2024年山东省淄博市中考数学试题（含答案解析）

2024年山东省淄博市中考真题数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列运算结果是正数的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D.Y

2.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展.据中国汽车工业协会发

布的消息显示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆.将30.7万用科学记

数法表示为3.07x10".贝卜?的值是（）

A.4B.5C.6D.7

4.如图，已知AD〃3C,平分若NA=110。，则一。的度数是（）

5.数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试.如图是他最近五次测试成绩（满

分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（）

A.95分，V10B.96分，V1OC.95分，10D.96分，10

6.如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m.又

在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°.则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确

的是（）

A.|T|⑸冈画团回［二］B.⑶⑶目向0回［=］

C国回冈画团回仁］口.同固冈国团国仁3

7.《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸.两隅相去适一丈.问户高、广各几何？

其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少？

（1丈=10尺，1尺=10寸）若设门的高和宽分别是x尺和y尺.则下面所列方程组正确的

是（）

\x=y-6.8fx=y-6.8

B222

A-V+102=y2-[x+y=10

Jx=y+6.8卜=y+6.8

D222

C-1x2+102=y2-[x+y=10

8.如图所示，在矩形ABC。中，3c=2AB,点N分别在边BC,AD±..连接MN,

将四边形CWD沿"N翻折，点C,。分别落在点A,E处.贝han/AMN的值是（）

试卷第2页，共8页

E

A.2B.&C.百D.75

9.如图所示，正方形A5C。与AEFG（其中边BC,£F分别在％,V轴的正半轴上）的公

k

共顶点A在反比例函数y=〜的图象上，直线DG与无，V轴分别相交于点N.若这两

X

个正方形的面积之和是g,且MO=4GN.贝必的值是（）

10.某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速出发，甲健步

走向3地.途中偶遇一位朋友，驻足交流1。min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出

发30min,跑步到达8地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.下图表示甲、乙

两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系.（）

那么以下结论：

①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min；

②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m；

③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min；

@A,B两地之间的距离是11200m.

其中正确的结论有：

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空题

11.计算：727-2^=.

12.如图，已知A,B两点的坐标分别为4(-3,1),3(-1,3),将线段AB平移得到线段C"若

点A的对应点是C(l,2),则点B的对应点D的坐标是.

13.若多项式41-吟+9/能用完全平方公式因式分解，则加的值是.

14.如图，在边长为10的菱形ABC。中，对角线AC,8。相交与点。，点E在BC延长线

OP5

上，OE与8相交与点八若/ACD=2,OEC,工=:，则菱形ABC。的面积为.

15.如图，在平面直角坐标系中，作直线x=i(，=l,2,3,…)与x轴相交于点4,与抛物线

>=工尤2相交于点瓦，连接为4用相交于点G，得AA4c和△4+归+。,，若将其面积

4

之比记为«,=-，贝U«2024=.

%.+即G

试卷第4页，共8页

三、解答题

—1Fc2x<—3兀+4

16.解不等式组：22并求所有整数解的和.

x-3<l+2x

17.如图，已知AB=CD,点E,尸在线段班）上，且AF=CE.

请从①BF=DE；②NBAF=NDCE；③AF=C5中.选择一个合适的选项作为已知条件,

使得/XABF0ACDE.

你添加的条件是：（只填写一个序号）.

添加条件后，请证明

―卜21—/-»_卜__

18.化简分式：J并求值（请从小宇和小丽的对话中确定。，6的值）

a-2ab+ba-b

I~a是3的~b是大于1且小［

^^相巡J।于.的奖二、中

小宇小丽

19.希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：

调

查

了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程

目

的

(1)参与本次问卷调查的学生人数名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心

角的度数为________度；

(2)补全周家务劳动时间的频数直方图：

(3)若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；

⑷小红和小颖分别从“家政’等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习,请用列表法或画树状

图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率.

20.“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运

动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人.

试卷第6页，共8页

(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；

(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若

购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40

元.但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健

身器材的套数.

21.如图，一次函数y=《x+2的图象与反比例函数>=乙的图象相交于人(枢4),8两点，

与无，》轴分别相交于点C,D.且tan/ACO=2.

(1)分别求这两个函数的表达式；

(2)以点。为圆心，线段的长为半径作弧与尤轴正半轴相交于点E,连接AE,BE.求

△ABE的面积；

(3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式发x+2>与的解集.

X

22.在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习.

【操作发现】

小明作出了。。的内接等腰三角形ABC,AB=AC.并在3c边上任取一点。(不与点B,

C重合)，连接A。，然后将绕点A逆时针旋转得到△ACE.如图①

小明发现：CE与。。的位置关系是,请说明理由：

【实践探究】

连接DE,与AC相交于点如图②，小明又发现：当VA2C确定时，线段CP的长存在

最大值.

请求出当AB=3ji6.3c=6时，CP长的最大值;

【问题解决】

在图②中，小明进一步发现：点O分线段BC所成的比与点/分线段DE所成的比

始终相等.请予以证明.

23.如图，抛物线>=依2+嬴+3与x轴相交于4(和0),3(%,0)两点(点A在点8的左侧),

其中天，尤2是方程尤②-2尤-3=0的两个根，抛物线与'轴相交于点C.

备用图

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

⑵己知直线/：y=3x+9与X,y轴分别相交于点。，E.

①设直线BC与/相交于点/，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得

NPBF=NDFB?若存在,求出点尸的坐标；若不存在，说明理由；

②过抛物线上一点“作直线8C的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线MB,NC相

交于点2.连接Q。，QE.求线段QD+QE的最小值.

试卷第8页，共8页

参考答案:

题号12345678910

答案ACBCDADACB

1.A

【分析】题考查了正数的定义，负整数指数基的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的

意义，熟练掌握运算法则是解题的关键.

根据正数的定义，负整数指数累的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择

即可.

【详解】解：A、3一=；是正数，符合题意；

B、-3。=-9是负数，不符合题意；

C、-卜3|=-3是负数，不符合题意；

D、-6是负数,不符合题意；

故选：A.

2.C

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据定义逐项判断即可.将一个图形

沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕某点旋

转180。，能与本身重合，这样的图形是中心对称图形.

【详解】因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；

因为图B是中心对称图形，不是轴对称图形，所以不符合题意；

因为图C是轴对称图形，又是中心对称图形，所以符合题意；

因为图D是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意.

故选：C.

3.B

【分析】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中1W同＜10,

〃为整数，确定"的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数

点移动的位数相同，

【详解】解：30.7万=307000=3.07x105,

贝!J〃=5,

答案第1页，共21页

故选：B.

4.C

【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运

用平行线的性质是关键.依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可.

【详解】解：•••A0I8C,

ZABC=1800-ZA=180°-110°=70°,ZD=NDBC；

QBD平分—ABC,

\TDBCABC-®70=35?.

22

/.ZD=35°.

故选：C

5.D

【分析】本题考查折线图，求平均数和方差，根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可.

【详解】解：平均数为：^(92+96+93+100+99)=96(分)；

2

方差为：([(92-96)2+(96-96f+(93-96『+(100-96『+^99_96)]=10；

故选D.

6.A

【分析】本题考查解直角三角形的应用，用计算器计算三角函数值，根据题意，得到

AB=BCtan29°,进行判断即可.

【详解】解：由题意，得：在Rt^ABC中，BC=35,NC=29°,

AB=BC-tan29°=35-tan29°；

计算器的按键为区|⑸冈画团回匚三]；

故选A.

7.D

【分析】本题考查了由实际问题列方程组、勾股定理，设门的高和宽分别是x尺和》尺，根

据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈'’结合勾股定理列出方程组即可，理

解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解此题的关键.

【详解】解：设门的高和宽分别是X尺和y尺，

答案第2页，共21页

x=y+6.8

由题意得:一十产二小，

故选：D.

8.A

【分析】连接AC交MN于点R设AB=2〃?，则5C=2TW=4根，利用勾股定理求得

AC=yjAB2+BC1=2-j5m>由折叠得到AW=CM，MV垂直平分AC，贝!I

AF=CF=^AC=y/5m,由AB?+3A/2=AW?代入求得人“=1,"7,贝|]

MF7AM2-AF?=或在，所以tan/AMN=d=2,于是得到问题的答案.

2MF

【详解】解：连接AC交MN于点R

设AB=2m,则BC=2AB=4m,

•・•四边形ABCD是矩形，

：・？B90?,

・•・AC=VAB2+BC2=2岛1

・・•将四边形。1曲沿翻折，点C,。分别落在点A,E处,

・••点。与点A关于直线MN对称，

：.AM=CM,MN垂直平分AC,

：・BM=BC—CM=4m—AM,ZAFM=90°AF=CF=-AC=45m

f2f

AB2+BM2=AM2F

(2m)2+(4m-AM^=AM2

AM=­m,

2

MF=y]AM2-AF2=—m

2

AFy/5m

.tanAAMN=----=2

MF

2

答案第3页，共21页

故选：A.

【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地

作出辅助线是解题的关键.

9.C

【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数4的几何意义，反比

例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键.设

AE=EF=FG=a,AB=BC=AD=b,利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到

a,6的关系式，再利用/+62=?求得0,匕值，则点人坐标可求，最后利用待定系数法解

答即可得出结论.

【详解】解：设AE=EF=FG=a,AB=BC=AD=b,

由题意得：

:正方形筋。与4£7七（其中边3C,分别在x,y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比

k

例函数y=*的图象上，

X

：.FG//ED//OM,ZNFG=ZDCM=90。,

：.ZNGF=ADMC,

:.△NFG^GCM,

.NF_NG

^~DC~~DM"

•；MD=4GN,

.NF_1

••一，

b4

NF=-b.

4

・.・FG//ED,

:.ANFSANED,

,NFFG

・・标一访’

-b

.4a

•・++

4

b2=4a2,

答案第4页，共21页

+4415

2

.瓜

・・Q=----

2

b—.

k=皿~又瓜=3•

2

故选：C

10.B

【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发30min及当x=

50时》第一次为0,可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观

察函数图象，可得出当x=86时，y取得最大值，最大值为3600,进而可得出结论②正确；

③设甲的速度为xm/min,乙的速度为ym/min,利用路程=速度x时间，可列出关于x,

»的二元一次方程组，解之可得出x,V的之，将其代入86+幽中，可得出甲、乙两人

-x+y

第二次相遇的时间是在甲出发后98min，进而可得出结论③错误；④利用路程=速度*时间，

即可求出A,3两地之间的距离是11200m.

【详解】解：①•.・乙比甲晚出发30min,且当％=50时，y=0,

，乙出发50-30=20（min）时，两人第一次相遇，

既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min,结论①正确；

②观察函数图象，可知：当x=86时，V取得最大值，最大值为3600,

二甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m,结论②正确;

③设甲的速度为xm/min,乙的速度为冲/min,

(50-10)x=(50-30)y

根据题意得:

(86一30)y—(86-10)x=3600

x=l0

解得:

y=200

86+幽3600

=86+二98

x+y100+200

二•甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min,结论③错误;

答案第5页，共21页

@200x（86-30）=11200（m）,

.-.A,8两地之间的距离是11200m,结论④正确.

综上所述，正确的结论有①②④.

故选：B.

11.百

【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算,先化简二次根式,再计算二次根式减法即可.

【详解】解：J万-2也=36-26=石,

故答案为：6

12.（3,4）

【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不

变，横减加，上下移，横不变，纵加减.根据平移的性质，结合已知点A,3的坐标，知点

A的横坐标加上了1,纵坐标加1,则8的坐标的变化规律与A点相同，即可得到答案.

【详解】解：••・4（-3,1）平移后对应点C的坐标为C。,2）,

，点A的横坐标加上了4,纵坐标加1,

叩』

点D坐标为（T+4,3+1）,

即（3,4）,

故答案为：（3,4）.

13.±12

【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.利用

完全平方公式的结构特征判断即可确定出机的值.

【详解】解：•・・多项式4/一祖孙+9y2能用完全平方公式因式分解，

4x2-mxy+9y2=（2x）2-mxy+（3j）2=（2%±3y『，

加=±2x（2x3）=±12,

故答案为：±12.

14.96

答案第6页，共21页

【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识.作5c

交CD于点H,则ADOHSADBC,求得OH=：BC=5,再证明/\OFHs/\EFC,求得EC=6,

再证明NOEC=NCOE,则OC=EC=6,利用勾股定理求得05的长，再利用菱形的面积

公式求解即可得到问题的答案.

【详解】解：作交CD于点贝！KOOHS&DBC,

・・•四边形ABC。是边长为10的菱形，对角线AC,相交于点0,

BC=10,OD=OB=-BD,OA=OC,AC±BD,

2

.OHOP

。,

…旅一防一2ZSOC=90

OH=-BC=5,

2

OF_5

'：OH//BC,

FE~6

：./\OFH^Z\EFC,

.OHOF5

,,衣―森一飞，

：.EC=-OH=-x5=6

55f

•・•四边形ABC。是菱形，且/ACD=2/OEC,

・・・ZACB=ZACD=2ZOEC=NCOE+/OEC,

：.NOEC=NCOE,

：.OC=EC=6,

•**OB=^BC1-OC1=A/102-62=8,

:.BD=2OB=16,AC=2OC=12,

•1•S菱…=|BDAC=1X16X12=96,

故答案为：96.

,<20244

,20254

答案第7页，共21页

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证

"4GOAA,+及c,得至,进行求解即可.

'△4+同GI-J

【详解】解：•••作直线x=*=l,2,3,…）与x轴相交于点A,,与抛物线y=相交于点B”

.•.A4,x轴，且用

1

：.AB.=-i29,

4

・・・A4〃4+/m，

..△A4Gs△4+]4+IG,

=S04a='A4]=i2

,△4+岛1&\A+l-®i+lJ百

20244

20254

20244

故答案为:

20254

16.-4<J:<1,—6

【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解.解各不等式,

可得出X的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求

出结论.

13

—F2x<—x+4（X）

【详解】解：22,

x-3<1+2A（2）

解不等式①得：X<1；

解不等式②得：x>T,

原不等式组的解集Y<x<1,

•••不等式组所有整数解的和为-3-2-1+0=-6.

17.①（或②）

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三

角形的判定定理与性质并灵活运用.利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件

进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可.

【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），

答案第8页，共21页

证明：当选取①时，

在■与△(»£中，

AB=CD

<AF=CE,

BF=DE

/.△ABF^ACDE(SSS),

:.ZB=ZD,

・.,BF=DE,

:.BF+EF=DE+EF,

:.BE=DF,

在△45后与VCDb中，

AB=CD

</B=/D,

BE=DF

/.△ABE^ACDF(SAS),

ZAEB=NCFD,

,\AE//CF；

证明：当选取②时，

在zXAB产与△CD£1中，

AB=CD

<ZBAF=ZDCE,

AF=CE

AABF2ACDE(SAS),

:.ZB=ZD，BF=DE，

:.BF+EF=DE+EF,

:.BE=DF,

在“R石与VCDb中，

AB=CD

<NB=/D,

BE=DF

「.△ABE也△CDF(SAS),

答案第9页，共21页

:.AAEB=ACFD,

:.AE//CF■,

故答案为：①（或②）

【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得〃，6的值，将原分式化

简后代入数值计算即可.

【详解】解：依题意，a=—3,1<6〈占且6为整数，又2〈君<3,则6=2,

q__b~1_u_b

-a2----l--a--b---+--b2-I-----a------b----

_(Q+b)(Q_»+l_"b

(〃-8)2a—b

a+b\—ci—b

=---------1-------------

a-ba-b

]

a-b，

当a=-3,6=2时，原式=---=--.

-3-25

19.(1)100,126

(2)见解析

(3)估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人

【分析】(1)用家务劳动时间为②组的人数除以所占百分比，即可得到调查总人数，再用360°

乘以第④组人数所占比例即可求解；

(2)用调查总人数减去第①②④⑤组的人数，得到第③组的人数，即可补全周家务劳动时

间的频数直方图；

(3)先求出调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用800乘以喜欢“烹饪”课程的学生

人数所占比例即可；

(4)画出树状图，得到所有可能出现的结果数，再找出两人恰好选到同一门课程的结果数，

根据概率公式计算即可.

【详解】(1)解：调查总人数为：20+20%=100(名)，

答案第10页，共21页

第④组所对应扇形的圆心角的度数为：360°X—=126°

(2)解：第③组的人数为：100—10—20—35—10=25(人),

可补全周家务劳动时间的频数直方图如图；

周家务劳动时间频数直方图

(3)解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为：100-18-20-24-16=22(人)

22

800x——=176(人)，

100

答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人；

(4)解:树状图如图所不：

开始

小

红

颖cccCC

、ABDEABDEABDEABDEABDE

、

则共有25中情况，两人恰好选到同一门课程的结果数有5种，

二两人恰好选到同一门课程的概率为：三=二

255

【点睛】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计总数、画树状图或列表求概率，根据题意

熟练的画出树状图或列出表格，是解题的关键.

20.(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为25%

(2)购买的这种健身器材的套数为200套

【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为了,根据从2021年的32万人增加到2023年

的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；

(2)设购买的这种健身器材的套数为机套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出

答案第11页，共21页

一元二次方程，解之取符合题意的值即可.

【详解】(1)解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为无，

由题意得：32(1+尤)2=50,

解得：X,=0.25=25%,x2=-2.25(不符合题意，舍去)，

答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；

(2)解：\T600x100=160000<240000元，

购买的这种健身器材的套数大于100套，

设购买的这种健身器材的套数为加套，

由题意得：加“600-皿x40)=240000,

整理得：M_5oom+60000=0,

解得：网=200,m2=300,

当m=300时，售价=1600-迎号叫x40=800<1000元(不符合题意，故舍去),

答：购买的这种健身器材的套数为200套.

4

21.(1)一次函数解析式为y=2尤+2,反比例函数解析式为y=—

x

⑵15

⑶一2Vxe0或x>l

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：

(1)先求出。(0,2)得到。。=2,再解直角三角形得到OC=1,则C(-l,0),据此利用待定

系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式

中求出对应的反比例函数解析式即可；

(2)先求出点8的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据

S/XA8E=SMBE+$△"£，求解面积即可；

(3)利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到

答案.

【详解】(1)解：在>=尢尤+2中，当尤=0时，y-2,

答案第12页，共21页

D（0,2）,

0D=2,

•/tan/ACO=2,

在RtACDO中，tanZZ5CO=—=2,

OC

OC=1,

把C（_l,0）代入y=《x+2中得：0=-k1+2,解得勺=2,

二一次函数解析式为y=2x+2,

在y=2x+2中，当y=2x+2=4时，x=l,

/.A（l,4）,

把A（l,4）代入y=§中得:4=牛,解得&=4,

4

・♦・反比例函数解析式为y=—；

X

,4

y——

（2）解：联立，x

y=2x+2

，8（-2,-2）；

设E（e,0）,

由题意得，BD=ED,

：.（-2-0）2+（-2-2）2=,_0）2+（0-2）2,

解得e=4或e=T（舍去），

.,.£（4,0）,

/.CE=4-（-l）=5,

S&ABE=S^cBE+S2CE

CE+CE

=^-yA^-\yB\

答案第13页，共21页

=—X5X4H--x5x2

22

=15；

（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为

一2<%<0或x>l,

••・关于X的不等式《尤+2>4的解集为一2<x<0或X>1.

X

22.操作发现：CE与。。相切；实践探究：嘤；问题解决：见解析

【分析】操作发现：连接CO并延长交。。于点连接AM,根据直径所对圆周角为直角

得至（J/MAC=90°,根据旋转的性质得到=/ACE,由圆周角定理推出/3=/AMC,等

量代换得到/ACE=NAMC,利用直角三角形的性质即可证明NOCE=90。，即可得出结论;

实践探究：证明得到==结合三角形外角的性质得到

ADDr\

/CDF=/BAD,易证△ABDsADCF,得到一=—，^BD=x,贝lJCD=6—x,得至!J

CDCF

。尸=巫46-尤）=-巫（x-3）2+亚，利用二次函是的性质即可求解；

30'730'710

问题解决：过点£作硒〃BC交AC于点N,由旋转的性质知：ZB=ZACE,证明

NENC=ZACE,推出EN=CE,由旋转的性质得：AABDdACE,

得到比>=硒，根据EN〃BC,易证ACDFS树EF,得至ijC2=里，即可证明结论.

ENEF

【详解】操作发现：

解：连接CO并延长交。。于点“，连接AM,

•.•MC是00直径,

/MAC=90°,

.-.ZWC+ZACM=90°,

由旋转的性质得ZB=ZACE,

-：/B=ZAMC,

ZACE=ZAMC,

ZOCE^ZACM+ZACE^ZACM+ZAMC^90°,

•••OC是。。的半径，

答案第14页，共21页

，CE1与。。相切；

实践探究：

解：由旋转的性质得：/BAD=ZCAE,AD=AEf

・•・ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD^ZBAC=ZDAEf

AB=AC,

AB_AC

~AD~^Ef

AABC^AADE.

ZB=ZADE=ZACB,

ZADC=ZADE+ACDF=/B+/BAD,

NCDF=/BAD,

:.AABDs^DCF,

ABBD

设BD=x,贝!|CD=6-x,

3V10x

6-x-CF

，B=叵x(6一步一叵(YR迎,

30v730v710

/八

---M----<0,

30

.•.当x=3时，CP有最大值为嘤;

问题解决:

证明：过点、E作EN〃BC交AC于点、N,

/ENC=ZACB

由旋转的性质知：/B=ZACE,

■.■ZB=ZACB,

:.ZACB=ZACE,

答案第15页，共21页

:.ZENC=ZACE,

:.EN=CE,

由旋转的性质得：△AB。也△ACE,

...BD=CE,

:.BD=EN,

•；EN〃BC,

:.©DFs小EF,

CDDF

…EN-EF'

♦：BD=EN,

CDDF

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次

函数最值的应用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键.

23.（1）y=—x2+2x+3

⑵①②线段QO+QE的最小值为3万

【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出A（-1,O）,3（3,0）,再利用待定系数法求

解即可;

（2）①在y=3x+9中，令y=0得出£＞（一3,0）,在＞=*+2x+3中，令x=O得出C（0,3）,

从而得出O3=OC=3,即NCBO=N3CO=45。，待定系数法求得直线BC的解析式为

y=-x+3,联立得出作用Lx轴于则HJ：,。],

[y=3x+9v22Jy2J

339

/DHF=90。,ZHFB=ZHBF=45°,求出。"=——（-3）=-,FH=-,由正切的定义

2v722

得出tan/DW=31=j，证明NDFH=NPBH,得出tanNDfH=tan=,，求出直

FH33

’11

]v=_V—1

线BP的解析式为联立3,计算即可得解;②设MQ1，月）,NN,%），

y——尤~+2x+3

设直线MN的解析式为：y=~x+n,求出直线3"的解析式为，=左/-3匕，直线CN的解

答案第16页，共21页

析,式为ix+3；联立y]=一—x++n2/得：f一3--3=。，由韦达定理得出-3,

丫=_/+2丈+3得小一个q，求出《=T-玉，同理可

将MQq,yi）代入y=Kx-3kl

[y=一再+2玉+3

得心=2-联立[二了十；，得出租=[,推出点。在直线尤=3上运动，求出石(0,9),

Iy_KiX_3/Ci//

aa

作点E关于直线x的对称点E,连接OE'交直线x于。'，连接EQ',则硝3,9),由

轴对称的性质可得EQ'=E'。，则(QD+QE)最小值=DQ'+EQ'=DQ'+EQ=DE',由两点之

间线段最短可得:线段8+QE的最小值的最小时为OE',再由勾股定理计算即可得出答案.

【详解】⑴解：：X2-2X_3=0,

(x-3)(x+l)=0,

••%1=—1,%2=3,

/.A（-I,o）,5（3,0）,

・・・抛物线y=尔+"+3与X轴相交于A（%,o）,5（^,0）两点,

.J。-6+3=0

*,|9«+3/?+3=0，

Q=-1

解得:

b=2

•••该抛物线对应的函数表达式为yn-V+Zx+s；

（2）角和①在y=3x+9中，令y=。，3x+9=0,解得％=—3,即。（一3,0）,

在k_九2+2%+3中，令％=0,贝（Jy=3,即C（0,3）,

：.OB=OC=3,

：.ZCBO=ZBCO=45°,

设直线BC的解析式为y=kx+bx,

3%+4=0

将5(3,0),。(0,3)代入解析式得

4=3

答案第17页，共21页

k=-l

解得:

b[=3

・,・直线5C的解析式为y=-%+3,

3

x=——

y=—x+32

联立；印+9,解得