函数模型及其应用（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第07讲函数模型及其应用

（3类核心考点精讲精练）

12.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

对数的运算性质的应用

2023年新I卷，第10题,5分对数函数模型的应用

由对数函数的单调性解不等式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图

象与性质，难度中等偏下，分值为5分

【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.

2.会比较一次函数、二次函数、基函数、对数函数、指数函数增长速度的差异

3.了解函数模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模

型）的广泛应用

【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是

新高考复习的重要内容

知识点1三种常见函数模型的性质

’-、々n，n上知识点2常见函数模型

/核心知识点

型及其恒）71-----------------------知识点3解函数模型问题的步骤

考点1指数函数模型

-、二q考点2对数函数模型

核心考点

考点3建立拟合函数模型解决实际问题

知识讲解

1.三种函数模型的性质

函数y=axy=log/y=xn

性质、

(«>1)(«>1)(〃>0)

在(0,+°°)_b

单调递增单调递增单调递增

的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现为随X的增大逐渐表随n值变化而各有

图象的变化

与1，轴平行现为与X轴平行不同

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=ax+b{a,b为常数，qWO)

二次函数模型fix)=ax2-\~bx~\-c(a,b,c为常数，oWO)

k

反比例函数模型4)=-+/左，b为常数且左WO)

指数函数模型f(x)=bax-\-c(a,b,c为常数，Q>0且QWI,6W0)

对数函数模型/(x)=blog/+c(a,b,c为常数，〃>0且aWl,bWO)

a

幕函数模型J(x)=ax+b(afb,a为常数，a#0,aWO)

3.解函数模型问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模

型.

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论.

(4)还原：将数学问题还原为实际问题.

以上过程用框图表示如下：

建立函数模型

--一抽象、转化

答数学推演

---------还原-----------

实际结果卜----------------数学结果

考点一、指数函数模型

典例引领

L（山东•高考真题）基本再生数Ro与世代间隔7■是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者

传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型:

/«）=e”描述累计感染病例数/（t）随时间t（单位:天）的变化规律，指数增长率r与Ro,T近似满足R0=l+”.有

学者基于已有数据估计出Ro=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的

时间约为（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

2.（2024・陕西安康•模拟预测）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用

/⑺表示从f=0开始，晶体管数量随时间/变化的函数，/（0）=1000,若f是以年为单位，则/⑺的解析式

为（）

A./⑺=1000+B./（0=1000x2J

C./（?）=1000x21D./（0=1000+2z

3.（2024高三下•全国・专题练习）小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直

以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例产

-0.968+Ax

与小微企业的年收入X（单位：万元）的关系为「=亡碇诋化eR）.已知小微企业的年收入为80万元时,

其实际还款比例为50%,若银行希望实际还款比例为40%,则小微企业的年收入约为（参考数据：

ln3«1.0986,In2^0.6931）（）

A.46.49万元B.53.56万元C.64.43万元D.71.12万元

即时检测

L（2024・湖南益阳•三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同

款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%,从第二年开始每年贬值10%.刚参加工作的小明打算买一辆约5

年的二手车，价格不超过8万元.根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是?（优©N）

万，则冽=（）

A.13B.14C.15D.16

2.（2024•广东茂名•一模）G。如e〃z曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生

长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：/（》）=%底（其中

k>0,b>0,。为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e.

若x=l表示该新产品今年的年产量，估计明年（x=2）的产量将是今年的e倍，那么b的值为（e为自然数对

数的底数）（）

A.B.C.75-1D.V5+1

22

3.（2024•四川德阳•三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.己知某类

果蔬的保鲜时间M单位：小时）与储藏温度x（单位：°C）满足函数关系.y=eax+b（a,b.为常数），若该果蔬在

7冤的保鲜时间为288小时，在21昭的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中

果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

考点二、对数函数模型

典例引领

1.（2024•湖南长沙•三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯・

里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为切-1乜，其中M表示某地地震的里氏震级，A

表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，4表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中,

某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,则该地这次地震

的里氏震级约为（）（参考数据：验2u0.3）

A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级

2.（2024•山东泰安•模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常

用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据乙和小数记录法的数据『满足工=5+lgF.已

知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和5.0,记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为

匕匕，则去的值所在区间是（）

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

3.（2023•全国，高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压

级4=20x1g巨，其中常数为（为＞0）是听觉下限阈值，。是实际声压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为月,°2，。3,则（）.

A.Pi^P2B.P2>10ft

c.夕3=100口D.A<100/72

即时性w

1.（2024•重庆•模拟预测）物理学家本・福特提出的定律：在6进制的大量随机数据中，以〃开头的数出现的

概率为片（"）=log〃S，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.根据此定律,

n

在十进制的大量随机数据中，以工开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（）倍（参考

数据：lg2=0.301,lg3=0.477）

A.5.5B.6C.6.5D.7

2.（2024・江西•二模）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程

中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀初始数值时，DNA

的数量X,与扩增次数〃满足lg1g（1+。）+lgX。，其中X。为DNA的初始数量，〃为扩增效率.已知某

被测标本DNA扩增16次后，数量变为原来的10000倍，则扩增效率P约为（）

（参考数据：1O0-25«1,778,10"0-25«0.562）

A.22.2%B.43.8%C.56.2%D.77.8%

3.2024•四川•模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速350km

自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.如果用声强/（单位：W/m?）表示声音在传播途

径中每平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强/的函数关系式为4=4炮（。/）,其中乙为基

准声强级，。为常数，当声强/=W时，声强级Z=20dB.下表为不同列车声源在距离20m处的声强级：

声源与声源的距离（单位：m）声强级范围

内燃列车20[50,80]

电力列车20[20,50]

高速列车20{10}

设在离内燃列车、电力列车、高速列车20m处测得的实际声强分别为人,4/，则下列结论正确的是（）

A.4=30B.Ix>12C.72>10/3D.<<100/2

考点三、建立拟合函数模型解决实际问题

典例引领

L（全国•高考真题）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国

航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯

联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星"鹊桥"，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行

4点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为月球质量为M2,地月距离为R,4点

到月球的距离为厂，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

设&==，由于。的值很小，因此在近似计算中:、：。3a3,则厂的近似值为

2.（2024•陕西商洛•模拟预测）人工智能（Artificialhttenigence）,英文缩写为//.它是研究、开发用于模拟、

延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使

机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.在疫情期间利用机器人配送、机器人测控体温等

都是人工智能的实际运用.某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生

产，到当年年底资金增长了50%,预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，

每年年底各项人员工资、税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第"年年底企业

除去各项支出资金后的剩余资金为。“万元，第”（加©N*）年年底企业的剩余资金超过21000万元，则整数加

的最小值为.（lg2x0.3010;lg3x0.4771）

即时检测

1.（2024•重庆•二模）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系,

强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核

心要素：国民收入丫，国民消费c和国民投资/,假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：

「二『其中常数旬表示房租、水电等固定消费，为国民"边际消费倾向”.则（

L--ClniClX

A.若固定/且/20,则国民收入越高，"边际消费倾向“越大

B.若固定y且贝『‘边际消费倾向"越大，国民投资越高

C.若。=］4，则收入增长量是投资增长量的5倍

D.若。=-丁4则收入增长量是投资增长量的点1

2.（2024•北京朝阳•二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式f=^pCSv2,其中夕是

空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决

于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率尸=#.当。,S不变，v比原来提高

10%时，下列说法正确的是（）

A.若C不变，则尸比原来提高不超过30%

B.若C不变，则尸比原来提高超过40%

C.为使P不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使尸不变，则C比原来降低超过40%

IN.好题冲关

基础过关

一、单选题

1.（2024•河南三门峡•模拟预测）研究表明，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级”之间的

关系为1/=4.8+1.5%2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量

记为4,2024年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为则比值与的整数部分

为（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2024•北京昌平•二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种

绿茶用90K的水泡制，再等到茶水温度降至60K时饮用，可以产生极佳口感；在20冤室温下，茶水温度从

90K开始，经过/min后的温度为胃C,可选择函数〉=60x09+20”>0）来近似地刻画茶水温度随时间变化

的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（）

（参考数据：lg2ao.30,lg3ao.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

3.（2024•陕西安康•模拟预测）若一段河流的蓄水量为v立方米，每天水流量为左立方米，每天往这段河流

排水〃立方米的污水，贝/天后河水的污染指数加⑺=7+［%-7］屋丁（加。为初始值，m0>0）.现有一条被

污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要

使河水的污染指数下降到初始值的;，需要的天数大约是（参考数据：ln7,1.95）（）

A.98B.105C.117D.130

4.（2024・四川凉山•三模）工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量了（单位：

mg/L）与过滤时间，小时的关系为y=（%,。均为正的常数）.已知前5小时过滤掉了10%污染物，

那么当污染物过滤掉50%还需要经过（）（最终结果精确到lh,参考数据：1g2Mo.301,lg320.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

5.（2024•江西•模拟预测）酒驾最新标准规定：100ml血液中酒精含量达到20mg的驾驶员即为酒后驾车，达

到80mg及以上认定为醉酒驾车.如果某驾驶员酒后血液中酒精浓度为1.2mg/ml,从此刻起停止饮酒，血

液中酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：

lg2x0.301,lg3a0.477）（）

A.6B.7C.8D.9

6.（2024・全国•模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数R与可见叶片数x进行分析研究，其关系可

以用函数及=15/（。为常数）表示.若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30,则当玉米幼

穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（）（参考数据：ln2=0.7,1115.581.7）

A.15B.16C.17D.18

7.（2024・全国•模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五

分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据上和小数记录法的数据「满足乙=5+1g%.已知小

明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9,记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为匕，匕，

则,（）

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

8.（2024•江苏•模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解,

例如，地震时释放的能量£（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5W.2008年5月12

日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级地震的

（）倍

1548

A.1B.107C.10D.10

9.（2024•宁夏吴忠•模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量。

（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0<v<120）的下列数据：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（）

A.Q=0.5'+aB.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=k\ogav+b

10.（2024•宁夏银川•一模）锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为

Q=ktp,其中。（单位mAh）为电池容量损失量，p是时间/的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定,

人是方程剩余项未知参数的组合，与温度7和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关.以某种品牌锂

电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得。=0.5,相关统计学参数斤＞0.995,且预测值与实际值

误差很小.在研究M对0的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化

规律为Q=ktp=e（A+BM¥,经实验采集数据进行拟合后获得A=2.228,2=1.3,相关统计学参数炉=0.999,

且预测值与实际值误差很小.若该品牌电池初始荷电状态为80%,存放16天后，电容量损失量约为（）

（参考数据为：e322~25.08,e3232~25.33,e3265«26.26,e3628®37.64）

A.100.32B.101.32C.105.04D.150.56

能力提〜

一、单选题

1.（2024•陕西渭南•二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室

温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过城■＞后茶水的温度为且〉=人0.9227”+25口20,左€1＜）.当

茶水温度降至60℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（）

（参考数据：ln2«0.69,ln3®1.10,ln7~1.95,lnO.9227--0.08）

A.6minB.7minC.8minD.9min

2.（2024•河北邯郸•模拟预测）中国地震台网测定：2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级

地震.已知地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5W,2011年3

月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾花莲县海域发生里氏

7.3级地震的多少倍？（）

A.98B.105C.355D.463

3.（2024・福建福州•模拟预测）当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少,

另一种药物3注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.现同时给两位患者分别注

射800mg药品/和500mg药品8,当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（）（参

考数据：lg2"0.301,lg3a0.477）

A.0.57hB.1.36hC.2.58hD.3.26h

4.（2024•浙江杭州•二模）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单

一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.

假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要

（）（参考数据：1g2B0.301）

A.40年B.30年C.20年D.10年

5.（23-24高三上•内蒙古鄂尔多斯•期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病

微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧

化碳日平均最高容许浓度应不超过0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后

教室内二氧化碳的浓度为."％,且了随时间f（单位：分钟）的变化规律可以用函数了=0,（）5+加小描述，则

该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：ln3a1.1）（）

A.n分钟B.13分钟C.15分钟D.17分钟

二、多选题

6.（2024・安徽蚌埠•模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体的初始

温度为4℃,空气温度4℃保持不变，贝卜分钟后物体的温度。（单位：℃）满足：

e=4+（4-q）e«g.若空气温度为wc,该物体温度从*c（9owa4ioo）下降到3（rc,大约所需的

时间为4,若该物体温度从70。（：，5（TC下降到3（FC,大约所需的时间分别为才2石，则（）（参考数据：

ln2»0.7,ln3«l.l）

A.t2=20B,28<Zj<30C.tx>2t3D.tt-t2<6

7.（2024•辽宁•二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用/⑺表示

从/=0开始，晶体管数量随时间t变化的函数，若〃0）=1000,则下面选项中，符合摩尔定律公式的是

（）

A.若才是以月为单位，则/（。=1000+0-/

B.若（是以年为单位，则/«）=1000x（行）'

C.若，是以月为单位，则1g/'⑺=3+与当

炮臣+1

D.若'是以年为单位’则叱⑺会+

2~~

8.（2024•湖南长沙•模拟预测）M，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组

成，并带有放射性，会发生〃衰变，其半衰期是12.43年.样本中旅的质量N随时间”单位:年）的衰变规律满

足双=乂.2一森，其中既表示旅原有的质量，则（）（参考数据:炮2*0.301）

A.f=12.43log2—

No

B.经过24.86年后，样本中的氤元素会全部消失

C.经过62.15年后，样本中的氤元素变为原来的上

D.若x年后，样本中瓶元素的含