专题12.5 全等三角形的判定（ASA与AAS）（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（教师版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题12.5全等三角形的判定（ASA与AAS）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形全等的判定方法——角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.（2）书写格式：如图，在△ABC和△中，【知识点二】三角形全等的判定方法——角角边（AAS）（1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【知识点三】判定方法的选择（1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS（2）如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用ASA和AAS证明三角形全等【例1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，点、在上，，，．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠D的度数是【分析】（1）由，推导出，由，证明，即可根据“”证明；（2）由，，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，，求得．此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，，进而证明是解题的关键．（1）证明：，，，，，在和中，，．（2）解：，，，，，，，的度数是．【变式1】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①④【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的应用，学会把实际问题转化为数学问题是解答的关键．①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等来说理．解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等，故本选项符合题意；B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意；C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意；D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意．故选：A．【变式2】（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则．

【答案】4【分析】根据平行线的性质和线段中点，证明，得到，再根据，即可求出的长．解：，，，点为中点，，在和中，，，，，，故答案为：4．【点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．【题型2】用ASA和AAS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值【例2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．（1）求证：；（2）若，，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．（1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案．（1）证明：∵为中点，∴，在和中，，∴，∴，∴．（2）∵，，∴，∵，∴，∴．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可求解．解：∵，∴，∴，在和中，∴，∴又，∴，故选：C．【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和．【答案】12【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案．解：标记角度如下：∵在等腰中，，，∴与等高，底边比值为∴与的面积比为，∵的面积为18∴的面积为6，的面积为12，∵,即，∴，∵，，，∴，∴∴与的面积相等，∴，故答案为：12．【题型3】添加条件证明三角形全等【例3】（2023·广东·模拟预测）如图，，请添加一个条件，使．（1）你添加的条件是______（只需添加一个条件）；（2）利用（1）中添加的条件，求证：．【答案】(1)（答案不唯一）(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题．（1）由题意得到，推出，，再根据判定定理得添加一个条件为，即可使；（2）根据三角形全等的判定定理证明即可．（1）解：∵，∴，∴，，由得添加一个条件为，故答案为：（答案不唯一）；（2）证明：，，，在和中，，．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．解：A、∵，∴，又∵，∴，故A选项不符合题意；B、∵，，，不能根据判定两三角形全等，故B选项符合题意；C、∵，，又，∴，故C选项不符合题意；

D、∵，∴，又∵，，∴，故D选项不符合题意；故选：B．【变式2】（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在和中，若，且，请你添加一个适当的条件，使．添加的条件是：（写出一个即可）．

【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查全等三角形的判定，直角三角形的性质，对顶角性质．先证明，又因为，根据全等三角形的判定定理，在与中只需要再加一对对应边相等即可使，所此求解即可．解：如图，

∵，∴，∴，∵，∴∵，∴，∴当添加时，则在与中，，∴故答案为：（答案不唯一）．【题型4】灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS证明三角形全等【例4】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．

（1）与全等吗？请说明你的理由；（2）若，，的面积为3，请直接写出的面积．【答案】(1)，见解析；(2)6【分析】（1）根据中线的性质可得，根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定即可证明；（2）过点作交于点，根据全等三角形的性质可得，的面积为3，根据三角形的面积公式求得，即可求解．（1）解：，理由如下：∵是的中线，∴，∵，∴，在和中，，∴．（2）解：过点作交于点，如图：

∵，的面积为3，∴，的面积为3，∴，则的面积为．【点拨】本题考查了中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2024·河北邯郸·二模）如图所示，甲、乙两个三角形中和全等的是（

）A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定全等三角形的条件是解题的关键．根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答．解：甲的边的夹角和的边的夹角不对应，故甲三角形与不全等；乙的角和边b与的角和边b对应，故可利用“角边角”证明乙三角形与全等，故选：B．【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在下列各组条件中，能够判断和全等的有．①，，；②，，；③，，；④，，．【答案】①②③【分析】全等三角形的判定定理有，，，，根据以上知识点逐个判断即可．解：①、符合全等三角形的判定定理，即两三角形全等，故符合题意；②、符合全等三角形的判定定理，即两三角形全等，故符合题意；③、符合全等三角形的判定定理，即两三角形全等，故符合题意；④、不符合全等三角形的判定定理，即两三角形不全等，故不符合题意；故答案为：①②③．【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判断定理有，，，．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·四川凉山·中考真题）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．解：∵，∴，即，，∴当时，利用可得；当时，利用可得；当时，利用可得；当时，无法证明；故选：D．【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．若________，则．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．解：选择①；∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即；选择②；无法证明，无法得出；选择③；∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即；故答案为：①或③（答案不唯一）2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在中，是的中点．（1）如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：．（2）如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：．【分析】（1）运用证明即可解题；（2）如图，过点作交延长线于点，连接．推导，即可得到结论．解：（1）证明：是的中点，．，，，．（2）如图，过点作交延长线于点，连接．由（1）知．．，，．在中，，．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的不等关系，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【例2】（22-23八年级上·全国·期末）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．（1）求证：；（2）如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)5【分析】（1）由可证，可得；（2）由可证，可得，由余角的性质