2024-2025学年福建省福州市高新一中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州市高新一中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|x(x−3)<0}，B={−1,2,3}，则A∩B=(

)A.{2} B.{2,3} C.{−1,1,2,3} D.⌀2.已知α∈(π2,π)，sinα=35A.−17 B.7 C.173.“lna>lnb”是“a>bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数f(x)=xcosxe|x|−1的图象大致为A. B.

C. D.5.实数x，y满足2x+y=−1，x>0，则x−yx的最小值为(

)A.1 B.2 C.3 D.46.已知函数f(x)=log0.5(x2−ax+3a)在(2,+∞)A.(−∞,4] B.[4,+∞) C.[−4,4] D.(−4,4]7.已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)−f(x)<0，f(0)=1，则(

)A.ef(−1)<1 B.f(1)>e C.f(12)<8.已知f(x)=|ln(−x)|,x<0x2−4x+5,x≥1，若方程f(x)=m(m∈R)有四个不同的实数根x1，x2，xA.(3,4) B.(2,4) C.[0,4) D.[3,4)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列选项中，与sin5π6的值相等的是(

)A.cos2π3 B.cos18°cos42°−sin18°sin42°

C.2sin15°sin75° 10.已知a>0，b>0，a+2b=1，下列结论正确的是(

)A.1a+2b的最小值为9 B.a2+b2的最小值为15

11.设函数f(x)与其导函数f′(x)的定义域均为R，且f′(x+2)为偶函数，f(1+x)−f(1−x)=0，则(

)A.f′(1+x)=f′(1−x) B.f′(3)=0

C.f′(2025)=0 D.f(2+x)+f(2−x)=2f(2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=ax3−2bx2+x是定义在13.若函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<2π)的图象向右平移φ个单位后在区间x∈[0,π2]上单调递减，则14.与曲线y=1ex和曲线y=−lnx−2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设3bsinA=a(2+cosB)．

(1)求B；

(2)若△ABC的面积等于3，求△ABC16.(本小题15分)

已知函数f(x)=(x+1)lnx−ax+2．

(1)当a=1时，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．17.(本小题17分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的图象与x轴的相邻的两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最高点为M(7π6,2)．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)x0ππωx+φπ3π2πf(x)0−20(Ⅲ)当x∈[π12,π18.(本小题15分)

在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆．

(1)设从2021年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，根据以上数据，试从y=a⋅bx(a>0,b>0且b≠1)和y=a⋅logbx(a>0,b>0且b≠1)两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，并说明理由，求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；

(2)2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降2%，若每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量19.(本小题17分)

若函数f(x)在[a,b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，使得f′(x1)=f(b)−f(a)b−a，f′(x2)=f(b)−f(a)b−a，则称f(x)是[a,b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f(x)在[a,b]上的中值点．

(1)判断函数f(x)=x3−3x2+1是否是[−1,3]上的“双中值函数”，并说明理由．

(2)已知函数f(x)=12参考答案1.A

2.C

3.A

4.C

5.D

6.C

7.C

8.D

9.BC

10.ABD

11.BCD

12.−4

13.3π214.y=−ex

15.解：(1)因为3bsinA=a(2+cosB)．

由正弦定理得3sinBsinA=sinA(2+cosB)．

因为A∈(0,π)，所以sinA>0，所以3sinB−cosB=2．

所以2sin(B−π6)=2，因为B∈(0,π)，所以B−π6∈(−π6,5π6)，

所以B−π6=π2，所以B=2π3．

(2)依题意12ac16.解：(1)当a=1时，f(x)=(x+1)lnx−x+2(x>0)，

f′(x)=lnx+1x，则f′(1)=1，f(1)=1，

所以f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−1=1×(x−1)，即y=x．

(2)f′(x)=lnx+1x+1−a，

若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，

则当x>1，f′(x)≥0，即a≤lnx+x+1x对于x∈(1,+∞)恒成立，

令g(x)=lnx+x+1x(x>1)，则g′(x)=x−1x2>0，

则函数g(x)在(1,+∞)17.解：(Ⅰ)由f(x)的图象与x轴的相邻的两个交点之间的距离为π2，可知最小正周期T=π，

∴ω=2πT=2ππ=2．

由一个最高点为M(7π6,2)，得A=2，

由2sin(2×7π6+φ)=2，即sin(7π3+φ)=1，

可得7π3+φ=2kπ+πx0π5π2π11ππωx+φπππ3π2π13πf(x)120−201f(x)在[0,π]上的大致图象如图：

(Ⅲ)∵x∈[π12,π2]，∴2x+π6∈[π3,7π18.解：(1)由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，

因此应该选择指数模型，应选函数模型是y=a⋅bx(a>0,b>0且b≠1)，

由题意得a⋅b0=1500a⋅b1=2250，解得a=1500b=32，

所以y=1500×(32)x；

(2)设从2021年底起经过x年后传统能源汽车保有量为m辆，则有m=50000×(1−2%)x，

令1500×(3219.解：(1)函数f(x)是[−1,3]上的“双中值函数”.理由如下：

因为f(x)=x3−3x2+1，所以f′(x)=3x2−6x．

因为f(3)=1，f(−1)=−3，所以f(3)−f(−1)3−(−1)=1，

令f′(x)=1，得3x2−6x=1，即3x2−6x−1=0，解得x=3±233，

因为−1<3−233<3+233<3，所以f(x)是[−1,3]上的“双中值函数”．

(2)①因为f(m)=f(n)，所以f(m)−f(n)m−n=0，

因为f(x)是[n,m]上的“双中值函数”，所以f′(x1)=f′(x2)=0．

由题意可得f′(x)=x−lnx−a−1．

设g(x)=f′(x)=x−lnx−a−1，则g′(x)=1−1x=x−1x，

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，则g(x)为减函数，即f′(x)为减函数；

当x