2024年新高一数学初升高衔接《弧度制》含答案解析

数学PAGE1数学第22讲弧度制模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换；2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系；3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.知识点1角度制与弧度制的概念1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2、弧度制的有关概念为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制．（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．（2）弧度制：=1\*GB3①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．=2\*GB3②记法：用符号rad表示，读作弧度．如图，在单位圆O中，的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角．3、弧度制与角度制的区别与联系区别（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同．联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢．知识点2角度制与弧度制之间的互化1、角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数2、特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度03、角的集合与实数集R的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系，如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应．知识点3弧长与扇形面积公式1、弧长与扇形面积公式的两种表示类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长扇形的面积【注】扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角．2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项（1）在应用公式时，要注意的单位是“弧度”；（2）在弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式的形式相似，可类比记忆．考点一：角度制与弧度制概念辨析例1．（23-24高一下·陕西·月考）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列各说法，正确的是（

）A．半圆所对的圆心角是πradB．圆周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【变式1-2】（22-23高一上·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（

）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角C．若两个角的终边重合，则这两个角相等D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【变式1-3】（22-23高一下·江西萍乡·期中）（多选）下列说法中正确的是（

）A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关考点二：角度制化为弧度制例2.（23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（

）A． B． C． D．【变式2-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）将化为弧度制，正确的是（）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（多选）把表示成，的形式，则值可以是（

）A． B． C． D．【变式2-3】（23-24高一上·广东·月考）（多选）下列各角中，与角终边相同的角为（

）A． B． C． D．考点三：弧度制化为角度制例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）把化成角度是（

）A． B． C． D．【变式3-1】（23-24高一上·广东汕头·月考）化为角度是（

）A． B． C． D．【变式3-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）3rad是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四【变式3-3】（22-23高一上·北京·期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．考点四：扇形弧长的相关计算例4.（23-24高一上·云南曲靖·月考）半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（

）A．1 B．2 C．4 D．6【变式4-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为，则该扇环的外弧长为（

）A． B． C． D．【变式4-3】（23-24高一下·山东烟台·月考）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把郑铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，郑铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则郑铁饼者双手之间的距离约为（

）A．1.01米 B．1.76米 C．2.04米 D．2.94米考点五：扇形面积的相关计算例5.（23-24高一下·广东韶关·月考）已知扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为．【变式5-2】（22-23高一下·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（

）A． B． C． D．【变式5-3】（23-24高一下·河南驻马店·月考）如图，在菱形中，，，，，分别是边，，，的中点，以点为圆心，以，为半径作出两段圆弧，与分别交于点，，分别以，，为圆心，用同样方法作出如图阴影部分的扇环，其中.若扇环的周长为，则扇环的面积为（

）A． B． C． D．考点六：扇形周长、面积的最值例6.（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（

）A．28 B．36 C．42 D．50【变式6-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选）已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（

）A．该扇形面积的最小值为8 B．当扇形周长最小时，其圆心角为2C．的最小值为9 D．的最小值为【变式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为．(1)若，，求扇形的弧长；(2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角．【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为．(1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值；(2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值．一、单选题1．（23-24高一上·贵州黔南·月考）将化为弧度是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江苏徐州·月考）把弧度化成角度是（

）A． B． C． D．3．（22-23高一上·广东深圳·期末）在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知扇形的弧长为，半径为3，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知扇形的半径为，圆心角为弧度，则此扇形的弧长为（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·陕西铜川·月考）已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于（

）A．2 B．3 C．1 D．4二、多选题7．（23-24高一下·安徽淮北·月考）下列说法正确的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是18°C．化成弧度是 D．化成角度是8．（23-24高一下·湖南·期中）已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（

）A．4 B．3 C．2 D．1三、填空题9．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知某扇形的半径为，周长为，则该扇形的面积为.10．（23-24高一下·河南南阳·月考）以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫作角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数之间画一条短线，如密位写成“”，密位写成“”，密位写成“”.周角等于密位，写成“”.已知某扇形中的弧的中点到弧所对的弦的距离等于弦长的，则该扇形的圆心角用密位制表示为.11．（23-24高一下·江西乙醇·月考）如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为．四、解答题12．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米．(1)若，米，求该扇形环面展台的周长；(2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．13．（23-24高一上·安徽淮北·月考）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.(1)若，，求扇形的弧长.(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若，求扇形的弧所在的弓形的面积.第22讲弧度制模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换；2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系；3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.知识点1角度制与弧度制的概念1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2、弧度制的有关概念为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制．（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．（2）弧度制：=1\*GB3①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．=2\*GB3②记法：用符号rad表示，读作弧度．如图，在单位圆O中，的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角．3、弧度制与角度制的区别与联系区别（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同．联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢．知识点2角度制与弧度制之间的互化1、角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数2、特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度03、角的集合与实数集R的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系，如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应．知识点3弧长与扇形面积公式1、弧长与扇形面积公式的两种表示类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长扇形的面积【注】扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角．2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项（1）在应用公式时，要注意的单位是“弧度”；（2）在弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式的形式相似，可类比记忆．考点一：角度制与弧度制概念辨析例1．（23-24高一下·陕西·月考）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】小齿轮转动一周时，大齿轮转动周，故其转动的弧度数是.故选：A.【变式1-1】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列各说法，正确的是（

）A．半圆所对的圆心角是πradB．圆周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】ABC【解析】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误，根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确．故选：ABC【变式1-2】（22-23高一上·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（

）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角C．若两个角的终边重合，则这两个角相等D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【答案】B【解析】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误；若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，B选项正确；当，时，与终边重合，但两个角不相等，C选项错误；不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D选项错误.故选：B【变式1-3】（22-23高一下·江西萍乡·期中）（多选）下列说法中正确的是（

）A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【答案】ABC【解析】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正确；根据弧度的定义知，一定等于弧度，所以C正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D不正确.故选：ABC.考点二：角度制化为弧度制例2.（23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以.故选：A【变式2-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）将化为弧度制，正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B【变式2-2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（多选）把表示成，的形式，则值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】根据角度制与弧度制的互化公式，可得，再由终边相同角的表示，可得，所以与和的终边相同.故选：AD.【变式2-3】（23-24高一上·广东·月考）（多选）下列各角中，与角终边相同的角为（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】对于A，，，故A正确；对于B，与终边相同的角为，，当时，，故B正确；对于C，令，解得，故C错误；对于D，令，解得，故D错误．故选：AB.考点三：弧度制化为角度制例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）把化成角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B【变式3-1】（23-24高一上·广东汕头·月考）化为角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B【变式3-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）3rad是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】，为第二象限角.故选：B【变式3-3】（22-23高一上·北京·期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同，故与的终边相同的角的集合即选项B正确；选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限.故选：B.考点四：扇形弧长的相关计算例4.（23-24高一上·云南曲靖·月考）半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆心角化为弧度为，则弧长为.故选：D【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，所以，扇形的面积，解得或（舍去），所以，则该扇形的周长为.故选：C【变式4-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为，则该扇环的外弧长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设该扇环的内弧的半径为，则外弧的半径为，圆心角，所以，即，解得，所以该扇环的外弧长.故选：C【变式4-3】（23-24高一下·山东烟台·月考）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把郑铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，郑铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则郑铁饼者双手之间的距离约为（

）A．1.01米 B．1.76米 C．2.04米 D．2.94米【答案】B【解析】由题意可知，“弓”所在圆的弧长为，由弧度数公式得，即为等腰直角三角形，所以，则掷铁饼者双手之间的距离.故选：B.考点五：扇形面积的相关计算例5.（23-24高一下·广东韶关·月考）已知扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m，得扇形所在圆半径，所以该扇形的面积().故选：C【变式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为．【答案】【解析】由扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为.故答案为：.【变式5-2】（22-23高一下·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由扇形面积公式（其中为扇形弧长，为扇形圆心角，为扇形半径）可得，扇环面积.故选：A【变式5-3】（23-24高一下·河南驻马店·月考）如图，在菱形中，，，，，分别是边，，，的中点，以点为圆心，以，为半径作出两段圆弧，与分别交于点，，分别以，，为圆心，用同样方法作出如图阴影部分的扇环，其中.若扇环的周长为，则扇环的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，因为扇环的周长为，所以：.所以扇环的面积为：.故选：B考点六：扇形周长、面积的最值例6.（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（

）A．28 B．36 C．42 D．50【答案】B【解析】设扇形的弧长为，半径为，则，所以扇形的面积，当且仅当，即时取等号，所以该扇形的面积的最大值是36，故选：B【变式6-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选）已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（

）A．该扇形面积的最小值为8 B．当扇形周长最小时，其圆心角为2C．的最小值为9 D．的最小值为【答案】BCD【解析】由题意，知，则，所以扇形面积，当且仅当，即时，等号成立，选项A错误；扇形周长为，当且仅当，即时，等号成立，此时，圆心角为，选项B正确；当且仅当，即时，等号成立，选项C正确；,当时，上式取得最小值为，选项D正确.故选：BCD.【变式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为．(1)若，，求扇形的弧长；(2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角．【答案】(1)；(2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角．【解析】（1），扇形的弧长；（2）设扇形的弧长为，半径为，则，，则，当时，，此时，，的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角．【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为．(1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值；(2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值．【答案】(1)，最小值为；(2)，最大值为．【解析】（1），则．由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，此时．当时，最小，最小值为．（2），．．当，即时，．当时，最大，最大值为．一、单选题1．（23-24高一上·贵州黔南·月考）将化为弧度是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B2．（23-24高一上·江苏徐州·月考）把弧度化成角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.3．（22-23高一上·广东深圳·期末）在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】弧长为的弧所对的圆心角为，故选：B4．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知扇形的弧长为，半径为3，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由扇形的面积可得，.故选：C5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知扇形的半径为，圆心角为弧度，则此扇形的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为半径，圆心角，所以根据弧长公式得.故选：A.6．（23-24高一上·陕西铜川·月考）已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于（

）A．2 B．3 C．1 D．4【答案】A【解析】设扇形所在圆半径为，则该扇形弧长，，于是该扇形的面积，当且仅当时取等号，所以当时，扇形的面积最大，此时扇形的圆心角等于.故选：A二、多选题7．（23-24高一下·安徽淮北·月考）下列说法正确的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是18°C．化成弧度是 D．化成角度是【答案】AB【解析】对于A项，因，故A项正确；对于B项，因，故B项正确；对于C项，因，故C项错误；对于D项，因，故D项错误.故选：AB.8．（23-24高一下·湖南·期中）已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（