2024-2025学年重庆一中高二数学上学期10月考试卷附答案解析

-2025学年重庆一中高二数学上学期10月考试卷一､单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1.已知点，动点满足，则动点轨迹是（）A.射线B.线段C.双曲线的一支 D.双曲线2.已知两直线和，若，则（）A. B. C. D.3.椭圆的一条弦经过左焦点，右焦点记为.若的周长为8，且弦长的最小值为3，则椭圆的焦距（）A.2 B.1 C. D.4.的内角对应的边分别为，若，则（）A.B.C.或 D.无解5.阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度､半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，两焦点为和，直线与椭圆交于两点.若，则椭圆的半短轴的长度（）A.5 B.4 C.6 D.26.过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（）A. B.5 C. D.47.焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知是空间内两条不同的直线，是空间内两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（）A.若且，则双曲线的两条渐近线的方程是B.若，则的面积等于C.若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3D.以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切11.两个圆锥的母线长度均为，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，分别用和表示两个圆锥的底面圆半径､表面积､体积，则正确的有（）A.B.最小值为C.为定值D.若，则三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则__________.13.已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线焦点，若P是与的交点，且，则的值为___________.14.已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则PC最小值为______.四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤）15.已知的内角所对的边分别为，且.（1）求内角；（2）若为边上的中点，求线段的长.16.如图，在直三棱柱中，，上一点，为中点，为中点，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形.（1）求拋物线的方程；（2）如图，抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标.18已知双曲线，点，坐标原点.（1）直线经过点A，与的两条渐近线分别交于点.若面积为，求直线的方程；（2）如图，直线交双曲线的右支于不同两点.若，求实数的取值范围.19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为和，焦距为2.动点在椭圆（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过原点作的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线的斜率分别记为.当点在椭圆上运动时，①证明：恒为定值，并求出这个值；②求四边形面积的最大值.2024-2025学年重庆一中高二数学上学期10月考试卷一､单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1.已知点，动点满足，则动点的轨迹是（）A.射线B.线段C.双曲线的一支 D.双曲线【答案】C【解析】【分析】根据题意，计算A，B之间的距离，比较可得，由双曲线的定义分析可得答案.【详解】根据题意，点，则，若动点P满足，且，则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支，故选：C.2.已知两直线和，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用两直线平行的充要条件，列出关于的方程，即可得到答案.【详解】因为，所以，且，解得.故选：A.3.椭圆的一条弦经过左焦点，右焦点记为.若的周长为8，且弦长的最小值为3，则椭圆的焦距（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】借助椭圆的定义及通径概念列出等式即可求解.【详解】由的周长为8，可得，即，由弦长AB的最小值为3，通径长为3，即，所以，所以，即，所以椭圆的焦距为2.故选：A.4.的内角对应的边分别为，若，则（）A.B.C.或 D.无解【答案】C【解析】【分析】根据给定条件利用余弦定理列出方程求解即得.【详解】在中，因，于是由余弦定理得：，即，解得或.故选：C5.阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度､半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，两焦点为和，直线与椭圆交于两点.若，则椭圆的半短轴的长度（）A.5 B.4 C.6 D.2【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，可得，由椭圆对称性结合已知可得，求解可得椭圆的短半轴长.【详解】因为椭圆C:x2a2+y2b因为过原点，结合椭圆对称性，可得线段，被原点互相平分，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，所以由椭圆的定义得，解得，所以，解得，所以椭圆的短半轴长为.故选：D.6.过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（）A B.5 C. D.4【答案】B【解析】【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，从而求得的值.【详解】依题意可知直线与轴不重合、与轴不平行，设直线的方程为，由，消去并化简得，，解得，设Ax1则，，所以.故选：B7.焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设Ax1,y1,Bx2,y【详解】设Ax1,y1因为，两式相减可得，整理可得，即，可得，即双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为，则，所以双曲线的离心率为.故选：D.8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到的关系式，根据取值范围分析函数单调性得到结果.【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限.∵在的中垂线上，∴，由椭圆、双曲线的定义得：，∴，整理得，∴，即，∴，∴，令，由定义法可证在为增函数，且，∵，∴.故选：B.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知是空间内两条不同直线，是空间内两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据空间线线，线面，面面的位置关系判断.【详解】对于A，因为是两个不同的平面，是两个不同的直线，，则，故A为真命题；对于B，若，则与可能平行，相交，异面，故B为假命题；对于C，若，则，故C为真命题；对于D，若，则与可能平行，相交，故D为假命题.故选：BD.10.设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（）A.若且，则双曲线的两条渐近线的方程是B.若，则的面积等于C.若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3D.以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切【答案】BCD【解析】【分析】将且，带入方程求解渐近线方程即可判断A；，结合双曲线的定义求解即可判断B；把点坐标代入的方程，然后计算离心率的取值范围即可判断C；画图，两圆的圆心距是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，即可判断D.【详解】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误；，故选项B正确；把点坐标代入的方程得：，选项C正确；如图，两圆的圆心距是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确.故选：BCD11.两个圆锥的母线长度均为，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，分别用和表示两个圆锥的底面圆半径､表面积､体积，则正确的有（）A.B.的最小值为C.为定值D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】由“它们的侧面展开图恰好拼成一个圆”为解题关键点，A选项利用侧面展开图的圆心角和为得到结论；B选项由面积公式以及A选项结论得到结论；C选项由体积公式得出代数式，由特殊值结论不同得到不为定值；D选项将条件代入C选项中体积公式即可得到比值.【详解】A：由得，故A对.B：，故B对.C：，如，与时值不同，故不为定值，C错D：，故D对.故选：ABD.三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则__________.【答案】【解析】【分析】借助圆心到直线距离、半径及弦长的关系计算即可得.【详解】的圆心为，半径为，圆心到的距离为，所以，因为，解得.故答案为：13.已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线焦点，若P是与的交点，且，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】利用椭圆定义求出，再借助抛物线的定义结合几何图形计算作答.【详解】依题意，由椭圆定义得，而，则，因点是抛物线的焦点，则该抛物线的准线l过点，如图，过点P作于点Q，由抛物线定义知，而，则，所以.故答案为：14.已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则PC的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】根据直线与圆、圆与圆的位置关系结合抛物线的定义确定C的轨迹，计算即可.【详解】如图，设圆的半径为，则；又到的距离为，则到的距离为.所以C的轨迹是以O为焦点，以为准线的抛物线，顶点为，则四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤）15.已知的内角所对的边分别为，且.（1）求内角；（2）若为边上的中点，求线段的长.【答案】（1）2π（2）【解析】【分析】（1）结合已知利用余弦定理求解即可；（2）结合三角形面积公式求得，然后由平方，利用数量积的运算求解．【小问1详解】由已知条件，即，由余弦定理可得，因为，从而.【小问2详解】因为，由，解得，因为为边上的中点，所以，平方得：，所以.16.如图，在直三棱柱中，，为上一点，为中点，为中点，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）结合题目条件建立空间直角坐标系，写出各点坐标，根据直线的方向向量与平面法向量垂直证明线面平行.（2）求直线的方向向量和平面的法向量，利用公式求线面所成角的正弦值.【小问1详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，设，得，∴.由，得，故∵面的一个法向量，且，平面，∴面.【小问2详解】由（1）知设面的法向量为n=x,y,z由，令得，设直线与平面所成角为，则.∴直线与平面所成角的正弦值为.17.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形.（1）求拋物线的方程；（2）如图，抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标.【答案】（1）（2）证明见解析，【解析】【分析】（1）记准线与轴交于点，在中，求出焦准距，即可求解抛物线方程.（2）设，联立抛物线方程，韦达定理，根据倾斜角互补即斜率之和为0，化简求得，即可得解.【小问1详解】如图，记准线与轴交于点，在中，，所以.故抛物线.【小问2详解】因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率，设，由且，因为位于轴同侧，所以，则，由得，所以，又点F0,1，直线和的倾斜角互补，所以，所以，所以，即，解得，所以直线恒过定点.18.已知双曲线，点，坐标原点.（1）直线经过点A，与的两条渐近线分别交于点.若面积为，求直线的方程；（2）如图，直线交双曲线的右支于不同两点.若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求渐近线方程，进而求点的坐标，可得，结合面积公式运算求解；（2）分析可知线段的中垂线经过A点，设设的中点为，利用点差法可得，结合点与双曲线的位置关系运算求解即可.【小问1详解】对于双曲线，可知，且焦点在x轴上，则双曲线的渐近线为，且直线的斜率为，倾斜角为，设，联立方程，解得，即，可得，同理可得，则解得，所以直线的方程为.【小问2详解】由（1）可知：或，因为，则线段的中垂线经过A点