2025版高考数学一轮复习练案67第九章计数原理概率随机变量及其分布第七讲离散型随机变量的分布列期望与方差含解析新人教版

第七讲离散型随机变量的分布列、期望与方差A组基础巩固一、单选题1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，随意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的全部可能取值个数为(C)A．25 B．10C．7 D．6[解析]X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.2．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)＝(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)[解析]∵a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，∴a＝eq\f(1,2).∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．(2024·江西赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3球，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(C)A．Ξ123Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)B．ξ1234Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(2,5)C．ξ123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)D.ξ123Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)[解析]随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10).故选C．4．(2024·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(B)A．eq\f(18,5) B．eq\f(21,5)C．4 D．eq\f(24,5)[解析]由题意知，X的全部可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以E(X)＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,5)＋5×eq\f(3,10)＝eq\f(21,5).5．(2024·广东深圳二模)若x1，x2，…，xn的平均数为a，方差为b，则2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为(D)A．2a,2b B．2a,4bC．2a＋3,2b D．2a＋3,4b6．(2024·柯城区模拟)已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为E(X)，方差记为D(X)，则(B)A．E(X)＝6，D(X)>4 B．E(X)＝6，D(X)<4C．E(X)<6，D(X)>4 D．E(X)<6，D(X)<4[解析]E(X)＝eq\f(1,8)(7×6＋6)＝6，D(X)＝eq\f(1,8)[7×4＋(6－6)2]＝eq\f(7,2)<4.故选B.7．(2024·山东潍坊模拟)已知甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经考察一段时间，X，Y的分布列分别是X0123P0.70.10.10.1Y012P0.50.30.2据此判定(A)A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同 D．无法判定[解析]E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙质量好．8．(2024·贵州遵义联考)2024年湖南等8省公布了高考改革综合方案将实行“3＋1＋2”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,2)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,4)，故选A.二、多选题9．(2024·福建福州质检)一盒中有8个乒乓球，其中6个未运用过，2个已运用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已运用过的球的个数为X，则下列结论正确的是(ACD)A．X的全部可能取值是3,4,5B．X最有可能的取值是5C．X等于3的概率为eq\f(3,28)D．X的数学期望是eq\f(17,4)[解析]记未运用过的乒乓球为A，已运用过的为B，任取3个球的全部可能是：1A2B,2A1B,3A；A运用后成为B，故X的全部可能取值是3,4,5；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)，∴X最有可能的取值是4，E(X)＝3×eq\f(3,28)＋4×eq\f(30,56)＋5×eq\f(20,56)＝eq\f(17,4).故选ACD.10．(2024·决胜高考名校沟通卷)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论正确的是(ABC)A．P(0<ξ<3.5)＝eq\f(5,6) B．E(3ξ＋1)＝7C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6[解析]由分布列的性质可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝eq\f(a,2)＋eq\f(a,3)＋eq\f(a,6)＝1，解得a＝1，所以P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,6)，A选项正确；E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,6)＝2，所以E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，B选项正确；D(ξ)＝eq\f(1,2)×(1－2)2＋eq\f(1,3)×(2－2)2＋eq\f(1,6)×(5－2)2＝2，所以D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，故C选项正确，D选项不正确．故选ABC．三、填空题11．(2024·吉林质检)设随机变量ξ的概率分布列为ξ012Peq\f(p,3)eq\f(p,3)1－eq\f(2,3)p则ξ的数学期望的最小值是eq\f(1,2).[解析]E(ξ)＝0×eq\f(p,3)＋1×eq\f(p,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2p,3)))＝2－p，又∵1>eq\f(p,3)≥0,1≥1－eq\f(2,3)p≥0，∴0≤p≤eq\f(3,2).∴当p＝eq\f(3,2)时，E(ξ)的值最小，E(ξ)＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2).12．(2024·南宁二模改编)设随机变量X的概率分布列为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)则P(|X－3|＝1)＝eq\f(5,12).[解析]∵eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，∴m＝eq\f(1,4)，∴P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).13．(2024·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，登记它的颜色，然后放回，再取一球，又登记它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为.[解析]Η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)14.袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数ξ的数学期望为eq\f(3,2).[解析]由题意得ξ的全部可能值为1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,10)，∴E(ξ)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).四、解答题15．(2024·湖北模拟)随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于网购，2名倾向于实体店购物，5名女性购物者中有2名倾向于网购，3名倾向于实体店购物．(1)若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少有1名倾向于实体店购物的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．[解析](1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少有1名倾向于实体店购物”为事务A，则eq\x\to(A)表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于网购”，则P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(C\o\al(1,3)×C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)×C\o\al(1,5))＝eq\f(19,25).(2)X全部可能的取值为0,1,2,3，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，则P(X＝0)＝eq\f(7,24)，P(X＝1)＝eq\f(21,40)，P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(X＝3)＝eq\f(1,120).所以X的分布列为X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)E(X)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10).16．(2024·重庆巴蜀中学月考)为庆祝新中国成立七十周年，巴蜀中学将实行“歌颂祖国，喜迎国庆”歌咏竞赛活动，《歌颂祖国》《精忠报国》《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班就是否选择《精忠报国》作为本班参赛歌曲进行投票表决，投票状况如下表.小组12345678赞成人数45665643总人数77887766(1)若从第1组和第8组的同学中各随机选取两人进行调查，求所选取的4人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率；(2)若从第五组和第七组的同学中各随机选取2人进行调查，选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．[解析](1)P1＝1－eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(27,35).(2)各小组人员状况：小组12345678赞成人数45665643不赞成人数32222123总人数77887766X的可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,4),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,21)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5)C\o\al(2,2)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(32,105)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(2,35)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,315)，随机变量X的分布列为X01234Peq\f(4,21)eq\f(4,9)eq\f(32,105)eq\f(2,35)eq\f(1,315)E(X)＝0＋eq\f(4,9)＋2×eq\f(32,105)＋3×eq\f(2,35)＋4×eq\f(1,315)＝eq\f(26,21).B组实力提升1．(2024·河北“五个一名校联盟”联考)在一组样本数据中，1,4，m，n出现的频率分别为0.1,0.1,0.4,0.4，且样本平均值为2.5，则m＋n＝(A)A．5 B．6C．7 D．8[解析]由题意知0.1×1＋0.1×4＋0.4m＋0.4n＝2.5，可得m＋n＝5.2．(2024·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(B)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)[解析]由题意知a，b，c∈[0,1]，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3).3．(2024·广西柳州模拟)下图为四组样本数据的条形图，则对应样本的标准差最大的是(D)[解析]由图可知D中数据最离散，故选D.4．设离散型随机变量X的分布列为X－10123P0.20.10.10.3m则|X－1|的分布列为.[解析]∵0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3，|X－1|的取值为0,1,2，P(|X－1|＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(|X－1|＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.4，P(|X－1|＝2)＝P(X＝－1)＋P(X＝3)＝0.5，∴|X－1|的分布列为|X－1|012P0.10.40.55.(2024·湖北随州调研)某高校为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生根据101的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：男生身高频数分布表男生身高(单位：厘米)[160，165)[165，170)[170，175)[175，180)[180，185)[185，190]频数710191842女生身高频数分布表女生身高(单位：厘米)[150，155)[155，160)[160，