人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业4：7 4 2 超几何分布练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.4.2超几何分布1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是()A.eq\f(37,42)B.eq\f(17,42)C.eq\f(10,21)D.eq\f(17,21)〖答案〗C〖解析〗根据题意，得P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).2．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))的是()A．P(0<X≤2) B．P(X≤1)C．P(X＝1) D．P(X＝2)〖答案〗B〖解析〗本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．3．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是()A．n B.eq\f(n－1M,N)C.eq\f(nM,N) D.eq\f(n＋1M,N)〖答案〗C〖解析〗设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，∴抽到的次品数的均值E(X)＝eq\f(nM,N).4．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为()A.eq\f(5,42)B.eq\f(4,35)C.eq\f(19,42)D.eq\f(8,21)〖答案〗A〖解析〗正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,210)，当1个正品3个次品时，P＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(3,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(24,210)＝eq\f(4,35)，所以正品数比次品数少的概率为eq\f(1,210)＋eq\f(4,35)＝eq\f(5,42).故选A.5．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为()A.eq\f(2,245)B.eq\f(9,49)C.eq\f(47,245)D．以上都不对〖答案〗A〖解析〗设抽到的次品数为X，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝5，n＝2.于是出现2件次品的概率为P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2－2,45),C\o\al(2,50))＝eq\f(2,245).6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.〖答案〗eq\f(15,38)〖解析〗易知P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,15),C\o\al(2,20))＝eq\f(15,38).7．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)＝________，随机变量X的均值E(X)＝________.〖答案〗eq\f(14,15)0.6〖解析〗X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＋eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,7),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)＋eq\f(7,15)＝eq\f(14,15)，E(X)＝eq\f(2×3,10)＝0.6.8．数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________．〖答案〗eq\f(4,5)〖解析〗设X表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).9．从4的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．解(1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,2)·C\o\al(3－k,4),C\o\al(3,6))，k＝0,1,2.所以，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).所以，ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝eq\f(4,5).10．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列．解(1)设任取一件产品是二等品的概率为p，依题意有P(A)＝p2＝0.04，解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)，故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(28,45)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,45).所以X的分布列为X012Peq\f(28,45)eq\f(16,45)eq\f(1,45)11．(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为eq\f(16,45)，则a等于()A．1B．2C．4D．8〖答案〗BD〖解析〗由题意知，eq\f(16,45)＝eq\f(C\o\al(1,10－a)C\o\al(1,a),C\o\al(2,10))，整理，得a2－10a＋16＝0，解得a＝2或8.12．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是eq\f(3,10)的事件为()A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的〖答案〗C〖解析〗设“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,10))(k＝1,2,3,4)．所以P(X＝1)＝eq\f(1,30)，P(X＝2)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)，P(X＝4)＝eq\f(1,6)，故选C.13．一只袋内装有m个白球，(n－m)个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n))的是()A．P(X＝3) B．P(X≥2)C．P(X≤3) D．P(X＝2)〖答案〗D〖解析〗当X＝2时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有Aeq\o\al(2,m)种取法，再任意拿出1个黑球即可，有Ceq\o\al(1,n－m)种取法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即Aeq\o\al(3,n)，P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(2,m)C\o\al(1,n－m),A\o\al(3,n))＝eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n)).故选D.14．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为________，记甲答对试题的个数为X，则X的均值E(X)＝________.〖答案〗eq\f(11,14)3〖解析〗依题意，甲能通过的概率为P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(3,6),C\o\al(4,8))＋eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(4,6),C\o\al(4,8))＝eq\f(8,14)＋eq\f(3,14)＝eq\f(11,14).由于P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,6),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,14)，方法一故E(X)＝2×eq\f(3,14)＋3×eq\f(8,14)＋4×eq\f(3,14)＝3.方法二E(X)＝eq\f(4×6,8)＝3.15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．〖答案〗15〖解析〗用X表示中奖票数，P(X≥1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(n－1,48),C\o\al(n,50))＋eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(n－2,48),C\o\al(n,50))>0.5，解得n≥15.16．求：(1)取出的3件产品中一等品件数为X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为Ceq\o\al(3,10)，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为Ceq\o\al(k,3)Ceq\o\al(3－k,7)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，k＝0,1,2,3.∴随机变量X的分布列为X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”