人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业6：习题课 两个计数原理及排列组合练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1习题课两个计数原理及排列组合基础达标一、选择题1．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB型四种之一．依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型．若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有()A．12种 B．6种C．10种 D．9种〖解析〗由题意，他的父母的血型都是A，B，O三种之一，由分步乘法计数原理知，其父母血型的所有可能情况共有3×3＝9(种)．〖答案〗D2．若Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(4,n)，则eq\f(n！,3！（n－3）！)的值为()A．1 B．20C．35 D．7〖解析〗若Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(4,n)，则eq\f(n（n－1）（n－2）,3×2×1)eq\f(n（n－1）（n－2）（n－3）,4×3×2×1)，可得n＝7，所以eq\f(n！,3！（n－3）！)＝eq\f(7！,3！4！)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.〖答案〗C3．在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是()A．120 B．204C．168 D．216〖解析〗由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2Ceq\o\al(3,9)＝168(个)，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有Ceq\o\al(2,9)＝36(个)，根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选B.〖答案〗B4．有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有()A．72种 B．54种C．48种 D．8种〖解析〗用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)，第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有Aeq\o\al(3,3)种，由分步乘法计数原理可知共有Aeq\o\al(3,3)·(Aeq\o\al(2,2))3＝48(种)．〖答案〗C5．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退烧药b1，b2，b3，b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a1，a2两种药必须同时使用，且a3，b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案共有()A．56种 B．28种C．21种 D．14种〖解析〗分3类：当取a1，a2时，再取退烧药有Ceq\o\al(1,4)种方案；取a3时，取另一种消炎药的方法有Ceq\o\al(1,2)种，再取退烧药有Ceq\o\al(1,3)种，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)种方案；取a4，a5时，再取退烧药有Ceq\o\al(1,4)种方案．故共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,4)＝14(种)不同的实验方案．〖答案〗D二、填空题6．小明、小红等4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格，则每所大学恰有两位同学申请，且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有__________种．〖解析〗设小明、小红等4位同学分别为A，B，C，D，小明、小红没有申请同一所大学，则组合为(AC，BD)与(AD，BC)．若AC选甲学校，则BD选乙学校，若AC选乙学校，则BD选甲学校；若AD选甲学校，则BC选乙学校，若AD选乙学校，则BC选甲学校．故共有4种方法．〖答案〗47．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是__________．〖解析〗按从事司机工作的人数进行分类：①有1人从事司机工作：Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝108(种)；②有2人从事司机工作：Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18(种)．∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.〖答案〗1268．连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体．〖解析〗从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有Ceq\o\al(4,6)种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成Ceq\o\al(4,6)－3＝12(个)四面体．〖答案〗12三、解答题9．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？解(1)有Aeq\o\al(5,5)＝120(种)不同的方法．(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24(种)不同的方法．(3)按人数分配方式分类：①3，1，1，有eq\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝60(种)方法；②2，2，1，有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝90(种)方法．故共有60＋90＝150(种)分配方法．10．从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？解(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有Ceq\o\al(3,4)种情况．第二步，在5个奇数中取4个，有Ceq\o\al(4,5)种情况．第三步，将3个偶数、4个奇数进行排列，有Aeq\o\al(7,7)种情况．所以符合题意的七位数有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(7,7)＝100800(个)．(2)在上述七位数中，3个偶数排在一起的有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,3)＝14400(个)．(3)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝5760(个)．(4)在(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空位(包括两端)中，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝28800(个)．能力提升11．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为__________．〖解析〗首先排两个奇数1，3，有Aeq\o\al(2,2)种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有Ceq\o\al(1,2)种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有Aeq\o\al(2,2)种排法，即满足条件的四位数的个数为Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝8.〖答案〗812．4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？解本题分两种情况讨论．(1)如果4位同学中有2人选甲，2人选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24(种)不同的情况．(2)如果4位同学都选甲或者都选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝12(种)不同的情况．综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况．创新猜想13．(多空题)商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有__________种不同的选法．要买上衣、裤子各一件，共有__________种不同的选法．〖解析〗买上衣，有15种选法；买裤子，有18种选法．买1件上衣或1件裤子有15＋18＝33(种)选法．买一件上衣和一条裤子，有15×18＝270(种)选法．〖答案〗3327014．(多空题)将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为__________；恰有一个空盒子的方法数为__________．〖解析〗先把8个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然