上海市杨浦某中学2024-2025学年高三年级上册开学考试数学试卷（含解析）

2024-2025学年上海市杨浦高级中学高三年级上学期

高三开学考数学试卷

2024.9

一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写

结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1.不等式|2x-l|>l的解集是.

2.已知集合尸=五gw。1,Q=(a,+oo),若PuQ,则实数a的取值范围是.

3.若平面向量N=(3,4),|B|=2,a-b=-6,则向量2,B的夹角为.

4.在(x+2)〃的展开式中(其中〃是正整数)，各项的系数和为729,则一项的系数为.

5.已知函数y=/(%)是奇函数，当x>0时，f(x)=ex+3x-2,当x<0时，/(%)=.

6.已知z=2+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程Jr之一4%+加=0的一个根，则Im(加•亍)=

+00(1

7.等差数列｛%｝的首项%=3,公差为d,若%=4,则X备

n-117

8.已知。，(3,7是不同的平面，/,m,〃是不同的直线，下列命题中:

(1)若a上夕,二口，=/，m.LI,则加J_/?；(2)若。〃9，mua,nu0,则加〃〃；

(3)若/_La,-m,11Im,则2，,且夕_L/；(4)若a_L，，/_L，，a[\y-I,则

所有真命题的序号是.

9.己知尸(能,6)是第二象限角a终边上的一个点，且tan2a=—24——，将。尸绕原点。顺时针旋转兀;至

OP',则点尸'的坐标为.

10.如图，沿东西方向相距4海里的两个小岛/,B,岛上按照了信号接收塔，舰艇尸沿着某种确定的圆锥

曲线轨迹航行，A,8是曲线的焦点，当P在小岛8正北方向《处时，测得距小岛23海里.当舰艇航行至

小岛B西偏南60°的月处时，测得距小岛51.5海里.在以线段N8中点为圆心，1海里为半径的圆形海域

内布满暗礁(不包含边界)，舰艇P在航行的过程中，会放下巡逻船0,巡逻船在以总为直径的圆域内全

面巡逻，舰长认为不会有触礁的风险，理由是

AB产

P,

21

11.已知正数Q,b,c满足c<l,a+b=4,则一+------的最小值为___________.

abbc（X-c）

12.已知数列｛%｝是有无穷项的等差数列，>0,公差d>0,若满足条件：①38是数列｛%｝的项；②

对任意的正整数加，〃（m不n）,都存在正整数左，使得用“％,=殁.则满足这样的数列的个数是

__________种.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）

每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑，

xX

13.函数/（x）=sinW+cosm的最小正周期是（）

/271371

A.6兀B.3兀C.—D.——

32

14.下列函数在区间（0,+00）上为严格减函数的是（）

A.y=cosxB.y=2因C.y=x~2=x2-1

15.在正方体中，|ZB|=3,点£是线段上靠近点4的三等分点，在三角形4Ao

内有一动点P（包括边界）则|上4|十|尸£|的最小值是（）

A.2B.2V2C.3D.3G

16.已知点尸，0分别是抛物线C:r=4x和圆£：/+/—10》+21=0上的动点，若抛物线。的焦点

为F,则2|尸。|+|的最小值为（）

A.6B.2+2V5C.4GD.4+2V3

三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤

17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

已知等差数列｛%｝的公差d>0,前”项和为S“，且%%=—5,58=-16.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

Qn-2k_］

(2)若〃=：'-化eN*),求数列上｝的前2〃项和七.

18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

对于函数/(X),若其定义域内存在实数无满足/(-X)=-/(x),则称f(x)为“准奇函数”.

(1)已知函数/(%)=上‘，试问/(X)是否为“准奇函数”？说明理由：

X+1

(2)若g(x)=3'+用为定义在［-1,1］上的“准奇函数”，试求实数加的取值范围.

19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

如图，在圆锥P。中，NC为圆锥底面的直径，8为底面圆周上一点，点。在线段3c上，

AC=2AB=6,CD=2DB.

(1)证明：AD，平面2。尸；

(2)若圆锥P0的侧面积为18兀，求二面角0-AP-/的余弦值.

20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

己知函数/(》)=2*+2，其中。为实常数.

(1)若/(0)=7,解关于x的方程/(x)=5；

(2)讨论函数/(x)的奇偶性;

(3)当a=l时，用定义证明函数/(x)在［0,+8)上是严格增函数，并解不等式/(2x)〉/(x+l).

21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中

具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆G和圆G组成，R,8是椭圆

的两个焦点，圆&以线段公鸟为直径，

图1图2图3

(1)设计如图所示的洞窗，椭圆。的离心率应满足怎样的范围？

(2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米.

(i)从片射出的任意一束光线片Z照在左侧距椭圆中心4坟墓的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同

学用长绳拉出椭圆洞窗的切线8为切点，然后用量角器探究猜测NN片5是定值，请帮他们证明上述

猜想.

(ii)建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点尸是q上的一个动点，P,。关于原点

对称，过尸和。分别做圆的切我，交于R,S,求四边形装饰PRQS面积S的取值范围.

2024-2025学年上海市杨浦高级中学高三年级上学期高三

开学考数学试卷参考答案

一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题

每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1.【答案】(-oo,0)U(l,+oo)

【解析】|2》一1|〉1=2》一1〉1或2》一1<一1=>》>1或》<0.

2.【答案】(―叫―1)

Y-L1

【解析】--<0^-1<x<2,•:PuQ、

x—2

3

3.【答案】7i-arccos-

5

【解析】|不|=5,曰|=2,

————3—3

5-Z7=|5|x|Z7|xcos〈1,6〉=一6ncos(a,b)=--n〈5,6〉=兀-arccos].

4.【答案】60

【解析】由题意知3〃=729n〃=6,则一项的系数为亡x2?=60.

5.【答案】-e*+3%+2

【解析】设x<0,则—x>0,则/(x)=—/(—x)=—3x—2)=—"，+3%+2.

6.【答案】-5

【解析】由题意知另一个根为2—/,则(2+z)(2—z)=5=机，

Im(m-z)=Im(5(2-z))=Im(10-5z)=-5.

3

7.【答案】-

4

1

Id、73

【解析】a2d^d=~,y==±=±.

3a1+]-n-\14

/0=1IqJ1__，

3

8.【答案】(3)(4)

【解析】(1)错误，直线加需要属于平面a；(2)两直线还可以是异面，故错误；

(3)正确；(4)正确.

9.【答案】(—拒,70)

【解析】设P(x,y),

tan2。=----=----------ntana--(舍)，tana-——=-n加=一8,

71-tan2a34m

34

/.OP=10,sina=~,cosa=——

55

nx=lOcosa--二10cosacos〃+sinasin巴=-V2

I4jI44j

ny=lOsina--二10sinacos--sin—cosa=7行.

I4jI44J

10.【答案】无论尸在何处，以必为直径的圆均与布满暗礁的圆外切

【解析】以45所在的轴为x轴，45的垂直平分线为〉轴建立平面直角坐标系，则

4(—2,0),5(2,0),由题意知4<=5,BP]=3,APX-BPX=2,

22

AP2=A/4+1.5-2x4xl.5xcos600=1,BP2=^,AP2-BP,=2,

则可知舰艇航行的轨迹方程是双曲线，且a=l,c=2nb=道，

则方程为——1-=1(x21),暗礁区域的圆心为0(0,0),半径为1,

%+2%'

设尸(工,为)，以依为直径的圆域内全面巡逻，设圆心为C,则圆心C

则

oc=jo+2］卜;=『+4/+4+3(x；-1)=产+4/+1=2/+1

则无论尸在何处，以PB为直径的圆均与布满暗礁的圆外切.

11.【答案】2

【解析】由题意知c(l-c)W［竺/J=；,当c=1■时取等号，故

2124a+b—4191111+?

-----1-------------->-----1—二------H——-----|—----——(a+b)

abbc(l-c)abblabb2a2b2a8a

1(b9Q、11[b9a

=-10+-+—>-10+2.-X—=2,当6=3a=3时取等号，

8(aJ8^\ab)

121

综上，当a=l,b=3,c=土时，—+--------的最小值为2.

2abZ>c(l-c)

12.【答案】69

【解析】根据题意，设尤是数列｛%｝中的任意一项，则x+d,x+2d均是｛%｝中的项，

设。加=x(x+d),an=x(x+2d),则。〃一%=x(x+2d)-x(x+d)=xd-(n-m)d,

因为d>0,所以x=〃-冽，即数列｛%｝的每一项均是整数，

所以数列｛%｝的每一项均是自然数，则d为整数，而d>0,则d是正整数，

由题意，设&=38,则殁+i=38+d是数列｛%｝中的项，故38(38+4)是数列中的项，

设4=38(38+d),则4—口左=38(38+d)—38=38x37+38d=(s—k)d,

变形可得：(s—左—38>d=38x37,

因为s—左—38eN,且deN*,故d是38x37的约数，

所以d=l、2、19、37、2义19、2x37、19义37、38x37,

当d=l时，ax=38—(A:—l)tf>0,得左=1、2、…、38、39,

故为=38、37、…2、1、0,共39种可能；

当d=2时，%=38—2(左一1)20,得k=1、2、…、18、19、20,

故为=38、36、…2、0,共20种可能；

当d=19时，q=38—19(左一l)d20,得左=1、2、3,

故为=38、19/0,共3种可能；

当d=37时，=38—37(k—l)d>0,得左=1、2,

故％=38、1,共2种可能；

当d=38时，a,=38-38(^-1)67>0,得左=1,故q=38,共1种可能；

当d=2x37时，t/j=38—2x—V)d>0,得左=1,故q=38,共1种可能；

当4=19x37时，4=38-19x37（左—l）d..0,得左=1,故4=38,共1种可能;

当d=38x37时，q=38—38x37(左—l)d20,得k=1,故%=38,共1种可能；

综上，满足题意的数列共有39+20+3+2+2+1+1+1=69种.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分)

每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.【答案】A

14.【答案】C

【解析】由基本初等函数的单调性即可得C,故选C.

15.【答案】C

【解析】如图，以。为坐标原点，分别以'、DC、DA所在直线为x、八z轴建立空间直角坐标系,

由正方体的对称性可知，平面48。，2(3,0,0),G(0,3,3),£(3,1,0),

设/关于平面48。的对称点为"，AQ=(-3,3,3)，AQ=732+32+32=373,

—X—x3x3x3

由等体积法求得A到平面A.BD的距离h=

-x-x3V2x3V2X------

32

—.2——►

AA'=-AQ=(-2,2,2).

设H(x,y,z),则衣=(x—3/,z)=(—2,2,2),即4(1,2,2),

.-.K?=(-2,1,2),可得|PZ|+|PE|的最小值是，(-2)2+F+2?=3.故选:c.

16.【答案】C

【解析】设点0的坐标为(%,%),7(7,0)是x轴上一点，

由抛物线的性质知点F的坐标为(1,0),则|QF|=J(x0-1『+了］,\QT\=J(/T)2+口：,

令|QB=2|QT|,则小。一丁+需=2加。-)2+说,

将第=—『+10%—21，代入化简得”4,即点7(4,0)满足|。列=2|。7|,

所以2|尸。|+|。尸|=2||+2||=2(|尸。|+|QT|),

,2\17~2VI~4

设点尸坐标为［*|07|=’［全—4)+j,2=^-7i+16>273,

所以2|尸。|+|QF|=2(|尸。|+||)22|PT4G.故选：C.

三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写

出必要的步骤.

4/、

17.【答案】(1)。〃=2〃—11(2)2/—15+§(4〃—1)

【解析1(1)由生气=—5,Sg——169可得(%+2d)(/+5d)=—5,8%+28d=—16,

即241+1d=—4,由于d>0,可得4+2d——5,q+5d-1,

解得力=—9,d=2,则氏=一9+2(〃-1)=2〃一11.

an,n=2k—\2〃-11,〃=2^-1/*

⑵b[keN

n2\n=2k2"=2左'

可得数列出｝的前加项和

T2K=(—9—5—1+3+…+4〃—13)+(4+16+…+4")=；〃(—9+4〃—13)+

=2"-11«+1(4,'-1).

18.【答案】(1)不是；(2)-,—1

3

【解析】(1)要想/(x)为“准奇函数”，存在x满足/(—x)=—/(x),

只需——=—二上有解，整理得：/+3=0无解，

—X+1x+1

J(x)不是“准奇函数”.

(2)因为g(x)=3工+》为定义在［-1,1］的“准奇函数”,

所以+机=—3"—加在［―1,1］上有解，即2切=—(3,+3一工)在［―1,1］上有解,

令/=3*e—,3,，2机=一(7+1]在/e—,3上有解,

[3」It)13」

又对勾函数＞=7+；在上单调递减，在(1,3］上单调递增，且”;时，J=y；/=3时,

10

y=一

3

jmin=1+1=2,y=/+；的值域为2,y'2mG-y,-2,解得机e-1,-1

故实数加的取值范围是-3,-1.

3

19.【答案】（1）见解析；（2）

5

【解析】（1）因为尸平面48C,BALBC,故以8为坐标原点，

而为无轴正方向，反；为y轴正方向，与而同向的方向为z轴正方向,

建立空间直角坐标系，设|OP|=x,

’33/31「336)

故8(0,0,0),2(3,0,0),O-，^―,0,P—,工,x,£>(0,73,0),

、22J(22,

f33A/3J

贝I」石=(-3,6,0),BO=BP=

122J

因为赤.团=—3x2+Gx迪=0,力.丽=—3x』+Gx述=0,

2222

故4DL80,ADVBP,又BPCBO=B,所以40,平面80P.

（2）由题意，圆锥侧面积S=3兀义尸幺=18兀，所以R4=6,OP=x=3A/3,

由（1）知，赤=（—3,g,0）为平面8。尸的一个法向量,

设平面4gp的一个法向量为玩=（a,b,c）,而方=（3,0,0）,

m-BA=3。=0

故＜_3r-，取6=2,可得比=(0,2—1),

m-BP=-a+—b+3>j3c=0

22

V5

则|cos〈西40〉|=即二面角O-BP-A的余弦值为—.

5

20.【答案】（1）x=l或x=log23；（2）见解析；（3）一00,一；）ua,+00）

【解析】(1)由题意/(0)=1+。=7,r.a=6,/(x)=2A+—,

2X

由2*+(=5可得2工=2或2*=3,.•.1=1或》=1。823.

(2)函数定义域R,

①当/（X）为奇函数时，/（—X）=-/（X），

2T+=—(2*+~^~]，(1+<2)+^7J=0,.1a=一1;

②当/(x)为偶函数时，/(-%)=f(x),

—/="+品，,(I-a)"q[=0，•,■«=1.

③当aw±1时，函数/(x)为非奇非偶函数，

r

(3)当a=1时，f(x)=2+,任取X],x2e[0,+oo),设毛<%,

f(xA-f(xA=^+--—2X>--=2X2—2』+-——-

J、乙)，\1/2%22*12*22,

=2*-2X1+2"2*=⑵_2』)(1——i—],

2x2.2不、/12巧.2X})

又2、2—2%〉0,142$<2*,所以1—之、[,、]〉0,故/(%)一/(石)>0，即/(》2)>/(苞)，

函数/(x)在[0,+oo)上是严格增函数，因此J(2x)>/(x+1)2x|>|x+l|,

解集为U(1,+℃).

（6、

21.【答案】（1）0,—；(2)(i)见解析；(ii)36,也

I2J3

【解析】（1）由题意可知椭圆满足b〉c〉On/〉。2_c2〉。2=/〉2c2ne?＜工,

2

故ee0,—.

I2J

(2)(i)由测量数据可得2a=4,2c=2,

22

故G：、+]-=l，片（T,0），墙壁所在直线x=—4

易知直线£4斜率存在，设=左（》+1）,可得幺（—4,—3左）,

,