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文档简介
北京市十三中2023-2024学年高三月考(六)数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知正项等比数列中,存在两项,使得,,则的最小值是()A. B. C. D.2.已知集合,,则=()A. B. C. D.3.设数列的各项均为正数,前项和为,,且,则()A.128 B.65 C.64 D.634.已知分别为圆与的直径,则的取值范围为()A. B. C. D.5.已知向量,,当时,()A. B. C. D.6.若函数有且仅有一个零点,则实数的值为()A. B. C. D.7.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完阄后,甲说:“我没抓到.”乙说:“丙抓到了.”丙说:“丁抓到了”丁说:“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话,根据他们的说法,可以断定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是()A.线性相关关系较强,b的值为1.25B.线性相关关系较强,b的值为0.83C.线性相关关系较强,b的值为-0.87D.线性相关关系太弱,无研究价值9.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[﹣3,﹣2]时,f(x)=﹣x﹣2,则()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)10.若集合,,则=()A. B. C. D.11.在满足,的实数对中,使得成立的正整数的最大值为()A.5 B.6 C.7 D.912.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角所对的边分别为,则的面积.根据此公式,若,且,则的面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是第二象限角,且,,则____.14.展开式中的系数为_________.(用数字做答)15.观察下列式子,,,,……,根据上述规律,第个不等式应该为__________.16.的展开式中含的系数为__________.(用数字填写答案)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)的图象与两坐标轴的交点分别为,若三角形的面积大于,求参数的取值范围.18.(12分)某商场以分期付款方式销售某种商品,根据以往资料统计,顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为:2340.4其中,(Ⅰ)求购买该商品的3位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率;(Ⅱ)商场销售一件该商品,若顾客选择分2期付款,则商场获得利润l00元,若顾客选择分3期付款,则商场获得利润150元,若顾客选择分4期付款,则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为(单位:元)(ⅰ)求的分布列;(ⅱ)若,求的数学期望的最大值.19.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知等差数列的公差为,等差数列的公差为.设分别是数列的前项和,且,,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.20.(12分)如图所示,在四棱锥中,底面是棱长为2的正方形,侧面为正三角形,且面面,分别为棱的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正切值.21.(12分)在三棱柱中,,,,且.(1)求证:平面平面;(2)设二面角的大小为,求的值.22.(10分)己知,函数.(1)若,解不等式;(2)若函数,且存在使得成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
由已知求出等比数列的公比,进而求出,尝试用基本不等式,但取不到等号,所以考虑直接取的值代入比较即可.【详解】,,或(舍).,,.当,时;当,时;当,时,,所以最小值为.故选:C.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值,属于基础题.2、C【解析】
计算,,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,意在考查学生的计算能力.3、D【解析】
根据,得到,即,由等比数列的定义知数列是等比数列,然后再利用前n项和公式求.【详解】因为,所以,所以,所以数列是等比数列,又因为,所以,.故选:D【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式,还考查了运算求解的能力,属于中档题.4、A【解析】
由题先画出基本图形,结合向量加法和点乘运算化简可得,结合的范围即可求解【详解】如图,其中,所以.故选:A【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用,数形结合思想,属于中档题5、A【解析】
根据向量的坐标运算,求出,,即可求解.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系,属于中档题.6、D【解析】
推导出函数的图象关于直线对称,由题意得出,进而可求得实数的值,并对的值进行检验,即可得出结果.【详解】,则,,,所以,函数的图象关于直线对称.若函数的零点不为,则该函数的零点必成对出现,不合题意.所以,,即,解得或.①当时,令,得,作出函数与函数的图象如下图所示:此时,函数与函数的图象有三个交点,不合乎题意;②当时,,,当且仅当时,等号成立,则函数有且只有一个零点.综上所述,.故选:D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数,考查函数图象对称性的应用,解答的关键就是推导出,在求出参数后要对参数的值进行检验,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.7、A【解析】
可采用假设法进行讨论推理,即可得到结论.【详解】由题意,假设甲:我没有抓到是真的,乙:丙抓到了,则丙:丁抓到了是假的,丁:我没有抓到就是真的,与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的;假设甲:我没有抓到是假的,那么丁:我没有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以断定值班人是甲.故选:A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用,其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键,着重考查了推理与分析判断能力,属于基础题.8、B【解析】
根据散点图呈现的特点可以看出,二者具有相关关系,且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近,且比较密集,故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系,且直线斜率小于1,故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解,侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.9、B【解析】
根据函数的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函数f(x)在定义域上的图象,由此结合选项判断即可.【详解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函数且周期为2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]时的图象,然后根据周期为2依次平移,并结合f(x)是偶函数作出f(x)在R上的图象如下,选项A,,所以,选项A错误;选项B,因为,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),选项B正确;选项C,,所以,即,选项C错误;选项D,,选项D错误.故选:B.【点睛】本题考查函数性质的综合运用,考查函数值的大小比较,考查数形结合思想,属于中档题.10、C【解析】试题分析:化简集合故选C.考点:集合的运算.11、A【解析】
由题可知:,且可得,构造函数求导,通过导函数求出的单调性,结合图像得出,即得出,从而得出的最大值.【详解】因为,则,即整理得,令,设,则,令,则,令,则,故在上单调递增,在上单调递减,则,因为,,由题可知:时,则,所以,所以,当无限接近时,满足条件,所以,所以要使得故当时,可有,故,即,所以:最大值为5.故选:A.【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值,以及运用构造函数法和放缩法,同时考查转化思想和解题能力.12、A【解析】
根据,利用正弦定理边化为角得,整理为,根据,得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【详解】由得,即,即,因为,所以,由余弦定理,所以,由的面积公式得故选:A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理,还考查了运算求解的能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由是第二象限角,且,可得,由及两角和的正切公式可得的值.【详解】解:由是第二象限角,且,可得,,由,可得,代入,可得,故答案为:.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式,相对不难,注意运算的准确性.14、210【解析】
转化,只有中含有,即得解.【详解】只有中含有,其中的系数为故答案为:210【点睛】本题考查了二项式系数的求解,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.15、【解析】
根据题意,依次分析不等式的变化规律,综合可得答案.【详解】解:根据题意,对于第一个不等式,,则有,对于第二个不等式,,则有,对于第三个不等式,,则有,依此类推:第个不等式为:,故答案为.【点睛】本题考查归纳推理的应用,分析不等式的变化规律.16、【解析】由题意得,二项式展开式的通项为,令,则,所以得系数为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)当时,不等式可化为:,再利用绝对值的意义,分,,讨论求解.(2)根据可得,得到函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为,再利用三角形面积公式由求解.【详解】(1)当时,不等式可化为:①当时,不等式化为,解得:②当时,不等式化为,解得:,③当时,不等式化为解集为,综上,不等式的解集为.(2)由题得,所以函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为,的面积为,由,得(舍),或,所以,参数的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值函数的应用,还考查分类讨论的思想和运算求解的能力,属于中档题.18、(Ⅰ)0.288(Ⅱ)(ⅰ)见解析(ⅱ)数学期望的最大值为280【解析】
(Ⅰ)根据题意,设购买该商品的3位顾客中,选择分2期付款的人数为,由独立重复事件的特点得出,利用二项分布的概率公式,即可求出结果;(Ⅱ)(ⅰ)依题意,的取值为200,250,300,350,400,根据离散型分布求出概率和的分布列;(ⅱ)由题意知,,解得,根据的分布列,得出的数学期望,结合,即可算出的最大值.【详解】解:(Ⅰ)设购买该商品的3位顾客中,选择分2期付款的人数为,则,则,故购买该商品的3位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.(Ⅱ)(ⅰ)依题意,的取值为200,250,300,350,400,,,,,的分布列为:2002503003504000.16(ⅱ),由题意知,,,,,又,即,解得,,,当时,的最大值为280,所以的数学期望的最大值为280.【点睛】本题考查独立重复事件和二项分布的应用,以及离散型分布列和数学期望,考查计算能力.19、(1);(2)【解析】
方案一:(1)根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程组,求出和,从而写出数列的通项公式;(2)由第(1)题的结论,写出数列的通项,采用分组求和、等比求和公式以及裂项相消法,求出数列的前项和.其余两个方案与方案一的解法相近似.【详解】解:方案一:(1)∵数列都是等差数列,且,,解得,综上(2)由(1)得:方案二:(1)∵数列都是等差数列,且,解得,.综上,(2)同方案一方案三:(1)∵数列都是等差数列,且.,解得,,.综上,(2)同方案一【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式的应用,考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n项和,属于中档题.20、(1)见证明;(2)【解析】
(1)取PD中点G,可证EFGA是平行四边形,从而,得证线面平行;(2)取AD中点O,连结PO,可得面,连交于,可证是二面角的平面角,再在中求解即得.【详解】(1)证明:取PD中点G,连结为的中位线,且,又且,且,∴EFGA是平行四边形,则,又面,面,面;(2)解:取AD中点O,连结PO,∵面面,为正三角形,面,且,连交于,可得,,则,即.连,又,可得平面,则,即是二面角的平面角,在中,∴,即二面角的正切值为.【点睛】本题考查线面平行证明,考查求二面角.求二面角的步骤是一作二证三计算.即先作出二面角的平面角,然后证明此角是要求的二面角的平面角,最后在三角形中计算.21、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)要证明平面平面,只需证明平面即可;(2)取的中点D,连接BD,以B为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,分别计算平面的法向量为与平面的法向量为,利用夹角公式计算即可.【详解】(1)在中,,所以,即.因为,,,所以.所以,即.又,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)由题意知,四边形为菱形,且,则为正三角形,取的中点D,连接BD,则.以B为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,,,,.设
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