2024-2025学年广西南宁某中学九年级（上）开学数学试卷+答案解析

2024-2025学年广西南宁三中青秀校区九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

的绝对值是（）

A.-2B.--C.2D.-

22

2.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学

习人次达1290000000,建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（）

A.1.29x108B.12.9x108C.1.29x109D.129x107

3.为了解我校初三年级所有同学的数学成绩，从中抽出500名同学的数学成绩进行调查，抽出的500名考

生的数学成绩是（）

A.总体B.样本C.个体D.样本容量

4.下列计算正确的是（）

A.3a2—=1B.a34-a2=a(a40)

。Q・Q=aD.(2a)3=6a3

5.不等关系在生活中广泛存在.如图，°、6分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体

现的数学原理是（）

A.右a〉b，则a+c〉b+cB.若a〉b，b>c>则a〉c

C.若a〉b,c>0,则ac>beD.若a〉b,c>0,则

cc

6.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力

用的方向与斜面垂直，摩擦力同的方向与斜面平行.若斜面的坡角a=25°，则摩

擦力用与重力G方向的夹角0的度数为（）

A.155°

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B.125°

C.115°

D.65°

7.如图，在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等),

水渠把耕地分成面积均为885平方米的6个矩形小块，求水渠宽度.设水渠宽xT

m,列方程正确的是()60ml।--------

A.(92+2s)(60+/)=885"IIII

B.(92-2立)(60-2)=885

C.(92+2*(60+劝=885x6

D.(92—2c)(60—切=885x6

8.如图，在△ABC中，。是边的中点.按下列要求作图：①以点8为圆心、适当A

长为半径画弧，交线段80于点。，交BC于点E；②以点。为圆心、2。长为半径O/G

画弧，交线段ON于点尸；③以点尸为圆心、。£长为半径画弧，交前一条弧于点G,Dy/

点G与点。在直线48同侧；④作直线OG,交ZC于点刊.下列结论不一定成立的B~E

是()

A.AAOM=ZBB.AOMC+NC=180°

C.AM=CMD.OM=1AB

9.如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架/AO8,C...............................

且A4QB=120°，AO=BO=4cm，将一根橡皮筋两端固定在点/，/\//

8处，拉展成线段N8,在平面内，拉动橡皮筋上的一点C,当四边形。NC8/'//

是菱形时，橡皮筋再次被拉长了()

A.4cmB.8cmC.(8—4A/3)cmD.

(4—2v/3)cm

10.如图，已知矩形纸片/BCD,其中45=6,BC=8,现将纸片进行如下操作：第一步，如图①将纸片

对折，使45与QC重合，折痕为£尸，展开后如图②；第二步，再将图②中的纸片沿对角线助折叠，展开

后如图③；第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点。落在对角线5。上的点〃处，如图④.则

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C〃的长为（）

A.竺D.3

5B邛

11.对称轴为直线/=1的抛物线?/=。/+法+c（Q、氏C为常数，且（#0）如图

所示，小明同学得出了以下结论：①abc<0,②当/<—1时，歹随x的增大而增

大，③4a+2b+c〉0,④a+b4+为任意实数）.其中结论正确的

个数为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

12.如图1,矩形45CD中，AD为其对角线，一动点尸从。出发，沿着0—6一。的路径行进，过点尸

作PQLCD,垂足为。设点P的运动路程为x,PQ—0Q为力〉与x的函数图象如图2,则/。的长为（）

「811

B,3D.

A・竽T

二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

13.计算:25的平方根是

14.若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为0

15.若关于x的一元二次方程/-4/+2k=0有两个相等的实数根，则k的值为

16.如图，D,£分别是△48。边48,NC的中点，连接BE,DE.若

/AED=/BEC,DE=2,则的长为

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BC

3

17.飞机着陆后滑行的距离人单位：M)关于滑行时间*单位：s)的函数解析式是沙=601-,2.在飞机着陆

滑行中，飞机从开始滑行到停止所需时间为秒.

18.如图，在矩形4BCD中，AB=8,BC=6,E,尸分别是40,的中点，AADC

的平分线交于点G,点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为.

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题6分)

计算：(—1严24+忻—3].

20.(本小题6分)

21.(本小题10分)

如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系.△/BC的三个顶点

坐标分别为4(1,4),5(5,1),以3,5).

(1)填空：△ABC的面积为；

⑵把△AB。先向左平移5个单位长度得到△4BQ1，再将沿x轴翻折得到△4比。2,请在平

面直角坐标系中直接画出与XAzBEz；

(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点尸，使△PB1B2的面积是的面积的一半？若存在，求出点

尸的坐标；若不存在，说明理由.

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22.

该题正在审核中，敬请期待〜

23.（本小题10分）

如图，在△48。中48=4。，。为的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC,DE相交于点。.

（1）求证：四边形NOCE是矩形;

⑵若N4OE=60°，4E=4，求4D的长.

24.（本小题10分）

某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他

们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律

符合一次函数的特征.

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时间X8时11时14时17时20时

仍自西向东交通量（辆/分钟）1016222834

92自东向西交通量（辆/分钟）2522191613

（1）请用一次函数分别表示次与X、g2与X之间的函数关系.（不写定义域）

（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向.单位时间内

2

双向交通总量为“总=明+"2,车流量大的方向交通量为Sn,经查阅资料得：当。总，需要使可变车

道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况.该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交

通拥堵，并说明理由.

西东西+东

»可变车道»

■■

图I图2

25.（本小题10分）

【课本再现】

（1）如图1,正方形/BCD的对角线相交于点。，点O又是正方形4场。10的一个顶点，而且这两个正方

形的边长都为1,四边形。助厂为两个正方形重叠部分.正方形4场。1。可绕点。转动.则下列结论正确的是

（填序号即可）.

①/\AEO乌ABFO；

②OE=OF；

③四边形厂的面积总等于:S正方形4BCD；

④连接£尸，总有4S2+。产=七产.

【类比迁移】

⑵如图2,矩形N3CD的中心。是矩形4B1G。的一个顶点，小。与边Z8相交于点E,CQ与边C3相

交于点尸，连接环，矩形4田Qi。可绕着点。旋转，猜想/E,CF,跖之间的数量关系，并进行证明；

【拓展应用】

（3）如图3,在中，/。=90°，AC=3cm,BC=4cm,直角/EO尸的顶点。在边NB的中点

处，它的两条边和。产分别与直线/C,3c相交于点£,F,/EDF可绕着点。旋转，当AE=2cm时,

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求线段昉的长度.

如图，抛物线g=—/+近+C与X轴交于4(1,0),3(—5,0)两点，与夕轴交于点CP是抛物线上的任意

一点(不与点C重合)，点P的横坐标为机，抛物线上点。与点P之间的部分(包含端点)记为图象G.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P位于线段3c上方，求面积的最大值；

(3)若图象G的最大值与最小值的差为4,求m的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：］；|=；,故选D

根据绝对值的性质计算，。是正有理数时，。的绝对值是它本身a.

本题考查了绝对的性质，如果用字母。表示有理数，则数。绝对值要由字母。本身的取值来确定：

①当。是正有理数时，a的绝对值是它本身.；

②当。是负有理数时，。的绝对值是它的相反数一a；

③当a是零时，。的绝对值是零.

(a(Q>0)

即\a\=《0(。=。)

I-a(a<0)

2.【答案】C

【解析】解：1290000000=1.29x1091

故选：C.

将一个数表示成axICT的形式，其中1(同〈10,〃为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求

得答案.

本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：抽出的500名考生的数学成绩是样本，

故选：B.

根据总体、个体、样本、样本容量的定义逐个判断即可.

本题考查了总体、个体、样本、样本容量等知识点，能熟记总体、个体、样本、样本容量的定义是解此题

的关键.

4.【答案】B

【解析】解：/、3a2-2a2=a2>原计算错误，不符合题意；

B、/+a?=a(ar0),正确，符合题意；

。、。2r3=05,原计算错误，不符合题意；

D、(2a)3=8&3,原计算错误，不符合题意.

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故选：B.

分别根据合并同类项的法则，同底数幕的乘法与除法法则，幕的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判

断即可.

本题考查的是合并同类项，同底数幕的乘法与除法，幕的乘方与积的乘方，熟知以上运算法则是解题的关

键.

5.【答案】A

【解析】解：由题意得，a>b>

：.a+c>b+c,

.•.图中两人的对话体现的数学原理是若a〉b,则a+c〉b+c.

故选：A.

根据不等式的性质判断即可.

本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质性质是解答本题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：如图，•.•支持力用的方向与斜面垂直，摩擦力伤的方向与斜面平行，\月

二…，

,重力G的方向竖直向下，莎/

Za+Zl=90°，

Z2=Z1=90°-25°=65°，------Vg-------

•.•摩擦力用的方向与斜面平行，

.•.N0+N2=180°,

Z/3=180°-N2=180°-65°=115°,

故选：C.

根据平行线的性质得到/3=90°，根据三角形的内角和定理得到Na+21=90°,求得

Z2=Z1=90°-25°=65°，根据平行线的性质即可得到结论.

本题考查了平行线的性质，正确地识别图形是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：由题意得:(92-2a;)(60-x)=885x6.

故选：D.

把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可.

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此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突

破.

8.【答案】D

【解析】解：由作图过程可知，AAOM=AB,

故/选项正确，不符合题意；

■：AAOM=AB，

：,OM//BC,

：.ZOMC+ZC=180°,

故3选项正确，不符合题意；

・；0是边N3的中点，OM»BC,

.♦.点M为/C的中点，

：,AM=CM,

故C选项正确，不符合题意；

根据已知条件不能得出ON=^AB,

故。选项不正确，符合题意.

故选：D.

由作图过程可知，AAOM=AB,则。M//B。，根据平行线的性质可得/。知。+/。=180°.根据。是

边的中点，OM^BC,可得点M为NC的中点，即4M=。川，进而可得答案.

本题考查作图-复杂作图、平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

9.【答案】C

【解析】解：连接C。，交4B于H,

•.•四边形/BCD是菱形，AAOB=12(r,

ABLOC，AAOC=ABOC=60°

AC=BC=AO=4cm，

：,ABAO=30°，

OH=；4O=2cwz，AH=V3OH

=2\/3cm，A0

AB=2AH=4-\/3cm>

橡皮筋再次被拉长了(8-4x/3)cm,

故选：C.

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由菱形的性质可得AAOC=ABOC=Q0°，AH=BH，AC=BC=AO=4cm，由等腰三

角形的性质可求4B=4gan，即可求解.

本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：如图④，连接C",

由折叠可得：BF=CF,CF=HF,

：,AFBH=NFHB，AFCH=4FHC，

.•.△BCB中，ZBHC=90°，

在矩形纸片/BCD,其中43=6，BC=8,

在Rt^BCD中，BD=W,

c”BCxCD24

-'-CH=^^=T

18

在RtACDH中，DH=VCD2-CH2=i/62-

T

故选：A.

连接C",依据折叠可得点8,点、H,点C在同一个圆上，即可得到NB8。为直角，进而利用面积法得出

S的长，利用勾股定理可得的长.

本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键要明确：折叠是一种对称

变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

11.【答案】A

【解析】解：①由图象可知：a〉0,c<0,

..b

F-L

b——2Q<0,

abc>0,故①错误；

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②•.•由图象可知，当2<—1时，y随X的增大而减小，故②错误；

③当工=2时，4=4a+26+c<0,故③错误；

④当2=1时，y取到值最小，此时，y=a+b+c,

而当T=时，y=am2+bm+c>

所以a+b+c《am?+bm+c，

故a+6(am?+即a+6<m(anz+b),故④正确，

故选：A.

由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴

交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数沙=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、

对称轴和抛物线与y轴的交点确定.

12.【答案】B

【解析】解：由图象得：CD=2,当+=4时，PQ=CD=2,

设AD—OD=a,则BO=4—a,

在中，BD2-BC2=CD2,

即：(4-a)?—(a+2)2=22,

9

解得：a=(,

o

AD=Q+2=w，

o

故选：B.

根据函数的图象与坐标的关系确定CD的长，再根据勾股定理列方程求解.

本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键.

13.【答案】±5

【解析】【分析】

本题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的平方根有

两个且互为相反数.

根据平方根的定义，结合(±5)2=25即可得出答案.

【解答】

解：•「(±5)2=25

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二25的平方根为±5.

故答案为：±5.

14.【答案】100

【解析】解：由题知，

•.•等腰三角形的一个底角的度数为40°,

二这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°，

等腰三角形的顶角的度数为：180°-2x40°=100°.

故答案为：100.

根据等腰三角形的性质即可解决问题.

本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键.

15.【答案】2

【解析】解：•.・关于x的一元二次方程川―4c+2k=0有两个相等的实数根，

A=62-4ac=16-8k=0，

解得：k=2.

故答案为：2.

利用判别式的意义得到△=(-4)2-讹=0,然后解关于k的方程即可.

本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握△=0有两个相等的实数根是解题的关键.

16.【答案】4

【解析】解：E分别是△ABC边/瓦/C的中点，

:.BC=2DE=2义2=4,DE//BC,

:./AED=NC,

■：AAED=ABEC，

：,乙BEC=2C,

，BE=BC=4,

故答案为：4.

根据三角形中位线定理得到=2DE=4,。，根据平行线的性质得到/4EO=根据题

意得到ABEC=AC，再根据等腰三角形的性质求出BE.

本题主要考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

17.【答案】20

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【解析】W：vy=60f-|i2=-|(t-20)2+600,

."=20时，y取最大值，

即飞机从开始滑行到停止所需时间为20s,

故答案为：20.

将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值时的t的值即可得到结论.

本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的最大距离即为y的最大值是解题的关键.

18.【答案】5+\/37

【解析】解：如图，在。。上截取。7,使得DT=DE,连接歹7,过点T作于点

•.,四边形48CD是矩形，

ZA=ZADT=90°,

■：^AHT=9Q°，

二,四边形是矩形，

AE=DE=|A£»=3.AF=FB==4,

：,AH=DT=3,HF=4F-4H=4-3=1,HT=AD=6,

：,FT=y/FH2+TH2=+62=商，

•;DG平分/ADC,DE=DT,

:.E、T关于。G对称，

：,PE=PT,

：,PE+PF=PF+PT>FT=V37,

-：EF=，4E2+止=^+42=5,

△EFP的周长的最小值为5+两，

故答案为：5+\/37.

如图，在。C上截取使得OT=0E，连接尸九过点7作THLLAB于点H,利用勾股定理求出歹7=两,

EF=5,证明PE+PR=PB+PT2JT,可得结论.

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本题考查矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决

问题，属于中考常考题型.

19.【答案】解：原式=1—4+7—3

=7T—6.

【解析】利用有理数的乘方法则，算术平方根的定义，绝对值的性质计算即可.

本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

20.【答案】解：在方程两边同乘以他+1),得：

22—@+1)=3,

解得：2=4,

检验：把工=4代入2+1,得：4+1=5#),

.•.2；=4是原分式方程的解.

【解析】先去分母，将分式方程化为整式方程，求出解后再进行检验，进而得出答案.

本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键.

21.【答案】5

【解析】解：的面积为1x(2+4)x4-|x2xl-|x4x3=12-l-6=5.

故答案为：5.

⑵如图，△4场。1与△人?昆。2即为所求.

(3)设点P的坐标为(m,0),

△2耳外的面积是△力的面积的一半,

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解得馆=5或《，

.,.点P的坐标为(-,0)或0).

(1)利用割补法求三角形的面积即可.

(2)根据平移的性质、翻折的性质分别作图即可.

(3)设点P的坐标为(恒,0),根据题意可列方程为gx2x|m|=gx5,求出加的值，即可得出答案.

本题考查作图-平移变换、翻折变换(折叠问题)，熟练掌握平移的性质、翻折的性质是解答本题的关键.

22.【答案】

该题正在审核中，敬请期待,

【解析】

该题正在审核中，敬请期待~

23.【答案】(1)证明：•.•四边形是平行四边形,

BDHAE,BD=AE

•.•。为8c中点，

:.DC=AE，

二.四边形/DCE是平行四边形，

-：AB=AC,。为8C中点，

：,ADLBC，

二平行四边形ADCE是是矩形；

(2)解：•.•四边形NDCE是矩形，

：,AO=CO=DO=EO,DC=AE,

■：AAOE=6Q°>AE=4,

△/OE是等边三角形，

/.AO=EO=AE=4,AC=8，

第16页，共22页

•/ZADC=90%

AD=y/AC2-DC2=4y3.

【解析】（1）先根据四边形N3DE是平行四边形和。为3c的中点，判定四边形4DCE是平行四边形，再结

合4B=AC，推出乙40。=90°，即可得出结论；

（2）根据NAOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出的长，

从而得到矩形ADCE对角线的长，最后利用勾股定理即可求解.

本题主要考查了矩形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知识，

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

24.【答案】解：⑴设讥=人口+（%、2为常数,且历#0）.

将工=8,见=10和X=11,阴=16代入？/1=自2+瓦，

得/8kl+瓦=10

付I11版+瓦=16'

解得[”2

[bi=-6

二.yi=2x-6.

设统=k22+加（心、电为常数,且无刈）.

将立=8，侬=25和2=11,沙2=22代入侬=后立+历，

彳白，8k2+62=25

,

1Uk2+b2=22

解得｛「/

2/2=—力+33.

⑵。总=%+"2=2/-6—/+33=”+27.

29

当阴》总时，即2/一62a（①+27），解得力》18；

OO

29

当於2w“总时，即一力+332百（力+27），解得力（9.

OO

,8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东.

【解析】（1）利用待定系数法求解即可；

29

⑵根据。总=阴+。2,求出“总关于X的函数关系式，分明》,总，52》铲总两种情况讨论，求出对应X

的取值范围即可.

本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键.

25.【答案】①②③④

第17页，共22页

【解析】解：（1）在正方形和正方形4耳。1。中，AB=BC，OA=OB，/。43=/。3。=45°，

/4。8=/4。。1=90°,

:"AOE=NBOF,

:.LAEO出ABFO,故①正确；

0E=OF,S/\AEO=SABFO,故②正确；

二.四边形OEBF的面积=SABOE+S^BOF=SABOE+SAAOE=S^AOB=；S正方形的。。，

四边形OEBF的面积总等于卜正方形.CD，故③正确；

如图，

■:LAEO名ABFO,

：.AE=BF,

：AB=BC，

：,BE=CF,

■：ZABC=90°>

：,BF2+BE2=EF2,

：,AE2+CF2=EF2>故④正确；

故答案为：①②③④

^AE2+CF2=EF2,理由如下：

连接/C,延长EO交CD于点G,连接尸G,

•.•0是矩形/BCD的中心，

.•.点。是NC的中点.

:.AO^CO,

•.•在矩形A8CD中，NBGD=90°，ABHCD-

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ABAO=ADCO，AAEO=ACGO，

：.AAEO出ACGO,

：.AE=CG,OE=OG,

在矩形AiBiCiO中，ZAiOCi=90°,

：,EF=FG,

在RtZSFCG中，S+CTJG/

AE2+CF2=EF2；

(3)设CF=xcm.

①当点£在线段NC上时，

,/AE=2cmJ

：.CE=1cm

•.,在RtZXFCE中，/。=90°，

：,CE2+CF2=EF2,

：,12+X2=EF^

又由(2)得：EF2=AE2+BF2^

：,EF2=22+BF2

12+X2=22+(4-J:)2,

IQ

解得工=木.

o

②当点£在C4延长线上时，同理可证8尸2=4E2+3尸2

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EF2=22+(4+rc)2,

又在Rt/\FCE中，EF2=x2+(3+2)2.

+(3+2)2=22+(4+a:)2

解得2=(

o

故EF的长度为电亘cm或电西cm.

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(1)先证明44石。04口/。，再根据全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，逐项判断即可求解；