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琴生不等式的代数应用案例综述1.1证明代数不等式【例1】利用琴生不等式证明柯西不等式(a1b1+a2b2证:引进fx=x2,,则f根据琴生不等式(p当且仅当x1,,即p1+p于是不等式(11)成为:(a≤b即(a1b1+a2b当且仅当a1b1【例2】利用琴生不等式证明均值不等式x1+x2+…+证:根据所证不等式的结构可构造函数f(x)=lnx(x>0),验证ff''x=−1x2得=lnx≥===即≥由于函数在(0,+∞)上递增,所以有≥成立,当且仅当x1【例3】[9]设0≤x,y≤1,证明:证:根据不等式的方向,我们需要构造一个上凸函数,所以构造函数,其中,,所构造的函数是上凸函数。令,,由琴生不等式得问题转化为只需证,即(12)去分母得:2(1+=≥0(12)式成立,从而成立,得证。通过以上例子,说明琴生不等式在证明不等式方面具有独特的作用。首先,它构建了一座不等式的桥梁,通过它连接不等式的两端;其次,利用琴生不等式简化了运算,使不等式的证明更加容易。在应用过程中,必须恰当的构造函数,以保证函数的凹凸性与不等式方向的一致性。构造函数时应注意定义域,准确判断其凹凸性。以上证明步骤可归纳为:构造法——判断凹凸性——用琴生不等式证明结论[11]。1.2求代数最值【例4】设正整数n≥3,p是一个正整数,已知正实数满足=1,当时,求的最小值。解:利用Apxkp+x (13)从上式,有(p将上式两端同时除以p+1,并且关于k从1到n求和,有由题目条件知=1=(=1)2所以=从上式,有当且仅当(13)式取等号时,上式取等号,这时有x从上式,有xkp+换句话讲,当且仅当xk=p+2−时,有最小值为2(p+2)【例5】设a,b,c是正实数,满足a+b+c=abc,求1+a2+1+b2解:由A3a+b+c≥33题中已知a+b+c=abc,带入化简得设f(x)=1+x2(x>0),f'

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