人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：6 2 2　排列数

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE16.2.2排列数学习目标1.能用计数原理推导排列数公式.2.能用排列数公式解决简单的实际问题．知识点一排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示．思考排列与排列数相同吗？〖答案〗排列数是元素排列的个数，两者显然不同．知识点二排列数公式及全排列1．排列数公式的两种形式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.(2)Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为Aeq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.1．Aeq\o\al(2,3)＝________.〖答案〗62．Aeq\o\al(2,n)＝132，则n＝________.〖答案〗123．Aeq\o\al(x,5)＝20，则x＝________.〖答案〗24．甲、乙、丙三人站成一排，共有________种不同站队方式．(用排列数表示)〖答案〗Aeq\o\al(3,3)5.eq\f(A\o\al(3,7),A\o\al(3,8))＝________.〖答案〗eq\f(5,8)一、排列数公式的应用命题角度1利用排列数公式求值例1－1计算：Aeq\o\al(3,15)和Aeq\o\al(6,6).解Aeq\o\al(3,15)＝15×14×13＝2730，Aeq\o\al(6,6)＝6×5×4×3×2×1＝720.命题角度2利用排列数公式化简例1－2(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；(2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)．解(1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).(2)由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)＝Aeq\o\al(m＋1,n＋m).命题角度3利用排列数公式证明例1－3求证：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).证明∵Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n＋1！,n＋1－m！)－eq\f(n！,n－m！)＝eq\f(n！,n－m！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,n－m！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,n＋1－m！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，∴Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).反思感悟排列数公式的选择(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．跟踪训练1不等式Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)的解集为()A．〖2,8〗B．〖2,6〗C．(7,12)D．{8}〖答案〗D〖解析〗由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,8－x！)<6×eq\f(8！,10－x！)，化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，①又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－2≥0，))所以2≤x≤8，②由①②及x∈N*，得x＝8.二、排队问题命题角度1“相邻”与“不相邻”问题例2－13名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？(1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．解(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有Aeq\o\al(3,3)种排法，女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有Aeq\o\al(4,4)种排法，全体男生、女生各看作一个元素全排列有Aeq\o\al(2,2)种排法，由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(种)排法．(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720(种)不同的排法．(3)(不相邻问题插空法)先排女生有Aeq\o\al(4,4)种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有Aeq\o\al(3,5)种排法，故有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(种)不同的排法．(4)先排男生有Aeq\o\al(3,3)种排法，让女生插空，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144(种)不同的排法．命题角度2定序问题例2－27人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？解(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520(种)不同的排法．(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的eq\f(1,A\o\al(3,3)).故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840(种)不同的排法．命题角度3元素的“在”与“不在”问题例2－3从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？解(1)方法一把元素作为研究对象．第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有Aeq\o\al(5,6)种排法．第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有Aeq\o\al(4,6)种排法．根据分步乘法计数原理，有4×Aeq\o\al(4,6)种排法．由分类加法计数原理知，共有Aeq\o\al(5,6)＋4×Aeq\o\al(4,6)＝2160(种)排法．方法二把位置作为研究对象．第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有Aeq\o\al(1,6)种方法；第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有Aeq\o\al(4,6)种方法．由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(4,6)＝2160(种)排法．方法三(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有Aeq\o\al(5,7)种，甲在首位的情况有Aeq\o\al(4,6)种，所以符合要求的排法有Aeq\o\al(5,7)－Aeq\o\al(4,6)＝2160(种)．(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置．第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有Aeq\o\al(2,6)种方法；第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有Aeq\o\al(3,5)种方法．根据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(2,6)·Aeq\o\al(3,5)＝1800(种)方法．(3)把位置作为研究对象．第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有Aeq\o\al(2,5)种方法；第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有Aeq\o\al(3,5)种方法．根据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(3,5)＝1200(种)方法．(4)间接法．总的可能情况有Aeq\o\al(5,7)种，减去甲在首位的Aeq\o\al(4,6)种排法，再减去乙在末位的Aeq\o\al(4,6)种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次Aeq\o\al(3,5)种排法，所以共有Aeq\o\al(5,7)－2Aeq\o\al(4,6)＋Aeq\o\al(3,5)＝1860(种)排法．反思感悟排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．(2)对于不相邻的元素插入空中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．(4)对于“决．跟踪训练2三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有Aeq\o\al(3,3)种不同的排法．因此共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)＝4320(种)不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有Aeq\o\al(5,5)种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有Aeq\o\al(3,6)种排法，因此共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,6)＝14400(种)不同的排法．(3)方法一(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有Aeq\o\al(2,5)种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(种)不同的排法．方法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)种不同的排法，从中扣除女生排在首位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)种排法和女生排在末位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(种)不同的排法．方法三(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有Aeq\o\al(3,6)种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有Aeq\o\al(5,5)种不同的排法，所以共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(5,5)＝14400(种)不同的排法．(4)方法一(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)种不同的排法；如果首位排女生，有Aeq\o\al(1,3)种排法，那么末位就只能排男生，这样可有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，因此共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(种)不同的排法．方法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(种)不同的排法．1．Aeq\o\al(3,9)等于()A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3〖答案〗C2．89×90×91×92×…×100可表示为()A．Aeq\o\al(10,100)B．Aeq\o\al(11,100)C．Aeq\o\al(12,100)D．Aeq\o\al(13,100)〖答案〗C〖解析〗89×90×91×92×…×100＝eq\f(1×2×…×100,1×2×…×88)＝eq\f(100！,88！)＝Aeq\o\al(12,100).3．3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，