最后求出

结果即可.

【详解】解：过点A作于点。，如图所示：

AD=BD,

AB=^2,

AD2+BD2^AB2^2,

即2BD2=2,

解得：3£>=1或班>=-1（舍去）,

AD=BD=1,

•••在RtAACD中，sinC=-,

2

•••ZC=30°,

AD

*/tanC=-----

CD

tan30°=—

CD

CD=----------=-产=A/3

'''tan30°6，

BC=BD+CD=l+43,故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特

殊角的三角函数值，求出/C=30°.

7.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=60°,BC=6将AABC绕点8旋转到

的位置，此时C,B,A在同一直线上，则点A经过的最短路径长为（）

A.—B,§扃C.$瓜D.—

6633

【答案】D

【分析】根据三角形的内角和定理和锐角三角函数，得出NABC=30。，AB=2,再根据

旋转的性质，结合角之间的数量关系，得出乙43=150。，再根据弧长公式计算，即可得

出答案.

【详解】解：；在Rt^ABC中，NC=90。，ZA=60。，BC=®,

ZABC=90°-60°=30°,sinZA=—,

ABAB2

AB=2,

又••・将AABC绕点3旋转到与G的位置，此时CB,A在同一直线上，

ZABA,=180°-ZABC=180°-30°=150°,

.,口卜一口\yMn兀丫150x»x25TT

二点A经过的最短路径长为：--=———=—,

1801803

故选：D

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、锐角三角函数、旋转的性质、弧长公式，解本

题的关键在熟练掌握弧长公式.

8.如图，OC平分/A03,且NAO3=60。，点尸为OC上任意一点，于"，

PD//OA,交OB于D,若OM=3,则的长为（）

A.2B.1.5C.3D.2.5

【答案】A

【分析】过点尸作PELOB于点E,根据角平分线的定义可得到/尸。加=30。，再根据平

行线的性质和角平分线的性质得到PE的长度，进而利用特殊角的三角函数值即可得到尸。

的长度.

【详解】解：过点尸作PE，OB于点E,

.OC平分/A03,且ZAO3=60°,

?BOC?AOC-?AOB30?,PE=PM,

2

；PMJ_OA于M,OM=3,

二在放AOMP中，PM=tan30°OM=—X3=A/3,

3

•••PD//OA,

NPr>E=ZAOB=60。，

•••PE=PM=6

；.在R^PED中,PD=—^-=V3-—=2,