集合与常用逻辑用语-2025年高考数学一轮复习（新高考）

考点巩固卷01集合与常用逻辑用语（七大考点）

窿考量先竞

集合与常用逻辑用语考点04:充分条件与必要条件的判定

届需力技巧乱考克制称

考点01:集合元素的特征

集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这

个集合中就确定了.给定集合N={123,4,5},可知le/,在该集合中，6e人,不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

集合A={a,b,c}应满足a+b丰c.

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合/={1,2,3,4,5}和8={1,3,5,2,4}是同一个集合.

1.若1<0,也加2-2机+1},贝1］机=.

【答案】2

【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.

【详解】因为le{0,〃7,加02加+1},

所以心=1或机2一2机+1=1,

2

若加=1,m-2w+1=0,不满足互异性；

若“J一2m+1=1=>优=0或2,又机#0,所以那=2,

故答案为：2.

2.若集合中的三个元素分别为2,x32-x,则元素x应满足的条件是.

【答案】xw2且xwT且"0

【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可.

xw2

【详解】解：由元素的互异性，可知无2.2,

2

X一XWX

解得:xw2且xw-l且"0.

故答案为：xw2且xw-1且xwO

3.集合/=卜k-1乂/-4》+4=0,“€11}中恰好有两个元素，则实数0满足的条件是.

【答案】。=3或4

【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案.

【详解】由方程(x-l)，-4x+a)=0,贝口=1或/-4x+a=0,

当尤2一4无+a=0存在两个相等的实数根时，A=(-4)2-4xlxa=0,解得a=4,

此时方程无2-4x+4=0的解为x=2wl,符合题意；

当x?-4x+a=0存在两个不相等的实数根且其中一个根为1时，1?-4xl+a=0,解得a=3,

此时A=(-4『-4xlx3=4>0,则方程另一个解为3,符合题意.

综上所述，当“=4或3时，集合A中恰有两个元素.

故答案为：。=3或4.

4.已知集合/={2,3},8={1,加},若3-加e/,则实数加=.

【答案】0

【分析】讨论3-m=2、3-加=3求参数，结合集合的性质确定参数值.

【详解】若3-加=2,则加=1,而2={1,加},不满足集合元素的互异性；

若3-加=3,则3=0,故8={1,0},满足题设，

所以机=0.

故答案为：0

5.若［1,a,2}=,0+方},贝!Ja+b=.

【答案】-1

【分析】利用集合的列举法、元素与集合的关系、集合中元素的特性、集合间的关系分析运算即可得解.

【详解】解：由题意，•••集合［1,。,中有元素2,

Iaja

QW0,

.•a=0,贝防=0,

a

・•a+b=a,

Aa2=1^解得：4=1或〃=一1,

当。=1时，［1,a,：}={1,1,0},不满足集合中元素的互异性，故舍去。=1；

当a=-l时，jl,a,||={1,-1,0},{0,a2,a+Z7）={0,1,-1）,

满足11,。,：}={0,心。+6},

a=—1,贝!Ja+b=a=—1.

故答案为：-1.

考点02:集合与集合之间的关系

集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合4、B,如果集合/中任意一个元素都是集合8中的元素，我们就

说这两个集合有包含关系，称集合/为集合3的子集，记作/=8（或32/）,读作“/包含于B”（或

“8包含/”）.

（2）真子集:如果集合N1,但存在元素xw8,且xe/,我们称集合A是集合B的真子集,记作A^B

（或）.读作“4真包含于B”或“8真包含/

（3）相等：如果集合/是集合2的子集（/£8,且集合3是集合/的子集（8£/）,此时，集合N

与集合8中的元素是一样的，因此，集合/与集合8相等，记作4=3.

（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非

空集合的真子集.

注意：1、注意子集和真子集的联系与区别.2、判断集合之间关系的两大技巧：（1）定义法进行判断（2）

数形结合法进行判断

结论：若有限集/中有"个元素，则/的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2"-1个，非空真子

集有2"-2个.

6.己知集合/=卜（/卜8={x2,x+y,。},若4=3,则x+y=.

【答案】-1

【分析】根据集合相等求得无J,从而求得正确答案.

【详解】依题意可知xwO,由于/=8,

所以＞=0,此时/={工,0,1},3={/3,0},

所以/=1，解得x=-l或x=l（舍去）,

所以x+y=-1.

故答案为：-1.

7.已知集合/={1,3,4},B={a,a+\},若/口2=8,则。=.

【答案】3

【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.

【详解】集合/={1,3,4},B=[a,a+1},由4口2=2,得2=4,又a+l-a=l,

[（2+1=4

因此{2,所以"3.

[a=3

故答案为：3

8.已知集合/={》|《=°,°,6€11},8=",：；/18,则0的取值集合为.

【答案】{0,1万}

【分析】本题根据集合之间的关系，对参数分类讨论，即可确定参数的取值.

【详解】由题意可知：XA0,6N0,6N±1,

因为NgB,所以当4=0时，。=0;

当时，则x=2e8,

a

则2=6或2=:,解得。=1或a=〃，

aab

综上得，a的取值集合是{016}.

故答案为：{o,i,r}

9.己知集合”={1,2,3},S={xeR|x2-ax+b=0,aeA,be,则4口2=8的概率为

【答案】I

【分析】根据给定条件，利用列举法写出样本空间的所有样本点，再结合一元二次方程解集确定事件发生

的样本点即得.

【详解】/ng=3等价于3=/,记该事件为。，

由于aeN,bwA,因而（a,6）取值情况如表所示.

bQ123

1(1,1)（1，2）(1,3)

2（21）(20（2,3）

3（3」）（3,2）（3,3）

样本空间共有9个样本点，

方程x2-ax+b=O的判别式△=/_必，

2

当（a,6）取（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,2）,（2,3）,（3,3）时,^=a-4b<0>则2=0，B=A；

当（a,6）取（2,1）时，A=a2-4b=Q,八律，B^A-

当（a,6）取（3,1）时，A=/-46=5>0,但方程有两个无理根，不符合题意；

当（a,6）取（3,2）时，A=a2-4&=l>0,S={1,2},B=A,

Q

因此事件。有8个样本点，那么所求概率P（O）=，.

Q

故答案为：—

10.已知集合M={XM（5-X）>1},7V=jxeZ2i>|j,则McN的子集个数.

【答案】8

【分析】解不等式可得集合M与N,进而可得MeN及其子集个数.

【详解】由已知〃=,阿5-力>1}=（一双5-e）,N={xeZ2，>g[={xeZ|x>T},

所以McN={0,l,2},

所以McN的子集个数为8,

故答案为：8.

考点03:集合交并补运算

集合的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合/且属于集合B的所有元素组成的集合，称为Z与8的交集，记作/口8,

即/nB={x|X£4且X€B}.

(2)并集：一般地，由所有属于集合4或属于集合8的元素组成的集合，称为4与5的并集，记作4U5,

即4U5={xIx£4或x£B}.

(3)补集：对于一个集合4,由全集。中不属于集合4的所有元素组成的集合称为集合/相对于全集。的

补集，简称为集合4的补集，记作Q/,即且

集合的运算性质

(1)AoA=A,Ar^0=0,AcB=BcA.

(2)A<JA=A,Au0=A,AuB=BuA.

(3)/c(")=0,/u(")=U，CjCuA)=A.

结论：(1)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集.

(2)4=B=4CB=4o4UB=B=CuB=Cu4.

(3)ox-nm=(C.A)u(Q-),0(/u8)=(Q/)n(QB).

11.已知全集0=孔集合/={无产-x-2<0},S={x|(x+l)(5-x)>0},则&/)c3=.(结果用

区间表示)

【答案】［2,5)

【分析】根据题意结合一元二次不等式可得集合48,再根据集合的交集和补集运算求解.

【详解】因为/={#2={尤,则1/={无［%<-1或xN2},

又因为8={x［x+l)(5-x)>o}={x|-1<x<5},

所以(aN)n8=［2,5).

故答案为：［2,5).

12.已知集合/={小=111(1-2工)},",卜”无},则(4/卜8=.

【答案】1，1

【分析】求得/=(-8,g),5=[0,1],进而可求

【详解】由1一2x>0,可得x<；,所以/=(一8,；),!；/=[；,+8),

由/wx,解得B=[o,i],G/)n8=g,+8)n[o1]=4，i].

故答案为：g,l].

13.已知U=R,/=卜,+x-21,2={yb=3",xeR},贝1](&/)25=.

【答案】(-2,+8)

【分析】根据根号下大于等于0得到集合A,再根据指数函数值域得到集合B,再结合集合交并补运算即可.

【详解】由题意可得/=3,+口_2叫={中4-2或人叫=(_*2]41,+8),

8=}A>0}=(0,+巧，所以&/=(一2,1),所以&/"3=(-2,+动.

故答案为：(-2,+力).

14.已知集合4={x|/-2x-340},B={x\y=\n(2-x)},则(44)门8=.

【答案】{x|x<-l}

【分析】根据条件，求出集合48,再利用集合的运算，即可求出结果.

【详解】由/-2X-3W0,得至「1VXV3,所以/={X|-14X43},={x[x<-1或x>3},

又易知V=ln(2-x)的定义域为{x|x<2},所以3={x|x<2},

所以(14)门3=卜匡<一1},

故答案为：{x[x<-l}.

15.已知集合与={x|y=Jx+2},5={X|X2+3X-4<0},则4(/c8)=.

【答案]{小<_2或x>l}

【分析】由定义域可得A,由一元二次不等式的解法可得B,利用交集、补集运算求解即可.

【详解】由题，{x\y=yf^+2]=[-2,+oo),5={X|X2+3X-4<0}=[-4,1],

所以QJ/C5)={X|X<_2或X>1}.

故答案为：[x\x<-2^x>]}

考点04:充分条件与必要条件的判定

1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。

如：命题夕是命题q成立的XX条件，则命题夕是条件，命题4是结论。

又如•：命题夕成立的XX条件是命题q,则命题4是条件，命题夕是结论。

又如：记条件夕应对应的集合分别为A,B则Zu8,则夕是4的充分不必要条件；Zn8,则夕是q的

必要不充分条件。

2、“n”读作“推出”、“等价于“。pnq,即夕成立，则4一定成立。

3、充要条件

已知命题夕是条件，命题q是结论

（1）充分条件：若pnq,则P是4的充分条件.

所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。

如：x<3是x<4的充分条件。

（2）必要条件：若qnP,则P是4的必要条件.

所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。

如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关

于原点对称，否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足

/（-X）=/（X）才是偶函数，满足/（-X）=-/（X）是奇函数。

（3）充要条件：若pnq,且qnp,则夕是q充要条件.

技巧：对于充分条件，可以看作是小推大，即若p是q的充分条件（q是p的必要不充分条件），则即可

认为P是q的子集.若是充分不必要条件，可以认为p是q的真子集，即在判定充要条件的时候只要认准谁

是谁的子集即可.

16.已知向量向b,则中+研”n=0"是“2=1或1=-力的（）条件.

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据向量数量积分析可知（3+彼上,-3=。等价于同=忖，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为（，+孙,-彼）=，2一庐=0,可得/=片，即同=|可，

可知（,+孙,-5）=0等价于同明，

若IB或L,可得同=|可，即.+B)•卜-B)=o,可知必要性成立；

若,+可.(1_4=0,即同=问，无法得出或H,

例如。=(1,0)3=(0,1),满足同=W，但Z4且力工，可知充分性不成立；

综上所述，“(a+孙=0”是“"“且打1”的必要不充分条件.

故选：A.

17.在—8C中,角4在C所对的边分别为0,瓦c.则“0,瓦c成等比数列”是sinBW也的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】先将〃=*代入余弦定理，利用基本不等式得到cosBN：,从而得到sinBW也，接着根据

22

singW也得到3可能为钝角，不满足6,c成等比数列，从而得答案.

2

【详解】当6,c成等比数列时，b2=ac,

所以cos8J+c"-Py当且仅当a=c时等号成立，

laclac2

又8©(0,兀)，所以84三，所以sinBW立，充分性满足；

32

当时，Be］。,々dT")，

、

而当Be~了2TT，兀J时，6为最长的边，不满足。，4c成等比数列，必要性不满足.

则“a/,c成等比数歹『，是sinBW也的充分不必要条件.

2

故选：A.

18.设a,，为两个不同的平面，加，”为两条相交的直线，已知加〃a,〃//e,则比〃/?,〃//2”是a〃力”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【分析】先根据空间公理确定平面7;再根据面面平行的判定定理和性质可得出充分性成立；最后根据面面

平行的性质及线面位置关系可得出必要性不成立.

【详解】设两条相交的直线”,，确定一个平面7,

因为加//a,nlla,直线加，“相交，muy,nuy,

所以根据面面平行的判定定理可得：a//y,

又因为加//万，〃//万，直线加，〃相交，muy,nuy,

所以根据面面平行的判定定理可得：夕〃7，

所以a//〃，充分性成立；

由a//4，mlla,"〃a可的：ml1/3,〃//£或机u用，nu0,必要性不成立，

所以F/R,nll(3”是“a〃夕”的充分不必要条件

故选：A.

19.命题命题4：函数/(工)=108,(2-研)(。>0且。#1)在(-00,3)上单调，则P是9的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据对数复合型函数的单调性，由命题q求出。的取值范围，再判断充分性和必要性即可.

【详解】设f=2-办，IH!]/(x)=loga(2-ax)(a>0,a1)pfylog/.

充分性：当0<a<l时，函数>=log/在(-叫3)上单调递减，t=2-ax在(-叱3)上单调递减，

且当0<Q<§时，,>0,/(x)=log。(2)(Q>0,aW1)在(-GO,3)上单调递增,

2

当]时，，<0,此时/(%)没有意义，故充分性不成立.

必要性：若歹=1。。在(-8,3)上单调递减，则0va<l,所以£=2-办在(-8,3)上单调递减，

2

且£=2-方>0在(-8,3)上恒成立，所以2-3。>0,得

所以当0<a<：时，/(X)在(-8,3)上单调递增；

若y=log/在(-叫3)上单调递增，则a>l,所以f=2-ax在(-8,3)上单调递减，

2

且/=2-办>0在(-8,3)上恒成立，所以2-3。>0,得不符合题意，舍去.

2

综上可知，当函数在(-吟3)上单调时，0<a<],因此必要性成立.

所以〃是乡的必要不充分条件.

故选：B.

20.“一4(机＜6”是直线/：x+y-/77=O和圆C:(x-iy+(y+l)2=8相交的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求出直线与圆相交时加的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】圆。：（>1）2+（丁+1）2=8的圆心。（1,-1）,半径为2&,

若直线/：x+y_加=0和圆C：(x_l)2+(,+1)2=8相交,

|l-l-w|

则<2->/2,解得-4<m<4,

VT+T

所以“-4<加<6”是直线/和圆C相交的必要不充分条件.

故选：B.

考点05:根据充分（必要）条件求参数范围

利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围；一般可按照如下步骤：

（1）化简p,q两命题；

（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；

（3）利用集合间的关系建立不等式；

（4）求解参数范围.

根据充要条件求解参数范围的方法及注意点：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的

不等式（组）求解；

（2）注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能

够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误；

21.关于x的一元二次方程/+X+机有实数解的一个必要不充分条件的是（）

1111

A.m<—B.m<—C.m<——D.m<—

2424

【答案】A

【分析】由A20可得mW；,根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.

4

【详解】因为一元二次方程/+、+加有实根，

所以A=l—4机20,解得加工4.

4

又（-叫）是（-8,3的真子集，

42

所以“(3,2)”是“(一叫白”的必要不充分条件.

24

故选：A

22.已知命题P：函数〃》)=2丁+、-4在(1,2］内有零点，则命题P成立的一个必要不充分条件是()

A.3<(?<18B.3<a<18C."18D.a>3

【答案】D

【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出。的取值范围，结合必要不充分条件的意义判

断即得.

【详解】函数〃x)=2x3+X”在R上单调递增，由函数〃x)=2d+x_a在(1,2］内有零点，

r/(l)=3-o<0

得［二1O、八，解得3<aV18,即命题。成立的充要条件是318,

1/(2)=18-a>0

显然3<aW18成立，不等式3Wa<18、3<a<18、a<18都不一定成立，

而3<。418成立，不等式恒成立，反之，当。上3时，3<aW18不一定成立，

所以命题P成立的一个必要不充分条件是a23.

故选：D

23.已知关于x的不等式/-2x-3<0成立的一个必要不充分条件是a<x<3,贝匹的取值范围是()

A.(-co,-l)B.C.(-1,3)D.［-1,3)

【答案】A

【分析】由/-2x-3<0,得-l<x<3,由必要不充分条件可得。的取值范围.

【详解】由X2—2X—3<0,得-1<X<3,

因为不等式/-2X-3<0成立的一个必要不充分条件是。<x<3,

所以a<—1.

故选：A

24.已知集合/=的一个必要条件是xNa,则实数。的取值范围为()

A.a<0B.fl>2C.a<-\D.a>-l

【答案】C

【分析】解分式不等式求集合，根据必要条件有A是［a,+co)的子集，即可求参数范围.

【详解】解不等式，|<0,即(x+l)(x-2)<0,得一l<x<2,故/={x|-l<x<2},

所以xe/的一个必要条件是xNa,

对于A,。=-；<0,4=&|-1<彳<2}不是［凡+8）的子集，故A错误；

对于B,。22〃="|一1<》<2}不是［见+8）的子集，故B错误；

对于C,。4-1,/="|一1<%<2}是［°,+<»）的子集，故C正确；

对于D,。=-：2-1,/={刘-1<工<2}不是［。,+8）的子集，故D错误；

故选：C

25.集合/={x|-l<x<2},8={x|-2Vx<77?},若xe8的充分条件是xe/,则实数加的取值范围是（）

A.（-1,2）B.［2,+s）C.（-2,2］D.（2,+s）

【答案】B

【分析】根据题意A是B的子集，从而求解.

【详解】/={x|—1<x<2},B={x|—2<x<机},

因为的充分条件是,所以4=8,

则加22,

故选：B.

考点06:存在（全称）量词命题中有关参数的取值范围

由特称命题的真假确定参数的取值范围

解题方法：（等价转化，分离参数）

（1）对于命题p,mxe/,p（x,a）（a为参数）为真，通过分离参数的方法求得参数的取值范围

（2）对于命题p,*e/,p（x,a）（a为参数）为真，通过否定一夕Vxe/Jp（x,a）（。为参数）为假转化

为恒成立问题，确定出a的取值范围A,最后取A的补集

（3）对于命题p,mxe/,p（x,a）（a为参数）为假，通过否定^夕Vxe/「P（》，。）伍为参数）为假转化

为恒成立问题，确定出a的取值范围

（4）对于命题p,Ice/,Mx，。）（。为参数）为假，通过分离参数的方法求得参数的取值范围

由全称命题的真假确定参数的取值范围

解题方法：此类型的题目主要把握全称命题为真时和恒成立问题的联系，最终转化成恒成立问题求参数的

取值范围

26.若“*e（0,+⑹，使/一"+4<0”是假命题，则实数。的取值范围为.

【答案】（-74］

【分析】将问题转化为+之4在(0,+8)上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.

【详解】因为咱xe(O,+e),使年一"+4<0”是假命题,

所以“Vxe(0,+(»),x2-ax+420”为真命题，

其等价于。Wx+g在(0,+“)上恒成立，

4

又因为对勾函数/(X)=龙+.在(0,2]上单调递减，在[2,+◎上单调递增，

所以〃x)mm="2)=4,

所以。44,即实数。的取值范围为(-8,4].

故答案为：(-8,4].

27.已知命题“对于Vxw(0,+8),e、>办+1”为真命题，写出符合条件的。的一个值：.

【答案】-1(答案不唯一)

x

【分析】当xe(O,+s)时，e>l,当”0时，可得。可取任意负数，即可求解.

J

【详解】对于Vxe(O,+e),e>l,

当”。时，对于Vxe(0,+s),ax+l<l,则。可取任意负数，如-1；

故答案为：-1.

28.若命题“玉使得丁+必-加一520”是假命题，则小的取值范围是.

【答案】(-2,1)

【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴

的位置进行讨论即可求解.

【详解】由题意原命题的否定“Vxe[T,2],使得/+加x-加-5<0”是真命题，

不妨设/(x)=x?+«7x-»7-5=+,其开口向上，对称轴方程为x=-£,

则只需/(X)在[T,2]上的最大值[/("]1mx<0即可，我们分以下三种情形来讨论：

情形一：当一5W-1即〃拈2时，/(x)在上单调递增，

此时有"(x)]1rax=/(2)=机一1<0,解得加<1,

故此时满足题意的实数加不存在；

情形二：当-1〈-£<2即-4<加<2时，“X）在-1,-y上单调递减，在_与2上单调递增，

此时有"（x）L=max｛〃2）J（T）｝<。，只需倨［二*<0，

解不等式组得一2〈加<1,

故此时满足题意的实数加的范围为-2〈加<1；

情形三：当一^22即mW-4时，〃x）在［T2］上单调递减，

此时有［/5）］鹏=/（-l）=-2m-4<0,解得机>一2,

故此时满足题意的实数加不存在；

综上所述：加的取值范围是（-2,1）.

故答案为：（-2,1）.

29.若命题：“现eR,使加焉-根％+140”是假命题，则实数加的取值范围为.

【答案】［0,4）

【分析】根据特称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案.

【详解】由题意可知：命题：VxGR,加工2—加x+l>0.是真命题，

①当机=0时，结论显然成立；

…fm>0

②当加w0时，则｛解得0<加<4；

故答案为：［0,4）.

30.已知命题？：土€（0,3）"2_"2111工40.若？为假命题，则。的取值范围为一.

【答案】（-叫1）

【分析】首先写出命题〃的否命题，根据〃为假命题即可得出力为真命题，从而转化为a</-21nx恒成

立，利用导数研究最值，即可求出。的取值范围.

【详解】「P为假命题

—>p:Vxe（0,3）,x2-a-21nx>0为真命题，故a<x2-21nx,

令/（x）=x2-21nx,xe（O,3）,贝1J/，（》）=2x-2=e（0,3），

令/'（x）>0解得l<x<3,令/'（x）<0解得0<x<l,

所以/（x）在（0,1）上单调递减，在（1,3）上单调递增，

所以〃50=〃1）=1，

所以a<1.

故答案为：（-00」）.

考点07:你中有我，我中有你（Venn图）

一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用外〃〃图求解

31.高一/5班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一,

同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习

必修二和选修一的有（）人，只学习必修一的有（