人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业5：6 2 3 第1课时 组合与组合数练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE16.2.3组合第1课时组合与组合数课时对点练1．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有()A．由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数C．由1,2,3组成两位数的不同方法数D．由1,2,3组成的无重复数字的两位数〖答案〗AB2．若Ceq\o\al(2,n)＝36，则n的值为()A．7B．8C．9D．10〖答案〗C〖解析〗∵Ceq\o\al(2,n)＝36，∴eq\f(1,2)n(n－1)＝36，即n2－n－72＝0，∴(n－9)(n＋8)＝0.∵n∈N*，∴n＝9.3．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有()A．Aeq\o\al(4,5)种 B．45种C．54种 D．Ceq\o\al(4,5)种〖答案〗D〖解析〗由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有Ceq\o\al(4,5)种．4．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为()A．4B．8C．28D．64〖答案〗C〖解析〗由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建Ceq\o\al(2,8)＝eq\f(A\o\al(2,8),A\o\al(2,2))＝eq\f(8×7,2×1)＝28(条)公路．5．从2,3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为()A．35B．42C．105D．210〖答案〗A〖解析〗由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.6．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是()A．90B．115C．210D．385〖答案〗B〖解析〗依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)＝90(种)；三个黑球，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＝24(种)；四个黑球，有Ceq\o\al(4,4)＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115.7．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为__________．(用数字作答)〖答案〗210〖解析〗从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有Ceq\o\al(4,10)＝210(种)分法．8．若Aeq\o\al(4,2n)＝120Ceq\o\al(2,n)，则n＝________.〖答案〗3〖解析〗2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝eq\f(120nn－1,2)，化简得，n2－2n－3＝0，解得n＝3或n＝－1(舍去)，所以n＝3.9．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差数列，求Ceq\o\al(12,n)的值．解由已知得2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，所以2·eq\f(n！,5！n－5！)＝eq\f(n！,4！n－4！)＋eq\f(n！,6！n－6！)，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求Ceq\o\al(12,n)的值，故n≥12，所以n＝14，所以Ceq\o\al(12,14)＝eq\f(14！,12！2！)＝eq\f(14×13,2×1)＝91.10．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45(种)．(2)从6名男教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,6)种，从4名女教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,4)种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(6×5,2×1)×eq\f(4×3,2×1)＝90(种)．11．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个C．63个 D．126个〖答案〗D〖解析〗此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为Ceq\o\al(4,9)＝126(个)．12．(多选)下列选项正确的是()A．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),m！) B．Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n－1)C．Ceq\o\al(m,n)÷Ceq\o\al(m＋1,n)＝eq\f(m＋1,n－m) D．Ceq\o\al(m＋1,n＋1)＝eq\f(n＋1,m＋1)Ceq\o\al(m,n)〖答案〗ACD〖解析〗A显然成立；对于B选项，Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，Aeq\o\al(m－1,n－1)＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)，故B不成立；对于C选项，Ceq\o\al(m,n)÷Ceq\o\al(m＋1,n)＝eq\f(C\o\al(m,n),C\o\al(m＋1,n))＝eq\f(A\o\al(m,n)·m＋1！,m！·A\o\al(m＋1,n))＝eq\f(m＋1,n－m)，故C成立；对于D选项，Ceq\o\al(m＋1,n＋1)＝eq\f(A\o\al(m＋1,n＋1),m＋1！)＝eq\f(n＋1·A\o\al(m,n),m＋1m！)＝eq\f(n＋1,m＋1)Ceq\o\al(m,n)，故D成立．13．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是()A．5040 B．36C．18 D．20〖答案〗D〖解析〗最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有Ceq\o\al(3,6)＝20(种)．14．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有________种．〖答案〗36〖解析〗把4名学生分成3组有Ceq\o\al(2,4)种方法，再把3组学生分配到3所学校有Aeq\o\al(3,3)种方法，故共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)保送方案．15．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条．〖答案〗126〖解析〗要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(5,5)＝126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条．16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问：全部赛程共需比赛多少场？解(1)小组赛中每组6队