湖北省沙市2024-2025学年高三年级上册9月月考数学试题

2024—2025学年度上学期

9月月考数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.集合加=k6叫％2<15},若MDN={H0KX<5},则集合N可以为（）

A.{4}B.1x|4<%<5}C.{x[0<x<5}D.{刈乂<5}

2.若复数z=l—i+i2—i3+...+i2022—i2023+j2024,则忖=（）

A0B.y/2C.1D.2

3.已知忖=2同，若z与石的夹角为60。，则21-5在5上的投影向量为（）

1r1-3-3-

A.—bB.——bC.——bD.—b

2222

4.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求

的车辆，它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车

的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的

容量C、放电时间/和放电电流/之间关系的经验公式：C=/什，其中2为与蓄电池结构有关

的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为

60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h,则该蓄电池的Peukert常数几约为（参考数据：

1g2«0.301,1g3®0.477）（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.15

6.已知函数/0）=0：2+奴+加111%20恒成立，则实数。的最小值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

7.函数/（%）=111料—1|与函数g（x）=sin]x的图象交点个数为（）

A.6B.7C.8D.9

8.斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定

义：设{0“}为斐波拉契数列，q=lM2=l,aa=%+a“_2（，N3,"eN*）,其通项公式为

ifi+M

设«是log2［（l+如『一（1一君）］<x+4的正整数解，贝IJn的最

大值为（）

A.5B.6C.7D.8

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.给出下列命题，其中正确命题为（）

A.已知数据大、%、尤3、…、占0,满足：％-%_］=2（24*10）,若去掉王、士0后组成一组新数

据，则新数据的方差为168

B.随机变量X服从正态分布N（1,4）,P（X>I.5）=0.34,若尸（x<a）=0.34,贝lJa=0.5

66

c.一组数据（4其）«=1,2,3,4,5,6）的线性回归方程为3；=2%+3,若»,=30,则±y=63

1=11=1

D.对于独立性检验，随机变量/的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小

10.如图，棱长为2的正方体A2CD-ABG2中，E为棱的中点，

斤为正方形GCD2内一个动点（包括边界），且用尸//平面ABE,则

下列说法正确的有（）_

A.动点尸轨迹的长度为&

B.8/与不可能垂直

C.三棱锥耳-2Eb体积的最小值为g

D.当三棱锥与-ROF的体积最大时，其外接球的表面积为F兀

11.已知抛物线C:y2=2/（0>0）的焦点为产，准线交x轴于点。，直线/经过/且与C交于

A,B两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在V轴上的射影为点N.若|MN|=|NF|,

贝（）

A./的斜率为6B.△ABD是锐角三角形

C.四边形朋M用的面积是Jip2D.忸斗|网>|FD/

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若“七0«1,4］使片-咻+4〉0”为假命题，则实数〃的取值范围为.

13.在AA5C中，BC=6ZA=-,D为线段AB靠近点A的三等分点，E为线段CD的中

3

点，若丽△品，则乐■/的最大值为.

4

14.将123,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列，记第，项为q«=l,2,…,7),若%=7

%+电+%<%+&+%,则这样的数列共有个.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4sinA-加inBucsinlA-B).

(1)求。的值;

y/3(b2+c~-a2

(2)若△ABC的面积为一-----------,求△ABC周长的取值范围.

4

16.已知正项数列(«„｝的前〃项和为S.,且1+2a-n=25,,.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

b+]

(2)设a=2〃”-1,若数列｛cn｝满足cn=厂1,且数列｛%｝的前"项和为Tn,若

"d2+1

1-Tn<---恒成立,求2的取值范围.

5+2)

17.如图所示，半圆柱。。|与四棱锥A-BCDE拼接而成的组合体中，F是半圆弧BC上(不含

B,C)的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，

OB=2OOl=2,AB=AC=2y/2.

(1)求证：CG±BF；

(2)若。尸//平面ABE,求平面R9D与平面GOD夹角的余弦值；

(3)求点G到直线OD距离的最大值.

18.已知双曲线E的中心为坐标原点，渐近线方程为＞=土芋x,点(-2,1)在双曲线E上.互相垂

直的两条直线//均过点尸(。.，。(4＞应，且直线4交E于A8两点，直线4交

E于C,。两点，M,N分别为弦AB和C。的中点.

(1)求E的方程；

(2)若直线MN交x轴于点2(r„,0)(«eN*),设p“=2".

①求:；

2〃

②记4=|PQ|,2=2〃-l(〃eN)求£及「(-1/卜.

k=\

19.如果函数F(x)的导数为尸(x)=/(x),可记为J/(x)dx=F(x),若/(x)＞0,则

b

「(无)公=尸修)-尸(a)表示曲线y=〃x),直线X=a,x=b以及X轴围成的“曲边梯形”的

a

2

面积.如：J2xdx=d+C,其中C为常数；j2x^=(22+C)-(O+C)=4,则表

0

X=0,X=l,y=2x及X轴围成图形面积为4.

⑴若〃x)=J(e，+l)dx,"0)=2,求〃力的表达式;

(2)求曲线y=/与直线y=r+6所围成图形的面积；

(3)若/(x)=ex-l-2mx,XG[0,+＜X)),其中m^R,对VaZ?G[0,+O?),若〃＞人，都满足

ab

j/(x)dx>j/(^)d.¥,求机的取值范围.

00

1.C

\2024+1.2024.i•

.、JTX(T')=l±i=l

-l-(-i)1+i1+i

3.B

4.D【详解】由题意知C=7.知x60=25*xl5,

所以（Til=［；［=1=4，两边取以10为底的对数，得21gm=21g2,

21g22x0.301

所以彳=®1.15

l-lg31-0.477

5.C【详解】因为cosa¥<孝,所以小黄)，则sina普

所以sin2a=2sinacosa==g,cos=1—2sin」er=1—2x[]=—■!<(),贝(]2a，

因为〃£(。，兀)，所以=+广£[^彳]又0<sin(a+4)=贝(Ja+尸£兀],

所以cos(a+4)=-Jl-sin2(a+夕)=-，故sin(^-B)=sin(2a-(a+£))=sin2acos(a+/?)-cos2asin(a+/3)

=9卜哈卜(用、落一卓因为小(/)，即(。，兀)，所以"作v,g则。-尸=-：

解法二：:sing+mvsing+^IOMCosaM^^,：•兀>B>%>a、：.-/<a-B、故选C

6.B【详解】•//(x)20恒成立，设式的二炉+依+人，则当％>1时g(x)>。，。<工<1时

g(D=0l+a+b=Q=>a=-l-b

g(x)<o,即《ciN—1

为(。)《。’b<Q

7.A【详解】设/(x)=%(x),g(x)=/?2(x),/(x)的定义域为卜|卜卜1},

①当x"时，/(x)=ln||x|-l|>ln3>l>g(x)=sin-^x,此时/(x)的图象与g(x)的图象没有交

点,

②当2cx<4时，/(x)=ln||A-|-l|>lnl=0>g(x)=sin,此时两图象没有交点，

③当x=2时，f(x)=In||x|-1|=In1=0=sin7T=g(x)=sin,此时两图象有一个交点,

④当0<x<2时，/(x)=ln||x|-l|<lnl=0<g(x)=sin^,此时两图象没有交点，

⑤当x=0时，f(x)=In||x|-1|=In1=0=sin0=g(J;)=sinx,此时两图象有•一个交点,

⑥当-l<x<0时，/(x)=ln||x|-l|=ln(x+l),g(x)=singx,设/z(x)=/(%)-g(x)

,,,

A(x)=-二cos/x在(—1,0)上单调递减，/z'(0)=/(0)-1?(0)=l--<0,且x趋于—1

时，”(九)趋于正无穷，，存在/e(—l,0)使得"5)=0,且xe(Xo,O)时"(x)<0,

Mx)在(xo,O)上单调递减，.・・勿>)>〃(0)=0,即/(%)>g(x),

结合以上分析，画出/(久)，9(久)在(-1,0)上的函数图象可知，两图象在(-1,0)上有一个交点，

⑥当-2<x<-1时，由对称性可知，两图象在(-2,-1)上有一个交点，

⑧当x=-2时，f(x)=ln||x|-l|=lnl=0=sin(-it)=g(x)=sin^x,此时两图象有一个交点，

当Y<x<-2时，f(x)=ln||x|-l|=ln(-x-l),g(x)=singx,注意到

/(—3)=1112Vg(—3)=1,

画出f(x),g(x)在(T,-2)上的函数图象可知，两图象在(T,-2)上有一个交点,

⑨当xVT时，/(x)=ln||x|-l|>ln3>l>g(x)=sin^x,此时两图象没有交点；

综上所述，函数〃司=111忖-1|与函数g(x)=sin]x的图象交点个数为6.

8.A【详解】由题知〃是log21(l+0)*一(1一百)[<》+4的正整数解，

+4

故log2[(l+石)”一(1一石)[<〃+4,取指数得(1+百)"一0一式)"<2",

同除，“竽HT”,故更d喑;尹,即%啧”,

根据｛%｝是递增数列可以得到｛。；｝也是递增数列，于是原不等式转化为片<：x28<52.

而%=5q=8可以得到满足要求的〃的最大值为5,故A正确.

9.BD【详解】对于A选项，去掉石，/后的平均数为“%…+莅=包子=%+9,

OO

方差为(%f-9)2+(二f-9)2+…+伍f-9)2=21,故A选项错误；

8

对于B选项，由于随机变量X服从正态分布N(l,4),P(X>1.5)=0.34,

则P(X<a)=P(X>1.5)=0.34,a,1.5关于1对称，则a=0.5故B选项正确；

6

对于C选项，因为»,=30,所以：=5,又因为回归方程为y=2x+3,

Z=1

6

所以7=2x5+3=13,所以£%=13X6=78,故C选项错误；

Z=1

对于D选项，对于独立性检验，随机变量/的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，

故步越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确.故选:ABD.

10.ACD【详解】对A,如图，令CG中点为中点为N,连接跖V,

又正方体A2CD-ABGR中，E为棱的中点，飞得B'MIAE,MNIICD'HBA,

BXMII平面BA]E,MNII平面BA】E,又BXMQMN=M,

且4",MNu平面BXMN,/.平面BXMN//平面B^E,

又4b//平面ABE1,且用£平面耳MN,.,.耳尸u平面,

又尸为正方形内一个动点(包括边界)，二尸£平面与MNA平面GC。，，而MV=平面

:.FwMN,即尸的轨迹为线段跖V.

由棱长为2的正方体得线段MN的长度为&,故选项A正确；

对B,当尸为线段肱V中点时，由4M=4N可得又CG中点为中点为N,

.-.MNHD.C,而AB//，C,.•.4/，48,故选项8不正确；

对C,由正方体侧棱B£，底面ClCDDl,三棱锥B,-D、EF体积为V=^B1Cl-S^FE=js^FE,

所以AO/E面积5皿在最小时，体积最小，如图，易得厂在N处时川可£最小，

此时邑语=；%*=；，所以体积最小值为:，故选项C正确；

对D,如图，当尸在M处时，三棱锥耳-的体积最大时，

由已知得此时RD=FR=F4=6,所以/在底面的射影为底面外心，

=2,=20,。旦=273，所以底面瓦。。为直角三角形，

所以尸在底面耳。A的射影为瓦。中点，设为。「如图，设外接球半径为R,

由斤=OO；+。招：=OO：+3,R+OO1=FOl=y/2，可得外接球半径R=手，

外接球的表面积为4万代兀，故选项D正确.故选：ABD.

即可/，。

则£乎可得，因为河=|NF|,^\MN\^\NF\^\MF\,

可知A〃NF为等边三角形，即NMWF=60。，

且肱V〃x轴，可知直线/的倾斜角为60。，斜率为Jt=tan6（）o=5/L故A正确；

X-P.

X=^P6

则直线/：>=解得2或,

73’

y=y/3p

y=-TP

即A(要则,B,则Mp,%1,N0,争

可得口司=p,\AD\=^p,\BD\=^-p,\FA\=2P,|郎=|p,|=|p,

在△ABD中，囱<|叫<阿，5_|BD|2+|AD|2-|AB|2<0,

可知4£出为最大角，且为锐角，所以△ABD是锐角三角形，故B正确；

12

四边形ACVDf的面积为SMNDF=SABDF+SAMNF=^xpx^-p+^x^-pxp=^-p,故C错误；

因为陷=m=",所以忸同.|阳万阳『，故D正确；

故选：ABD.

12.［5,+QO）【详解】因为“%«1,4］使片-叼）+4>0”为假命题,

所以“Vxe［l,4］,炉—狈+4wo”为真命题，其等价于。石+3在［1,4］上恒成立，

X

又因为对勾函数/（x）=x+&在［1,2］上单调递减，在［2,4］上单调递增，

X

而/。）=/（4）=5,所以/（尤）S=5,所以。25,即实数。的取值范围为［5,+8）.

14.360【解析】•「1+2+3+4+5+6=21,.e.<10,

列举可知：①(1,2,3)……(1,2,6)有4个；②(1,3,4),…….(1,3,6)有3个；③

(1,4,5)有1个;④(2,3,4),(2,3,5)有2个;故共有10个组合，.•.共计有10x看x制=360

个这样的数列。

15.【解析】(1)设4=必，«〉0),在△ABC中，由正弦定理得a=2R-sinA,Z?=27?.sinB,

c=2R-sinC,代入已知化简得?sin2A-sin2B=sinCsin(A-B),

又在ZkABC中有：sinC=sin(A+B),即Zsin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B),

【方法一】Vsin(A+B)sin(A-B)=-(cos2A-cos2B)=sin2A-sin2B,

即，sin2A-sin2jB=sin2A-sin25,所以，二1,所以〃=4.

【方法二】丁sin(A+B)sin(A-B)=(sinAcosB+cosAsinB)(sinAcosB-cosAsirLB),

sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(^l-sin2Bj_(1_sin2sin2B=sin2A-sin2B

即南112y1-011125=$111274-011123,所以，=1,所以〃=4.

222222

左A人z?厂rh右e_1人-A1^3(Z?+c-«)V3(Z?+c—a}厂

(2)在△ABC中有S=7bcsinA，_^csinA=——-------------sinA=—---------------=V3cosA,

2242bc

A=],由正弦定理得"二^^,sillB,c=^^,sinC,匕+稣.sinB+sin(g-“=8sin^B+^J

因在ZiABC中，A=-,0<B<—,-<sin|B+-|<1,

332I6；

所以，4<b+c<8,当A=5=C时，等号成立，.•.△ABC周长a+Z?+c的取值范围是(8,12].

16.【解析】⑴；4+2an-n=2Stl,当〃之2时，fl,ti+2G,,.1-(n-1)=2s2,

两式相减得：«,；+2«„--2%—1=2%,整理得%=(«„_1+1)2,……4分

2

---«„>0,an=an_1+l(n>2)t当〃=1时，«,+2^-l=2alt

=-i(舍)或q=L……6分

是以1为首项，1为公差的等差数列，则为="；……7分

.y=i—…分由f4高令g(")=H’…”分

则心2时，g(“)-g(〃-1)=3-胃=<°…13分

所以g⑺<g(n-l),即随着〃增大，g(n)减小,

所以2»g(")3=g(l)=l15分

17.【详解】(1)取弧BC中点H，则。“13C,以。为坐标原点，直线0昆0区0。1分别为

x，XZ轴建立空间直角坐标系，连接。4,在VASC中，BC=4,AB=AC=2丘,OB=OC,则

AO±BC,AO=2,于是0(0,0,0),A(0,-2,0),8(2,0,0),C(-2,0,0),0(—2,0,1),

设尸(x,y,0),则G(x,y,l),其中/+产=4,了>o,CG=(x+2,y,l),BF=(x-2,j,0),

因此;二一―4+y2=o,即田JL丽，所以CG_L3尸.

由BE_1_平面ABC,ACu平面ABC,得3E_LAC,

XAB2+AC2=BC2,则AB^AC,而ABCBEM8,A8,8Eu平面ABE,

则AC_L平面ABE,即就=(-2,2,0)为平面ABE的一个法向量，

DF=(x+2,j,-l),由£(尸〃平面ABE,WOF-AC=-2x-4+2y=0,

fY-Q

Xx2+/i=4,y>0,解得,=2,此时二(°，2,0)，G(0,2,l),

方.OF=2b=0

设为=(a,b,c)是平面R9O的法向量，贝IJ—,取a=l,得为=(1,0,2),

n•OD=-2a+c=0

/、mOG=2/+=0/、

设/=(e,7,g)是平面GOD的法向量，贝I「，取e=l,得/=1,-1,2),

m-OD=-2e+g=0

则平面FOD与平面GOD夹角的余弦值为Icos@,府|=也祖=厂§=叵.

\n\\m\，5x，66

(3)OD=(-2,0,l),OG=(x,j,l),

则点G到直线OD的距离d=]oG=](IT,

\\OD\V5

当尤=；时，即尸的坐标为(；,半,0)时，点G到直线OD的距离取最大值为君.

18.【详解】⑴•・•渐近线方程为y=±亨x,可设双曲线方程为1—；=42w0),

•.•点(―2,1)在双曲线E上，二；1=1,所以E的方程为《-丁=1；

2

(2)①当直线k4中又一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在是，

不符合题意；所以直线乙，4的斜率均存在且不为0,

N（XN，％），设4的方程为x=my+2",由

x=my+2”

x2,，得（my+2"）2—2/=2=>（加2—2）/+2"+1•相-y+22"—2=0

-----y2=1

12J

2n+'-mr-mj.j2n-m

'''A>0怛成立,%+%='=匚而

n

.2"+i2"•机、同理（2_向•冬nr,巴2-乌m）

•,M1-----j，--2_，N—

m'-2m"-21-2m-1-2m‘

2

因为M、N、。三点共线,所以yM（X—/）=%（乙一为），tn（疗+1）=2"+1（rn+l）

化简得：4=2同；

解法二：设4的方程为y=M尤-pj伏HO）,4（X1，y。B（x2,y2）.加国，加），N（xN,yN）,

y^k（x-p）

n，

由,，尤2,,得0-2左2）尤2+必//-2左2加一2=0,贝h-2/w0,所以玉+%=-4k,

-----V=1l-2k2

[2J

Xj+x_—2k~pb2kM一切"

所以x=2n,则加=、％-0"）=、

M2l-2k2、1—2/l-2k2,

-2左2p“~kp"~~2p“kp“]

所以Mn,同理可得知

l-2k2，「2吃/—2'E—2）,

因为M、N、。三点共线，所以yN（XN-XM）=（yN-%J（XN-。），

-2k，,kp“-2p"-kp”

1一2左2甘一2甘一21一2左2

又打一VMW。，所以乙=川-川=2。“，

y-y