人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业3：7 3 1 离散型随机变量的均值练习VIP

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1§7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值1．某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：日需求量n1415161820频率0.10.20.30.20.2试估计该商品日平均需求量为()A．16B．16.2C．16.6D．16.8〖答案〗D〖解析〗估计该商品日平均需求量为14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故选D.2．(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则()X4a9P0.50.1bA.a＝7 B．b＝0.4C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62〖答案〗ABC〖解析〗由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，解得b＝0.4，a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故ABC正确．3．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为eq\f(1,6)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为()A．1.18B．3.55C．1.23D．2.38〖答案〗A〖解析〗因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，P(X＝1.2)＝eq\f(1,6)，P(X＝1.18)＝eq\f(1,2)，P(X＝1.17)＝eq\f(1,3)，所以X的分布列为X1.21.181.17Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)所以E(X)＝1.2×eq\f(1,6)＋1.18×eq\f(1,2)＋1.17×eq\f(1,3)＝1.18.4．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于()A．2B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,5)D.eq\f(7,5)〖答案〗D〖解析〗由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(2,5)，P(X＝1)＝eq\f(1,10)，P(X＝2)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(3,10).∴E(X)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(3,10)＝eq\f(7,5).5．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是()A.eq\f(6,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(4,5)D.eq\f(1,5)〖答案〗A〖解析〗由题意得，X的所有可能的取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)×C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).∴E(X)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＝eq\f(6,5)，故A正确．6．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝________.〖答案〗2〖解析〗∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.7．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＝________，b＝________.〖答案〗eq\f(1,10)0〖解析〗易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②由①②，得a＝eq\f(1,10)，b＝0.8．某射手射击所得环数X的分布列如下：X78910Px0.10.3y已知E(X)＝8.9，则y的值为________．〖答案〗0.4〖解析〗由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0.6，,7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0.2，,y＝0.4.))9．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．解X的可能取值为1,2,3，则P(X＝1)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×1＝eq\f(1,10).所以抽取次数X的分布列为X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)所以E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).10．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为eq\f(1,3)，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：(1)随机变量ξ的分布列；(2)随机变量ξ的均值．解(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.则P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)·23,34)＝eq\f(32,81)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·22,34)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)·2,34)＝eq\f(8,81)，P(ξ＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,81).从而ξ的分布列为ξ01234Peq\f(16,81)eq\f(32,81)eq\f(8,27)eq\f(8,81)eq\f(1,81)(2)由(1)得ξ的均值为E(ξ)＝0×eq\f(16,81)＋1×eq\f(32,81)＋2×eq\f(8,27)＋3×eq\f(8,81)＋4×eq\f(1,81)＝eq\f(4,3).11．某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A．2000元 B．2200元C．2400元 D．2600元〖答案〗B〖解析〗出海的期望效益E(X)＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元)．12．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为()A．无法确定B．0C．E(X)D．2E(X)〖答案〗B〖解析〗∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.13．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)则E(ξ)的最大值为()A．1B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3)D．2〖答案〗B〖解析〗由p≥0，eq\f(1,2)－p≥0，得0≤p≤eq\f(1,2)，则E(ξ)＝p＋1≤eq\f(3,2)，故选B.14．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为eq\f(4,9)，乙、丙应聘成功的概率均为eq\f(t,3)(0<t<3)，且三人是否应聘成功是相互独立的．若甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是eq\f(16,81)，则t＝________，设ξ表示甲、乙两人中应聘成功的人数，则ξ的均值是________．〖答案〗2eq\f(10,9)〖解析〗依题意，得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是eq\f(4,9)×eq\f(t,3)×eq\f(t,3)＝eq\f(16,81)，解得t＝2，所以乙应聘成功的概率为eq\f(2,3)，则ξ的所有可能的取值为0,1,2，P(ξ＝2)＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝1)＝eq\f(4,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,9)))×eq\f(2,3)＝eq\f(14,27)，P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,9)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(5,27)，则E(ξ)＝2×eq\f(8,27)＋1×eq\f(14,27)＋0×eq\f(5,27)＝eq\f(10,9).15．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值可以为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,12)〖答案〗AB〖解析〗根据题意，X的所有的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，结合p的实际意义，可得0<p<eq\f(1,2)，即p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).结合选项可知AB正确．16．某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．(1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润x(单位：元)关于当天需求量n(单位：盒，n∈N*)的函数〖解析〗式；(2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量(单位：盒)，整理得下表：日需求量48495051525354频数10201616151310以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及均值；②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．解(1)当n<50时，y＝5n－50×3＝5n－150，当n≥50时，y＝50×(5－3)＝100，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5n－150，n<50，,100，n≥50))(n∈N*)．(2)①由(1)可知，n＝48时，X＝90，当n＝49时，X＝95，当n≥50时，X＝100.∴X的可能取值为90,95,100.P(X＝90)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10)，P(X＝95)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(X＝100)＝eq\f(100－30,100)＝eq\f(7,10).∴X的分布列为X9095100Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(7,10)∴E(X)＝eq\f(1,10)×90＋eq\f(1,5)×95＋eq\f(7,10)×100＝98.②由①知当购进50盒时，E(X)＝98.当购进51盒时，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5n－153，n<51，,102，n≥51))(n∈N*)，设Y表示当天的利润，∴当n＝4