2024-2025版高中数学第三章不等式3.3.2.1简单的线性规划问题学案新人教A版必修5

PAGE3.3.2简洁的线性规划问题第1课时简洁的线性规划问题学习目标1.了解线性规划的意义,能依据线性约束条件画出可行域,能建立目标函数.(数学抽象、直观想象、数学建模)2.理解并初步运用线性规划的图解法解决简洁的线性规划问题.(直观想象、逻辑推理、数学运算)3.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系.(直观想象、逻辑推理、数学运算)必备学问·自主学习导思1.什么是线性规划?线性规划的基本概念有哪些?2.如何求目标函数的最值?1.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式组线性约束条件由x,y的一次不等式组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的函数解析式线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满意线性约束条件的解(x,y)可行域全部可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题(1)线性目标函数的最优解肯定存在吗?提示:不肯定.当可行域是开放区域,可行域的边界取不到时可能没有最优解.(2)可行域右上方的顶点肯定是最优解吗?提示:不肯定.要依据目标函数对应的直线特点,即在y轴上的截距的意义确定.(3)在线性约束条件下,最优解唯一吗?提示:不肯定,可能只有一个,可能有多个,也可能有多数个.2.线性目标函数的最值线性目标函数z=ax+by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y=-QUOTEx+QUOTE,它表示斜率为-QUOTE,在y轴上的截距是QUOTE的一条直线,当z改变时,方程表示一组相互平行的直线.当b>0,截距最大时,z取得最大值,截距最小时,z取得最小值;当b<0,截距最大时,z取得最小值,截距最小时,z取得最大值.(1)若将目标函数z=x+y看成直线方程时,z具有怎样的几何意义?提示:把目标函数整理可得y=-x+z,z为直线在y轴上的截距.(2)z值的大小与直线2x-y-z=0的纵截距有何关系?提示:z随直线的纵截距的增大而变小.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)若线性规划问题存在最优解,它只能在可行域的某个顶点达到.()(2)线性目标函数的最优解是唯一的.()(3)若目标函数为z=x-y,则z的几何意义是直线z=x-y的截距.()提示:(1)×.存在最优解,但不肯定只在顶点达到.(2)×.最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.最优解不肯定唯一,有时唯一,有时有多个.(3)×.z的几何意义是直线z=x-y的截距的相反数.2.设x,y满意约束条件QUOTE则z=2x+y的最小值是()A.-15 B.-9 C.1 D.9【解析】选A.画出约束条件QUOTE所表示的可行域如图所示,将z=2x+y化为y=-2x+z,得到斜率为-2,在y轴上的截距为z的一族平行直线.由图可知,当直线经过可行域上的点C时,截距z最小,由QUOTE解得QUOTE所以C(-6,-3),所以zmin=2×(-6)-3=-15.3.(教材二次开发:习题改编)若QUOTE则z=x-y的最大值为.

【解析】依据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示.令z=0,作直线l:y-x=0.当直线l向下平移时,所对应的z=x-y的函数值随之增大,当直线l经过可行域的顶点M时,z=x-y取得最大值.顶点M是直线x+y=1与直线y=0的交点,解方程组QUOTE得顶点M的坐标为(1,0),代入z=x-y,得zmax=1.答案:1关键实力·合作学习类型一线性目标函数的最值问题(直观想象、逻辑推理、数学运算)1.(2024·浙江高考)若实数x,y满意约束条件QUOTE则z=3x+2y的最大值是()A.-1 B.1 C.10 D.122.若x,y满意约束条件QUOTE则z=4x+2y的最小值为()A.-17 B.-13 C.QUOTE D.203.(2024·全国Ⅲ卷)若x,y满意约束条件QUOTE则z=3x+2y的最大值为.

【解析】1.选C.由线性约束条件可得可行域为图中阴影部分所示:由QUOTE解得QUOTE所以A(2,2),所以zmax=3×2+2×2=10.2.选B.该可行域是一个以AQUOTE,B(4,2),CQUOTE为顶点的三角形区域(包括边界).当动直线y=-2x+QUOTE过点CQUOTE时,z取得最小值,此时z=4×QUOTE+2×QUOTE=-13.3.不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界),因为z=3x+2y,所以y=-QUOTE+QUOTE,易知截距QUOTE越大,则z越大,平移直线y=-QUOTE,当y=-QUOTE+QUOTE经过A点时截距最大,此时z最大,由QUOTE,得QUOTE,A(1,2),所以zmax=3×1+2×2=7.答案:7解线性规划问题的一般步骤(1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函数为z=ax+by);(2)移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;(3)求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值;(4)答:给出正确答案.【补偿训练】1.若实数x,y满意约束条件QUOTE则z=x+y的最大值是()A.0 B.1 C.6 D.7【解析】选C.作出实数x,y满意的约束条件QUOTE对应的平面区域如图:(阴影部分).由z=x+y得y=-x+z,平移直线y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大.由QUOTE解得AQUOTE.代入目标函数z=x+y得z=QUOTE+QUOTE=6.即目标函数z=x+y的最大值为6.2.已知(x0,y0)为线性区域QUOTE内的一点,若2x0-y0-c<0恒成立,则c的取值范围是()A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(1,+∞) D.[1,+∞)【解析】选A.由已知得到可行域D如图,由图可知,对随意(x0,y0)∈D,不等式2x0-y0-c<0恒成立,即c>2x-y恒成立,即c>(2x-y)max,当直线z=2x-y经过图中B(1,0)时,z最大为2,所以c>2.3.(2024·北京高考)若x,y满意x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是.

【解析】x+1≤y≤2x等价于不等式组QUOTE画出可行域如图,令z=2y-x,化为斜截式得y=QUOTEx+QUOTEz,直线斜率为QUOTE,在y轴上的截距为QUOTEz,直线越往下,QUOTEz越小,z越小,由QUOTE得最优解为(1,2),所以z=2y-x的最小值为3.答案:3类型二线性规划中的参数问题(数学抽象、逻辑推理、数学运算)【典例】1.x,y满意约束条件QUOTE,若z=kx+y取得最大值的最优解有多数个,则实数k的值为()A.-1 B.0 C.1 D.-1或02.若x,y满意QUOTE且2x+y的最小值为1,则实数m的值为()A.-5 B.-1 C.1 D.5【思路导引】1.利用目标函数与可行域边界平行求解.2.作出可行域,用m表示最优解,利用最小值求m的值.【解析】1.选A.不等式组对应的平面区域如图:由z=kx+y得y=-kx+z,当k=0时,直线y=-kx+z=z,此时取得最大值的最优解只有一个,不满意条件;当-k>0时,直线y=-kx+z截距取得最大值时,z取得最大值,直线与x=y重合时,最大值有多数个,则-k=1,解得k=-1;当-k<0时,目标函数的最优解只有一个,不满意题意.2.选B.画出满意条件的平面区域,如图所示:由QUOTE,解得A(2m+3,m),设z=2x+y,则y=-2x+z,明显直线过A(2m+3,m)时,z最小,所以4m+6+m=1,解得:m=-1.数形结合求解参数问题首先要娴熟线性规划问题的求解步骤和确定最优解的方法,其次要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界处取得,对边界直线的斜率与目标函数对应的直线的斜率要比照分析.1.已知x,y满意约束条件QUOTE若目标函数z=mx+y的最大值为-2,则实数m的值为()A.3 B.-3 C.3或-3 D.0或3【解析】选B.不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.由题意得m+1=-2,得m=-3.2.设x,y满意约束条件QUOTE且z=x+ay的最小值为7,则a=()A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3【解析】选B.当a=-5时,作出不等式组表示的可行域,如图甲(阴影部分).由QUOTE得交点A(-3,-2),则目标函数z=x-5y过A点时取得最大值.zmax=-3-5×(-2)=7,不满意题意,解除A,C选项.当a=3时,作出不等式组表示的可行域,如图乙(阴影部分).由QUOTE得交点B(1,2),则目标函数z=x+3y过B点时取得最小值.zmin=1+3×2=7,满意题意.当a=5时,同理可求当过C(2,3)时,z最小为17,不符合题意故解除D.3.如图所示的平面区域,若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值为.

【解析】因为z可看作是z=ax+y在y轴上的截距,由可行域可知,当z=ax+y与AC重合时,使z取得最大值的点有无穷多个,又kAC=QUOTE=-QUOTE,所以-a=-QUOTE,a=QUOTE.答案:QUOTE【拓展延长】1.含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数:此时可行域是可变的,应分状况作出可行域,结合条件求出不同状况下的参数值.(2)目标函数中含有参数:此时目标函数对应的直线是可变的,假如斜率肯定,则对直线作平移变换;假如斜率可变,则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分状况确定最优解的位置,从而求出参数的值.2.直线的斜率k与倾斜角α的关系(1)0<k1<k2时,0<α1<α2<QUOTE;(2)k1<k2<0时,QUOTE<α1<α2.即当斜率同为正或同为负时,均满意斜率越大,倾斜角越大,可以通过斜率来比较目标函数与边界倾斜程度的大小,从而确定最优解的位置.【拓展训练】(1)设x,y满意不等式组QUOTE若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由约束条件QUOTE作出可行域如图所示,则A(1,1),B(2,4),由z=ax+y得y=-ax+z,直线y=-ax+z是斜率为-a,y轴上的截距为z的直线,因为z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,所以直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,经过点A时取得最小值为a+1,若a=0,则y=z,此时满意条件;若a>0,则目标函数斜率k=-a<0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,则目标函数的斜率满意-a≥kAC=-2,即0<a≤2;若a<0,则目标函数斜率k=-a>0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,则目标函数的斜率满意-a≤kBC=QUOTE,即-QUOTE≤a<0,综上-QUOTE≤a≤2.(2)已知约束条件QUOTE且目标函数z=a2x+(a-2-a2)y取得最小值的最优解唯一,为(2,2),则a的取值范围是.

【解析】线性约束条件所表示的区域如图中阴影部分所示.由于目标函数y的系数a-2-a2=-QUOTE-QUOTE<0,x的系数a2≥0,故平行直线系z=a2x+(a-2-a2)y的斜率QUOTE>0.由于是最小值问题且最优解唯一,为图中的点A(2,2),从而只需QUOTE<QUOTE,解得QUOTE<a<QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】(1)若x,y满意约束条件QUOTE且z=ax+y的最大值为2a+6,则a的取值范围是()A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)【解析】选A.作出不等式组对应的平面区域如图,(阴影部分).由z=ax+y,得y=-ax+z,平移直线y=-ax+z,要使z=ax+y的最大值为2a+6,即直线y=-ax+z经过点A(2,6)时,截距最大,则目标函数的斜率-a满意-a≤1,解得a≥-1.(2)设z=kx+y,其中实数x,y满意QUOTE若z的最大值为12,则实数k=.

【解析】作出可行域如图阴影部分所示:由图可知当0≤-k<QUOTE时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时,z最大,所以4k+4=12,解得k=2(舍去);当-k≥QUOTE时,直线y=-kx+z经过点(0,2)时,z最大,此时z的最大值为2,不合题意;当-k<0时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时,z最大,所以4k+4=12,解得k=2,符合题意.综上可知,k=2.答案:2类型三非线性目标函数的最优解问题(逻辑推理、数学运算、数学建模)角度1转化为距离问题【典例】设x,y满意约束条件QUOTE,则z=(x+1)2+y2的最大值为()A.41 B.5 C.25 D.1【思路导引】z=(x+1)2+y2=QUOTE,转化为求(x,y),(-1,0)两点之间的距离的平方.【解析】选A.依据x,y满意约束条件QUOTE,画出可行域:z=(x+1)2+y2=QUOTE表示D(-1,0)到可行域内某点的距离的平方,由QUOTE解得A(3,5),当点D与点A(3,5)连线时,AD距离最大,则z=(x+1)2+y2的最大值是A(3,5)到D(-1,0)的距离的平方为41.本例的条件不变,试求z=(x+1)2+y2的最小值.【解析】由本例中的可行域可知,z=(x+1)2+y2的最小值为点(-1,0)到直线x+y=0距离的平方,故所求的最小值为QUOTE=QUOTE.角度2转化为斜率问题

【典例】已知实数x,y满意不等式组QUOTE则z=QUOTE的最大值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【思路导引】作出不等式组对应的平面区域,把所求问题转化为(x,y),(-3,0)两点之间的斜率即可得到结论.【解析】选C.如图,阴影部分为可行域,目标函数z=QUOTE表示可行域中点(x,y)与(-3,0)连线的斜率,由图可知点P(1,3)与(-3,0)连线的斜率最大,故z的最大值为QUOTE.已知实数x,y满意QUOTE,则QUOTE的最大值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选D.作出实数x,y满意QUOTE对应的平面区域如图:QUOTE的几何意义是区域内的点到定点D(-3,0)的斜率,由图象知DA的斜率最大,由QUOTE得A(-2,1),则DA的斜率k=QUOTE=1,则QUOTE的最大值为1.角度3转化为点到直线的距离问题【典例】已知QUOTE求z=|x+2y-4|的最大值.【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.方法一:z=|x+2y-4|=QUOTE×QUOTE,其几何意义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的QUOTE倍.由QUOTE得点C的坐标为(7,9),明显点C到直线x+2y-4=0的距离最大,此时zmax=21.方法二:由图可知,阴影区域(可行域)内的点都在直线x+2y-4=0的上方,明显此时有x+2y-4>0,于是目标函数等价于z=x+2y-4,明显当直线经过点C时,z取得最大值,由QUOTE得点C的坐标为(7,9),此时zmax=21.非线性目标函数的最值的求解策略(1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)距离的平方;特殊地,z=x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.(2)z=QUOTE型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.(3)z=|Ax+By+C|可转化为点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离的QUOTE倍.易错警示:目标函数z=x2+y2的几何意义易错误理解为可行域内的点到原点的距离.1.已知实数x,y满意约束条件QUOTE,则目标函数z=QUOTE的最小值为()A.-QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解题指南】变形:QUOTE=QUOTE,转化为两点连线的斜率求最小值.【解析】选B.作出不等式组对应的平面区域如图:目标函数z=QUOTE的几何意义为可行域内的动点M(x,y)和定点D(-1,2)连线的斜率,当M位于AQUOTE时,DA的斜率最小,此时zmin=QUOTE=-QUOTE.2.实数x,y满意不等式组QUOTE则W=QUOTE的取值范围是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示,目标函数W=QUOTE表示阴影部分的点与定点A(-1,1)的连线的斜率,由图可知点(-1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值,最大值趋近于1,但恒久达不到1,故-QUOTE≤W<1.3.已知实数x,y满意约束条件QUOTE则z=|3x-4y-12|的最小值等于.

【解析】实数x,y满意约束条件QUOTE其可行域为如图所示的阴影部分.由z=|3x-4y-12|的几何意义是可行域内的点到直线3x-4y-12=0的距离的5倍,由可行域可知,B到直线3x-4y-12=0的距离最小,且B(2,0),则z=|3x-4y-12|的最小值为:|3×2-4×0-12|=6.答案:6课堂检测·素养达标1.(教材二次:开发练习改编)若x,y满意QUOTE则z=x+3y的最小值为()A.-6 B.-1 C.3 D.4【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域:得到如图的阴影部分,其中A(2,-1),设z=F(x,y)=x+3y,将直线l:z=x+3y进行平移,视察直线在y轴上的截距的改变,可得当l经过点A时,目标函数z达到最小值.所以z最小值=F(2,-1)=-1.2.已知实数x,y满意QUOTE则z=x+2y的最大值为()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选C.作出不等