半角模型综合应用（知识解读）-2023年中考数学重难点题型专项训练

专题06半角模型综合应用（知识解读）

【专驳说跚】

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角

形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种:

旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

【方放技巧】

类型一：等腰直角三角形角含半角模型

⑴如图，在4ABC中，AB=AC,ZBAC=90°，点D,E在BC上，且NDAE=45°，则：BD+CE=DE.

旋转法翻折法

作法1:将aABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,Z\ACE

（2）如图，在△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,点D在BC上，点E在BC延长线上，且/

DAE=45°，贝lj：BD+CE=DE.

（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..

任意等腰三角形

旋转法龌折法

类型二：正方形中角含半角模型

（1）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，NEAF=45°,连接EF,过点

A作AG_L于EF于点G,贝U：EF=BE+DF,AG=AD.

图示（1）作法：将4ABE绕点A逆时针旋转90°

（2）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CB,DC的延长线上，NEAF=45°,连接

EF,则：EF=DF-BE.

图示（2）作法：将4ABE绕点A逆时针旋转90°

（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=A

D,ZBAD+ZC=180°,点E,F分别在边BC,CD±,ZEAF=2

ZBAD,连接EF,贝ij：EF=BE+DF.

图示（3）作法：将aABE绕点A逆时针旋转/BAD的大小

类型三：等边三角形中120°含60°的半角模型

作辅助线：延长FC到G,使得CG=BE,连接DG

结论：ADEF四▲DGF；EF=BE+CF

【真例今新】

【类型一：等腰直角三角形角含半角模型】

【典例1】如图，四边形ABCD中，ZA=ZBC£>=90°,BC=CD,若将△ABC绕着点C

逆时针旋转90°得△££>(7.

(1)求证：ZADC+ZC£>E=180°；

(2)若A8=3C7W,AC=472cn)求的长；

(3)在(2)的条件下，求四边形A2C。的周长和面积.

DE

【变式1-1］如图，RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D、E为8c边上两点，NDAE

=45°,过A点作5.AF^AE,连接。/、BF.下列结论：©AABF^AACE,

其中正确的个数有()

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-2］如图，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC

上，且NMAN=45°.若BM=1,CN=3,则MN的长为.

【类型二：正方形中角含半角模型】

【典例2】(2022春•西山区校级月考)如图，已知正方形ABC。，点E、尸分别是A3、BC

边上，且/££甲=45°,将绕点。逆时针旋转90°,得到△DCM.

(1)求证：AEDF名AMDR

(2)若正方形A8CD的边长为5,AE=2时，求EF的长？

A,________________D

BM

F

【变式2-1](2022春•路北区期末)如图，在边长为6的正方形ABC。内作/EAF=45°,

AE交BC于点、E,A尸交于点凡连接ER将△AOP绕点A顺时针旋转90°得到△

ABG.

(1)求证：GE=FE；

(2)若。尸=3,求的长为

【变式2-2](2021秋•山西期末)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

从正方形的一个顶点引出夹角为45。的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点

构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如：

如图1,在正方形中，以A为顶点的/EAP=45°,AE,AF与BC、C£>边分别交

于E、尸两点.易证得EF=BE+FD.

大致证明思路：如图2,将△AD尸绕点A顺时针旋转90°,得到由/H8E=180°

可得X、B、E三点共线，ZHAE=ZEAF=45°,进而可证明故EP=

BE+DF.

任务：

图1图2图3

如图3,在四边形A8CD中，AB=AD,NB=/D=90°,NA4£>=120°,以A为顶点

的/EAF=60°,AE,AF与8C、CD边分别交于E、尸两点.请参照阅读材料中的解题

方法，你认为结论EF^BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，

请说明理由.

【典例3］已知正方形A8CD中，ZMAN=45°,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分

别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,AHLMN于点、H.

图①图②图③

(1)如图①，当NMAN绕点A旋转到时，请你直接写出AH与A8的数量关

系：;

(2)如图②，当NM4N绕点A旋转到BMWDN时，(1)中发现的AH与AB的数量关

系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

(3)如图③，已知NM4N=45°,AH_LMN于点“，且M”=2,AH=6,求N”的长.(可

利用(2)得到的结论)

【变式3-1】探究：

(1)如图1,在正方形ABC。中，E、尸分别是BC、CD上的点，且/E4P=45°,试

判断3E、。尸与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；

(2)如图2,若把(1)问中的条件变为''在四边形ABC。中，ZB+ZD=180°,

E、厂分别是边3C、C。上的点，且/胡尸=工/胡。”，则(1)问中的结论是否仍然

2

成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

(3)在(2)问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、尸运动到8C、CD延

长线上时，如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请

给出结论并予以证明.

D

E

图1图2图3

【变式3-2］已知：如图边长为2的正方形A8C。中，ZMAN的两边分别交BC、CD边于

M、N两点，且NAMN=45°

①求证：MN=BM+DN；

②若AM、AN交对角线8。于E、F两点.设DE=x,求y与x的函数关系式.

【类型三：等边三角形中120°含60°的半角模型】

【典例4］已知在△ABC中，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△42。绕点A旋转，得

到△AC。，连接OE.

(I)如图1,当/BAC=120°,NZME=60°时，求证：DE=DE；

(II)如图2,当。七时，请写出/D4E与/BAC的数量关系，并说明理由.

(III)当/BAC=90°,DE=DE,EC=C。时，请直接写出80与。E的数量关系(不

必说明理由).

图1图2

【变式4-1](2017秋•锦江区期末)在△ABC中，AB=AC,点E,F是边BC所在直线上

与点3,C不重合的两点.

(1)如图1,当NBAC=90°,ZEAF=45°时，直接写出线段BE,CF,EE的数量关

系；(不必证明)

(2)如图2,当NBAC=60°,ZEAF=30°时，已知8E=3,CF=5,求线段EF的长

度；

(3)如图3,当/8AC=90°,ZEAF=135°时，请探究线段CE,BF,EF的数量关系，

【变式4-2】等边△ABC,。为△ABC外一点，ZBDC=120°,BD=DC,/MDN=60°,

射线DM与直线AB相交于点M,射线DN与直线AC相交于点N,

①当点A/、N在边A3、AC上，且。时，直接写出8M、NC、MN之间的数量关

系.

②当点M、N在边AB、AC上，且。时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请

证明.

③当点M、N在边42、CA的延长线上时，请画出图形，并写出NC、MN之间的

数量关系.

A

AA

专题06半角模型（知识解读）

【专茎饯明】

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角

形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种:

旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

【方注技巧】

类型一：等腰直角三角形角含半角模型

（1）如图，在^ABC中，AB=AC,ZBAC=90°，点D,E在BC±,且/DAE=45°，则:BD+CE=DE.

DE

旋转法翻折法

作法1:将4ABD旋转90°作法2:分别翻折△ABD,4ACE

（2）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=9O°,点D在BC上,点E在BC延长线上，且N

DAE=45°，贝U：BD+CE=DE.

旋转法翻折法

（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..

A

任意等腰三角形

类型二：正方形中角含半角模型

（1）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，ZEAF=45°,连接EF,过点

A作AGJ_于EF于点G,则：EF=BE+DF,AG=AD.

图示（1）作法：将4ABE绕点A逆时针旋转90°

（2）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CB,DC的延长线上，ZEAF=45°,连接

EF,则:EF=DF-BE.

图示（2）作法：将4ABE绕点A逆时针旋转90°

（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=A

D,ZBAD+ZC=180°,点E,F分别在边BC,CD上，NEAF=2

ZBAD,连接EF,贝l|：EF=BE+DF.

B,

A

图示(3)作法：将AABE绕点A逆时针旋转/BAD的大小

类型三：等边三角形中120°含60°的半角模型

作辅助线：延长FC到G,使得CG=BE,连接DG

结论：▲DEF^^DGF；EF=BE+CF

【尊例今析】

【类型一：等腰直角三角形角含半角模型】

【典例1】如图，四边形A8C。中，ZA=ZBC£>=90°,BC=CD,若将△ABC绕着点C

逆时针旋转90°得△即C.

(1)求证：ZA£)C+ZCDE=180°；

(2)若A3=3cwi,AC=4-72cn-求的长；

(3)在(2)的条件下，求四边形ABC。的周长和面积.

ADF.

【解答】（1）证明：如图，在四边形ABCQ中，ZA=ZBCD=90°,则NB+NAr>C=

180°.

:将AABC绕着点C逆时针旋转90°得△EOC,

AABC^AEDC,

：.ZCDE=ZCBA,

：.ZA£)C+ZC£>£=180°；

(2)解::将△ABC绕着点C逆时针旋转90°得△£DC,

；.AC=EC=4V2cmAB=ED=3cm,ZAC£=90°,

:.AE=y[^AC=8cm,

.\AD=AE-EC=AE-AB=5cm；

(3)解：如图，连接8D.

由(2)知，AD=5cm.

则在直角△AB。中，由勾股定理得到：BD^7AB2+AD2^^34.

又■:BC=CD,NBCD=9Q°,

：.BC=CD=屏5,

V2

四边形ABCD的周长为：42+4。+22。=3+5+2丁万=8+2近7；

,?△ABC妾AEDC,

二四边形ABC。的面积二人!。"的面积=』AC・CE=2X4aX4&=16(cm2).

22

综上所述，四边形ABC。的周长为(8+2^17)cm,面积为16c/w2.

【变式1-1］如图，RtZsABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC,D、E为8c边上两点，ZDAE

=45°,过A点作AB_LAE,5.AF^AE,连接。/、BF.下列结论：①△AB餐△ACE,

②平分/即/；③若BD=4,CE=3,则AB=6&；④若AB=BE,SMBD=

2-SAADE,

其中正确的个数有（）

C.3个D.4个

【答案】C

【解答】解：

.•.ZM£=90°,

\'ZBAC=90°,

ZFAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

：.ZFAB=ZEAC,

'：AB=AC,AF=AE,

：.AABF^AACE(SAS),

故①正确；

'：ZDAE=45°,ZFAE=90°,

：.ZFAD=ZFAE-Z£)AE=45°,

.,.ZFAD^ZDAE,

'：AD=AD,AF=AE,

：./\FAD^/\EAD(SAS),

：.ZFDA=ZEDA,

.♦.AD平分/即尸，

故②正确；

在RtZiABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZC=45°,BC=MAB,

'：△ABPdACE,

AZABF=ZC=45Q,BF=CE=3,

：.ZFBD=ZABF+ZABD=90°,

・•・DF=VBF2+BD2=VS2+42=5'

VAMD^AEAD,

：.FD=ED=5,

・・・8C=8D+DE+CE=4+5+3=12,

・・・A8=6&,

故③正确；

*：AB^BE,ZABE=45°,

:・NBAE=NBEA=675°,

VZDAE=45°,

ZAZ)E=180°-ZDAE-ZAED=67.5°,

・•・ZADB=ZAECf

VAB=AC,ZABE=ZC=45°,

AABD^AACE(AAS),

：.BD=CE,

•；BF=CE,

:.BD=BF,

'：ZFBD=90°,

:・DF=®BD,

：.DE=42BD,

SAADE=SAABD,

故④错误；

综上所述，正确的个数有3个，

故选：C

【变式1-2］如图，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,A8=AC,点M,N在边BC

上，且NMAN=45°.若8M=1,CN=3,则MN的长为.

【解答】解：将逆时针旋转90°到△ACE连接NR

/.CF=BM,AF=AM,ZB=ZACF.Z2=Z3,B、

「△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,ZBAC=90°,/h

.,.ZB=ZACB=45°,\/I\

'：ZMAN=45°,

/.ZNAF=Zl+Z3=Zl+Z2=90°-45°=45°=ZNAF,

在和△H1N中

fAN=AN

,ZMAN=ZFAN

AM=AF

/\MAN^/\FAN,

:.MN=NF,

VZACF=ZB=45°,ZACB=45°,

：.ZFCN=90°,

\'CF=BM=1,CN=3,

...在RtzXCFN中，由勾股定理得：

故答案为：Vio.

【类型二：正方形中角含半角模型】

【典例2】(2022春•西山区校级月考)如图，已知正方形ABC。，点E、尸分别是AB、BC

边上，且/EDF=45°,将△D4E绕点。逆时针旋转90°,得到△QCM.

(1)求证：4EDF24MDF；

(2)若正方形A8CD的边长为5,AE=2时，求斯的长？

【解答】(1)证明：•••四边形ABCO是正方形,

ZA=ZB=ZDCF=90°,AD=AB=BC=5,

由旋转得：

ZA=ZDCM=90°,DE=DM,ZEDM=90°,

/.ZDCF+ZDCM=180°,

・・・RC、M三点在同一条直线上，

VZEZ)F=45°,

：.ZFDM=ZEDM-ZEDC=45°,

・•・ZEDF=FDM,

*；DF=DF,

:•丛EDF丝丛MDF(SAS)；

(2)设。尸=x,

：.BF=BC-CF=5-x,

由旋转得：AE=CM=2,

：.BE=AB-AE=3,FM=CF+CM=2+x,

〈△EDF沼LMDF,

：.EF=FM=2+x,

在Rt△防厂中，BE2+BF2=EF2,

・♦・9+(5-x)2=(2+x)2,

.••尸人—15,

7

.,.EF=2+x=-^-,

7

，£1尸的长为空.

7

【变式2-1](2022春•路北区期末)如图，在边长为6的正方形4BC。内作/EAE=45°,

AE交BC于点E,AF交C。于点八连接E凡将△A。尸绕点A顺时针旋转90°得到△

ABG.

(1)求证：GE=FE；

【解答】（1）证明：:将△&£）/绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,

AADF^AABG,

：.DF=BG,ZDAF=ZBAG,

'：ZDAB=90°,Z£AF=45°,

：.ZDAF+ZEAB^45°,

：.ZBAG+ZEAB=45°,

：.ZEAF=ZEAG,

在△EAG和厂中，

'AG=AF

，ZEAG=ZEAF>

AE=AE

：./\EAG^/\EAF(SAS),

：.GE=FE,

(2)解：设2£=尤，贝l|GE=2G+2E=3+x,CE=6-x,

.'.EF=3+x,

'：CD=6,DF=3,

；.CP=3,

；NC=90°,

:.(6-x)2+32=(3+x)2,

解得，尤=2,

即BE=2,

【变式2-2](2021秋•山西期末)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点

构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如：

如图1,在正方形A3。中，以A为顶点的/EAF=45°,AE、A尸与BC、边分别交

于E、尸两点.易证得EF=BE+FD

大致证明思路：如图2,将△A。F绕点A顺时针旋转90°,得到△ABH,由ZHBE=180°

可得X、B、E三点共线，/HAE=NEAF=45°,进而可证明之△AER故跖=

BE+DF.

任务:

图1图2图3

如图3,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBA£)=120°,以4为顶点

的/EAF=60°,AE,A尸与BC、CO边分别交于E、B两点.请参照阅读材料中的解题

方法，你认为结论EF=BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，

请说明理由.

【解答】解：成立.

证明：将绕点A顺时针旋转120°得到

ZABM=ZD=90°,ZMAB=ZFAD,AM=AF,MB=DF,

：.NMBE=ZABM+ZABE^180°,

：.M,B、E三点共线，

AZMAE=ZMAB+ZBAE^ZFAD+ZBAE=ZBAD-ZEAF=60°,

：.ZMAE=ZFAE,

'：AE^AE,AM^AF,

：./\MAE^/\FAE(SAS),

：.ME=EF,

：.EF=ME=MB+BE=DF+BE.

【典例3］已知正方形ABC。中，ZMAN=45°,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分

别交CB,OC(或它们的延长线)于点M,N,AHLMN于点、H.

图①图②图③

(1)如图①，当NMAN绕点A旋转到时，请你直接写出AH与AB的数量关

系：;

(2)如图②，当NM4N绕点A旋转到时，(1)中发现的AH与4?的数量关

系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

(3)如图③，已知/MAN=45°,AH_LMN于点"，且MH=2,AH=6,求的长.(可

利用(2)得到的结论)

【解答】解：(1)•..正方形ABCD

：.AB^AD,NB=ND=NBAD=9O°,

在RtAABM和RtAADN中，

'AB=AD

<ZB=ZD-

BM=DN

RtAABM^RtAADN(SAS),

ZBAM=ADAN,AM=AN,

VZMAN=45°,

：.ZBAM+ZDAN=45°,

4M=NZMN=22.5°,

VZAMN=45°,AM=AN,AHLMN

：.ZMAH=ZNAH=22.5°,

：.ZBAM=ZMAH,

在RtAABM和RtAAHM中，

，ZBAM=ZMAH

<ZB=ZAHM'

AM=AM

RtAABM^RtAAHM(AAS),

故答案为：AB=AH；

(2)AB=A8成立，理由如下：

延长CB至E,使BE=DN,如图:

"/四边形ABCD是正方形，

：.AB=AD,ZD=ZABE=90°,

ARt/\AEB^Rt/\AND(SAS),

：.AE=AN,/EAB=NNAD,

VZDAN+ZBAM=45°,

：.ZEAB+ZBAM^45°,

：.ZEAM=45°,

:.NEAM=NNAM=45°,

又AM=AM,

：.(SAS),

,：AB,4H是△AEM和△ANM对应边上的高,

：.AB=AH.

(3)分别沿AM,AN翻折和得到△ABM和△3£>,分别延长BM和

ON交于点C,如图：

•.,沿AM,A2V翻折△AM”和得到△ABM和△AN。，

.•.AB=AH=A£>=6,ZBAD^2ZMAN^90°,ZB=ZAHM=90°=NAHN=ND,

四边形ABC。是正方形，

AH=AB=BC=CD=AD=6.

由(2)可知，设NH=x,则MC=BC-8M=BC-HM=4,NC=CD-DN=CD-NH=

6-x,

在RtZJWCN中，由勾股定理，得M^uMC^+NC?,

(2+x)2=42+(6-x)2,

解得无=3,

:.NH=3

【变式31】探究：

(1)如图1,在正方形48CD中，E、尸分别是BC、C。上的点，且/E4P=45°,试

判断8E、与跖三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；

(2)如图2,若把(1)问中的条件变为"在四边形A2CZ)中，A2=AZ),ZB+ZD=180°,

E、厂分别是边BC、C。上的点，且,则(1)问中的结论是否仍然

2

成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

(3)在(2)问中，若将斯绕点A逆时针旋转，当点分别£、尸运动到BC、CD延

长线上时，如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请

给出结论并予以证明.

【解答】解：⑴如图1,将△4£>/绕点A顺时针旋转，使A。与重合，得到,

VZ£AF=45°,

：.ZEAF'=ZEAF=45°,

在斯和△?!£1尸'中，

'AF=AF'

<ZEAF7=ZEAF-

AE=AE

:.△AEQAAEF'(SAS),

:.EF=EF',

又EF'=BE+BF'=BE+DF,

:.EF=BE+DF；

(2)结论所=2E+D/仍然成立.

理由如下：如图2,将△A。/绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABP',

贝l|△AZ)/丝△ABF',

ZBAF'=ZDAF,AF'=AF,BF'=DF,/ABF'=ZD,

2

ZEAF=NDAF+NBAE=ZBAE+ZBAF',

AZEAF=ZEAF',

又•.,NABC+/O=180°,

:.NABF'+ZABE=180°,

：.F'>B、E三点共线，

在与△AEP中，

'AF=AF'

-ZEAF=ZEAFy，

AE=AE

△A£F^AA£F,(SAS)，

：.EF=EF',

又,：EF=BE+BF',

:.EF=BE+DF；

(3)发生变化.EF、BE、。尸之间的关系是E/=BE-£>E

理由如下：如图3,将AA。尸绕点A顺时针旋转，使AO与重合，点F落在BC上点

F,处，得至！J△ABP,

：./\ADF^^\ABF',

/.ZBAF'=ZDAF,AF'=AF,BF'=DF,

又且=NDAF,

2

：.ZF'AE=ZBAD-(ZBAF'+ZEAD)=ABAD-(ZDAF+ZEAD)=ZBAD-Z

FAE=NFAE,

即/AE=ZFAE,

，研，=AF

在△尸'AE与△於E中，，NF'AE=ZFAE>

AE=AE

△尸'AE^/\FAE(SAS),

：.EF=EF',

又,：BE=BF'+EF',

：.EF'=BE-BF',

即EF=BE-DF.

【变式3-2］已知：如图边长为2的正方形ABCD中，/MAN的两边分别交BC、CD边于

M,N两点，且NMAN=45°

①求证：MN=BM+DN；

②若AM、AN交对角线2。于E、尸两点.设DE=x,求y与x的函数关系式.

【解答】（1）证明：将绕点A逆时针旋转90°至△A0M',

ZM'AN^ZDAN+ZMAB^45°,AM'=AM,BM=DM'

"：M'AN=ZMAN=45°,AN=AN,

:.丛AMN沿AAM'N',

：.MN=NM',

：.M'N=M'D+DN^BM+DN,

：.MN=BM+DN.

(2)解：VZAED=45°+/BAE,ZMB=45°+ZBAE,

：.NAED=NFAB,

NABF=ZADE,

；.ABFASADAE,

.BF.AB

ADDE

•v_=2_

2x'

【类型三：等边三角形中120°含60°的半角模型】

【典例4］已知在△ABC中，AB=AC,D,E是边上的点，将△A3。绕点A旋转，得

到△AC。，连接D'E.

(I)如图1,当/54C=120°,ZZ)AE=60°时，求证：DE=DE；

(II)如图2,当。七时，请写出/D4E与/BAC的数量关系，并说明理由.

(III)当NBAC=90°,DE=DE,EC=C。时，请直接写出8。与。E的数量关系(不

必说明理由).

图1图2

【解答】（/）证明：：将绕点A旋转，得到△AC。,

：.AD=AD',ZCAD'=BAD,

VZBAC=120°,Z£）A£=60°,

ZD'AE=Z.CAD'+ACAE

=ZBAD+ZCAE

=ABAC-ZDAE

=120°-60°

=60°,

ZDAE=ZD'AE,

在△4£)£1与△A77E中，

'AD=AD'

'ZDAE=ZDZAE-

AE=AE

Z.(SAS),

：.DE=D'E-,

(II)解：Z£>AE=-A-^Z,理由如下：

在△ADE与△AOE中，

，AD=AD/

<AE=AE，

DE=D'E

AADE^AAD'E(SSS),

ZDAE=ZD'AE,

：.ZBAD+ZCAE=ZCAD'+ZCAE=ZD'AE=ZDAE,

'ZZ)A£=2-ZBAC；

(III)解：DE=y[^BD,理由如下：

9：ZBAC=90°,AB=AC,

：.ZB=ZACD=45°,

:・NECD=90°,

'：EC=CD',

・・・△EC。是等腰直角三角形，

:.D'E=MCD'=BD,

,:DE=D'E,

:.DE=®BD.

【变式4-1](2017秋•锦江区期末)在AABC中，AB=AC,点E,尸是边BC所在直线上

与点8,C不重合的两点.

(1)如图1,当/BAC=90°,ZEAF=45°时，直接写出线段BE,CF,跖的数量关

系；(不必证明)

(2)如图2,当4c=60°,ZEAF=3Q°