赵娜《应用统计分析》课件-(04)第4章 数据的概括性度量

统计学

STATISTICS第4章数据的概括性度量

(第六版)

统计学

作者：中国人民大学统计学院

贾俊平

4-1作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS第4章数据的概括性度量

(第六版)

4.1集中趋势的度量

4.2离散程度的度量

4.3偏态与峰态的度量

4-2作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS学习目标

(第六版)

1.集中趋势各测度值的计算方法

2.集中趋势各测度值的特点及应用场合

3.离散程度各测度值的计算方法

4.离散程度各测度值的特点及应用场合

5.偏态与峰态的测度方法

6.用Excel计算描述统计量并进行分析

4-3作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS4.1集中趋势的度量

(第六版)

4.1.1分类数据：众数

4.1.2顺序数据：中位数和分位数

4.1.3数值型数据：平均数

4.1.4众数、中位数和平均数的比较

4-4作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学集中趋势

STATISTICS

(第六版)(centraltendency)

1.1.一一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度组数据向其中心值靠拢的倾向和程度

2.2.测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值

3.3.不同类型的数据用不同的集中趋势测度值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值

4.4.低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高

层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据

4-5作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS

(第六版)

分类数据：众数

4-6作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学众数

STATISTICS

(第六版)(mode)

1.一组数据中出现次数最多的变量值

2.适合于数据量较多时使用

3.不受极端值的影响

4.一组数据可能没有众数或有几个众数

5.主要用于分类数据，也可用于顺序数据和

数值型数据

4-7作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学众数

STATISTICS

(第六版)(不惟一性)

无众数

原始数据:10591268

一个众数

原始数据:659855

多于一个众数

原始数据:252828364242

4-8作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学分类数据的众数

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

不同品牌饮料的频数分布解：这里的变量为“饮

料品牌”，这是个分类

百分比

饮料品牌频数比例变量，不同类型的饮料

(%)就是变量值

果汁60.1212所调查的50人中，购

矿泉水100.2020买碳酸饮料的人数最多，

绿茶110.2222为15人，占总被调查人

数的，因此众数为

其他80.161630%

“可口可乐”这一品牌，

碳酸饮料150.3030

即

合计501100＝碳酸饮料

Mo＝碳酸饮料

4-9作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学顺序数据的众数

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

甲城市家庭对住房状况评价的频数分布解：这里的数据为顺

甲城市序数据。变量为“回

回答类别答类别”

户数(户)百分比(%)

甲城市中对住房

非常不满意248

表示不满意的户数最

不满意

10836多，为108户，因此

一般9331众数为“不满意”这

满意4515一类别，即

非常满意3010

＝不满意

Mo＝不满意

合计300100.0

4-10作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS

(第六版)

顺序数据：中位数和分位数

4-11作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学中位数

STATISTICS

(第六版)(median)

1.排序后处于中间位置上的值排序后处于中间位置上的值

50%50%

Me

2.不受极端值的影响不受极端值的影响

3.主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能

用于分类数据用于分类数据

4.各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即

4-12作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学中位数

STATISTICS

(第六版)(位置和数值的确定)

位置确定

数值确定

4-13作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学顺序数据的中位数

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

甲城市家庭对住房状况评价的频数分布解：解：中位数的位置为中位数的位置为

甲城市＝

回答类别(300+1)/2(300+1)/2＝150.5150.5

户数(户)累计频数

从从累累计计频频数数看看，，

非常不满意2424中中位位数数在在““一一般般””这这

不满意108132一组别中一组别中

一般93225中位数为中位数为

满意45270

非常满意30300Me=一般

合计300—

4-14作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学数值型数据的中位数

STATISTICS

(第六版)(9个数据的算例)

【例】9个家庭的人均月收入数据

原始数据:15007507801080850960200012501630

排序:75078085096010801250150016302000

位置:112233445566778899

中位数1080

4-15作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学数值型数据的中位数

STATISTICS

(第六版)(10个数据的算例)

【例】：10个家庭的人均月收入数据

排序:66075078085096010801250150016302000

位置:1122334455667788991010

4-16作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学四分位数

STATISTICS

(第六版)(quartile)

1.排序后处于25%和75%位置上的值

25%25%25%25%

QQLLQQMMQQUU

2.不受极端值的影响

3.计算公式

4-17作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学顺序数据的四分位数

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

甲城市家庭对住房状况评价的频数分布

解：QL位置=(300)/4=75

甲城市Q位置=(3×300)/4

回答类别U

户数(户)累计频数=225

非常不满意2424从累计频数看，QL在“

不满意108132不

一般93225满意”这一组别中；QU在

满意45270“一般”这一组别中

非常满意30300

四分位数为

不满意

合计300—QL=不满意

一般

4-18作者：贾俊平，中国人民大学统计学院QU=一般

统计学数值型数据的四分位数

STATISTICS

(第六版)(9个数据的算例)

【例】：9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算)

原始数据:15007507801080850960200012501630

排序:75078085096010801250150016302000

位置:112233445566778899

4-19作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS

(第六版)

数值型数据：平均数

4-20作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学平均数

STATISTICS

(第六版)(mean)

1.也称为均值也称为均值

2.集中趋势的最常用测度值集中趋势的最常用测度值

3.一组数据的均衡点所在一组数据的均衡点所在xx

3.体现了数据的必然性特征体现了数据的必然性特征

4.易受极端值的影响易受极端值的影响

5.有简单平均数和加权平均数之分有简单平均数和加权平均数之分

6.根根据据总总体体数数据据计计算算的的，，称称为为平平均均数数，，记记为为；；根根据据

样本数据计算的，称为样本平均数，记为样本数据计算的，称为样本平均数，记为xx

4-21作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学简单平均数

STATISTICS

(第六版)(Simplemean)

设设一组数据为：一组数据为：xx11，，xx22，，……，，xxnn((总体数据总体数据xxNN))

样本平均数样本平均数

总体平均数总体平均数

4-22作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学加权平均数

STATISTICS

(第六版)(Weightedmean)

设设各组的组中值为：各组的组中值为：MM11，，MM22，，……，，MMkk

相应的频数为：相应的频数为：ff11，，ff22，，……，，ffkk

样本样本加权平均加权平均

总体总体加权平均加权平均

4-23作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学加权平均数

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

某电脑公司销售量数据分组表

按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)Mifi

140~1501454580

150~16015591395

160~170165162640

170~180175274725

180~190185203700

190~200195173315

200~210205102050

210~22021581720

220~2302254900

230~24023551175

合计—12022200

4-24作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学几何平均数

STATISTICS

(第六版)(geometricmean)

1.nn个变量值乘积的个变量值乘积的nn次方根次方根

2.适用于对比率数据的平均适用于对比率数据的平均

3.主要用于计算平均增长率主要用于计算平均增长率

4.计算公式为计算公式为

5.5.可看作是平均数的一种变形可看作是平均数的一种变形

4-25作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学几何平均数

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

【【例例】】一一位位投投资资者者购购持持有有一一种种股股票票，，连连续续44年年收收益益率率

分分别别为为4.5%4.5%、、2.1%2.1%、、25.5%25.5%、、1.9%1.9%。。计计算算该该投投资资

者在这四年内的平均收益率者在这四年内的平均收益率

几何平均：几何平均：

算术平均：算术平均：

4-26作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS

(第六版)

众数、中位数和平均数的比较

4-27作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS众数、中位数和平均数的关系

(第六版)

均值均值中位数中位数众数众数均值均值==中位数中位数==众数众数众数众数中位数中位数均值均值

左偏分布左偏分布左偏分布对称分布对称分布对称分布右偏分布右偏分布右偏分布

4-28作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS众数、中位数、平均数的特点和应用

(第六版)

1.众数众数

n不受极端值影响

n具有不惟一性

n数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用

2.中位数中位数

n不受极端值影响

n数据分布偏斜程度较大时应用

3.平均数平均数

n易受极端值影响

n数学性质优良

n数据对称分布或接近对称分布时应用

4-29作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS4.2离散程度的度量

(第六版)

4.2.1分类数据：异众比率

4.2.2顺序数据：四分位差

4.2.3数值型数据：方差和标准差

4.2.4相对离散程度：离散系数

4-30作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS离中趋势

(第六版)

1.数据分布的另一个重要特征数据分布的另一个重要特征

2.反映各变量值远离其中心值的程度反映各变量值远离其中心值的程度((离散程度离散程度))

3.从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度

4.不同类型的数据有不同的离散程度测度值不同类型的数据有不同的离散程度测度值

4-31作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS

(第六版)

分类数据：异众比率

4-32作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学异众比率

STATISTICS

(第六版)(variationratio)

1.对分类数据离散程度的测度

2.非众数组的频数占总频数的比例

3.计算公式为

4.用于衡量众数的代表性

4-33作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学异众比率

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

解：

不同品牌饮料的频数分布

百分

饮料品牌频数比例

比(%)

果汁60.1212

矿泉水100.2020

绿茶110.2222在所调查的50人当中，购

其他80.1616买其他品牌饮料的人数占

70%，异众比率比较大。因

碳酸饮料150.3030

此，用“碳酸饮料”代表消

合计501100费者购买饮料品牌的状况，

其代表性不是很好

4-34作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS

(第六版)

顺序数据：四分位差

4-35作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学四分位差

STATISTICS

(第六版)(quartiledeviation)

1.对顺序数据离散程度的测度

2.也称为内距或四分间距

3.上四分位数与下四分位数之差

Qd=QU–QL

4.反映了中间50%数据的离散程度

5.不受极端值的影响

6.用于衡量中位数的代表性

4-36作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学四分位差

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

甲城市家庭对住房状况评价的频数分布解：设非常不满意为

甲城市1,不满意为2,一般为

回答类别3,满意为4,非常满

户数(户)累计频数

意为5。已知

非常不满意2424

QL=不满意=2

不满意108132

一般

一般93225QU==3

满意45270四分位差为

非常满意30300

Qd=QU-QL

合计300—

=3–2=1

4-37作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS

(第六版)

数值型数据：方差和标准差

4-38作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学极差

STATISTICS

(第六版)(range)

1.一组数据的最大值与最小值之差

2.离散程度的最简单测度值

3.易受极端值影响

4.未考虑数据的分布

5.计算公式为计算公式为

R=max(xi)-min(xi)

4-39作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学平均差

STATISTICS

(第六版)(meandeviation)

1.各变量值与其平均数离差绝对值的平均数各变量值与其平均数离差绝对值的平均数

2.能全面反映一组数据的离散程度能全面反映一组数据的离散程度

3.数学性质较差，实际中应用较少数学性质较差，实际中应用较少

4.计算公式为计算公式为

未分组数据未分组数据

组距分组数据组距分组数据

4-40作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学平均差

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

某电脑公司销售量数据平均差计算表

按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)

140~150145440160

150~160155930270

160~1701651620320

170~1801752710270

180~1901852000

190~2001951710170

200~2102051020200

210~220215830240

220~230225440160

230~240235550250

合计—120—2040

4-41作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学平均差

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

含义：每一天的销售量平均数相比，

平均相差17台

4-42作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学方差和标准差

STATISTICS

(第六版)(varianceandstandarddeviation)

1.数据离散程度的最常用测度值

2.反映了各变量值与均值的平均差异

3.根据总体数据计算的，称为总体方差(标准

差)，记为2()；根据样本数据计算的，

称为样本方差(标准差)，记为s2(s)

4-43作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学样本方差和标准差

STATISTICS

(第六版)(sample(samplevariancevarianceandandstandardstandarddeviationdeviation))

方差的计算公式方差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式

未分组数据注意：注意：未分组数据

样本方差用自样本方差用自

由度由度nn-1-1去除去除!!!

组距分组数据组距分组数据

4-44作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学自由度

STATISTICS

(第六版)(degreeoffreedom)

1.自由度是指数据个数与附加给独立的观测

值的约束或限制的个数之差

2.从字面涵义来看，自由度是指一组数据中

可以自由取值的个数

3.当样本数据的个数为n时，若样本平均数

确定后，则附加给n个观测值的约束个数

就是1个，因此只有n-1个数据可以自由

取值，其中必有一个数据不能自由取值

4.按着这一逻辑，如果对n个观测值附加的

约束个数为k个，自由度则为n-k

4-45作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学自由度

STATISTICS

(第六版)(degreeoffreedom)

样本有个数值，即，，，则。

1.1.样本有33个数值，即xx11=2=2，xx22=4=4，xx33=9=9，则xx==55。

当确定后，，和有两个数据可以自由取

当xx==55确定后，xx11，xx22和xx33有两个数据可以自由取

值，另一个则不能自由取值，比如，，那么

值，另一个则不能自由取值，比如xx11=6=6，xx22=7=7，那么

则必然取，而不能取其他值

xx33则必然取22，而不能取其他值

2.2.为为什什么么样样本本方方差差的的自自由由度度为为什什么么是是nn-1-1呢呢？？因因为为在在计计

算算离离差差平平方方和和时时，，必必须须先先求求出出样样本本均均值值xx，，而而xx则则

是是附附件件给给离离差差平平方方和和的的一一个个约约束束，，因因此此，，计计算算离离差差

平方和时只有平方和时只有nn-1-1个独立的观测值，而不是个独立的观测值，而不是nn个个

3.3.样样本本方方差差用用自自由由度度去去除除，，其其原原因因可可从从多多方方面面解解释释，，

从从实实际际应应用用角角度度看看，，在在抽抽样样估估计计中中，，当当用用样样本本方方差差ss22

去估计总体方差去估计总体方差σσ22时，它是时，它是σσ22的无偏估计量的无偏估计量

4-46作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学样本标准差

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

某电脑公司销售量数据平均差计算表

按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)

140~150145440160

150~160155930270

160~1701651620320

170~1801752710270

180~1901852000

190~2001951710170

200~2102051020200

210~220215830240

220~230225440160

230~240235550250

合计—120—55400

4-47作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学样本标准差

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

含义：每一天的销售量与平均数相比，

平均相差21.58台

4-48作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学总体方差和标准差

STATISTICS

(第六版)(PopulationvarianceandStandarddeviation)

方差的计算公式方差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式

未分组数据未分组数据

组距分组数据组距分组数据

4-49作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS

(第六版)

相对位置的度量：标准分数

4-50作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学标准分数

STATISTICS

(第六版)(standardscore)

1.也称标准化值

2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量

3.可用于判断一组数据是否有离群点(outlier)

4.用于对变量的标准化处理

5.计算公式为

4-51作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学标准分数

STATISTICS

(第六版)(性质)

zz分分数数只只是是将将原原始始数数据据进进行行了了线线性性变变换换，，它它并并没没有有

改改变变一一个个数数据据在在该该组组数数据据中中的的位位置置，，也也没没有有改改变变该该

组组数数分分布布的的形形状状，，而而只只是是使使该该组组数数据据均均值值为为00，，标标

准差为准差为11

4-52作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学标准分数

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

9个家庭人均月收入标准化值计算表

家庭编号人均月收入（元）标准化值z

115000.695

2750-1.042

3780-0.973

41080-0.278

5850-0.811

6960-0.556

720001.853

812500.116

916300.996

4-53作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS经验法则

(第六版)

经验法则表明：当一组数据对称分布时

•约有68%的数据在平均数加减1个标准差

的范围之内

•约有95%的数据在平均数加减2个标准差

的范围之内

•约有99%的数据在平均数加减3个标准差

的范围之内

4-54作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学切比雪夫不等式

STATISTICS

(第六版)(Chebyshev’sinequality)

1.如果一组数据不是对称分布，经验法则就不

再适用，这时可使用切比雪夫不等式，它对

任何分布形状的数据都适用

2.切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是

“所占比例至少是多少”

3.对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不

等式，至少有1-1/k2的数据落在平均数加减k

个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但

不一定是整数

4-55作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学切比雪夫不等式

STATISTICS

(第六版)(Chebyshev’sinequality)

对于k=2，3，4，该不等式的含义是

1.至少有75%的数据落在平均数加减2个标

准差的范围之内

2.至少有89%的数据落在平均数加减3个标

准差的范围之内

3.至少有94%的数据落在平均数加减4个标

准差的范围之内

4-56作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS

(第六版)

相对离散程度：离散系数

4-57作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学离散系数

STATISTICS

(第六版)(coefficientofvariation)

1.标准差与其相应的均值之比

2.对数据相对离散程度的测度

3.消除了数据水平高低和计量单位的影响

4.用于对不同组别数据离散程度的比较

5.计算公式为

4-58作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学离散系数

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数

据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度

某管理局所属8家企业的产品销售数据

产品销售额（万元）销售利润（万元）

企业编号

x1x2

11708.1

222012.5

339018.0

443022.0

548026.5

665040.0

795064.0

8100069.0

4-59作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学离散系数

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

309.1923.09

v1==0.577v==0.710

536.25232.5215

结论：计算结果表明，v1<v2，说明产品销售额

的离散程度小于销售利润的离散程度

4-60作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS4.3偏态与峰态的度量

(第六版)

4.3.1偏态及其测度

4.3.2峰态及其测度

4-61作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学

STATISTICS

(第六版)

偏态

4-62作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学偏态

STATISTICS

(第六版)(skewness)

1.统计学家统计学家PearsonPearson于于18951895年首次提出年首次提出

2.数据分布偏斜程度的测度数据分布偏斜程度的测度

2.2.偏态系数偏态系数=0=0为为对称分布对称分布

3.3.偏态系数偏态系数>>00为为右偏分布右偏分布

4.偏态系数偏态系数<<00为为左偏分布左偏分布

5.偏偏态态系系数数大大于于11或或小小于于-1-1，，被被称称为为高高度度

偏偏态态分分布布；；偏偏态态系系数数在在0.50.5～～11或或-1-1～～--

0.50.5之之间间，，被被认认为为是是中中等等偏偏态态分分布布；；偏偏

态系数越接近态系数越接近00，偏斜程度就越低，偏斜程度就越低

4-63作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学偏态系数

STATISTICS

(第六版)(coefficientofskewness)

1.根据原始数据计算

2.根据分组数据计算

4-64作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学偏态系数

STATISTICS

(第六版)(例题分析)

某电脑公司销售量偏态及峰度计算表

频数

按销售量份组(台)组中值(Mi)fi

140~1501454-25600010240000

150~1601559-2430007290000

160~17016516-1280002560000

170~18017527-27000270000

180~1901852000

190~2001951717000170000

200~21020510800001600000