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文档简介

北京市平谷区2024届高三(数学试题理)一模试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.的展开式中的项的系数为()A.120 B.80 C.60 D.402.点为不等式组所表示的平面区域上的动点,则的取值范围是()A. B. C. D.3.已知向量,(其中为实数),则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.抛物线的准线方程是,则实数()A. B. C. D.5.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若点在角的终边上,则()A. B. C. D.6.集合,则()A. B. C. D.7.设全集,集合,则=()A. B. C. D.8.函数的大致图象是()A. B.C. D.9.已知,如图是求的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入A. B.C. D.10.“”是“直线与互相平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.函数的最大值为,最小正周期为,则有序数对为()A. B. C. D.12.已知双曲线的右焦点为,若双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且点到该渐近线的距离为,则双曲线的实轴的长为A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.过动点作圆:的切线,其中为切点,若(为坐标原点),则的最小值是__________.14.如图,已知圆内接四边形ABCD,其中,,,,则__________.15.若,i为虚数单位,则正实数的值为______.16.的展开式中二项式系数最大的项的系数为_________(用数字作答).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数,).以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(l)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程:(2)若直线与曲线C相交于A,B两点,且.求直线的方程.18.(12分)在直角坐标系中,已知直线的直角坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),以直角坐标系原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线和直线的极坐标方程;(2)已知直线与曲线、相交于异于极点的点,若的极径分别为,求的值.19.(12分)已知函数,设的最小值为m.(1)求m的值;(2)是否存在实数a,b,使得,?并说明理由.20.(12分)已知,.(1)求函数的单调递增区间;(2)的三个内角、、所对边分别为、、,若且,求面积的取值范围.21.(12分)已知函数.(1)求的极值;(2)若,且,证明:.22.(10分)如图,在正四棱柱中,,,过顶点,的平面与棱,分别交于,两点(不在棱的端点处).(1)求证:四边形是平行四边形;(2)求证:与不垂直;(3)若平面与棱所在直线交于点,当四边形为菱形时,求长.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

化简得到,再利用二项式定理展开得到答案.【详解】展开式中的项为.故选:【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力.2、B【解析】

作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,利用的几何意义即可得到结论.【详解】不等式组作出可行域如图:,,,的几何意义是动点到的斜率,由图象可知的斜率为1,的斜率为:,则的取值范围是:,,.故选:.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键.3、A【解析】

结合向量垂直的坐标表示,将两个条件相互推导,根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由,则,所以;而当,则,解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本小题考查平面向量的运算,向量垂直,充要条件等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,应用意识.4、C【解析】

根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.【详解】因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.故选:C【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.5、D【解析】

由题知,又,代入计算可得.【详解】由题知,又.故选:D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式的应用求值.6、D【解析】

利用交集的定义直接计算即可.【详解】,故,故选:D.【点睛】本题考查集合的交运算,注意常见集合的符号表示,本题属于基础题.7、A【解析】

先求得全集包含的元素,由此求得集合的补集.【详解】由解得,故,所以,故选A.【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.8、A【解析】

用排除B,C;用排除;可得正确答案.【详解】解:当时,,,所以,故可排除B,C;当时,,故可排除D.故选:A.【点睛】本题考查了函数图象,属基础题.9、C【解析】

由于中正项与负项交替出现,根据可排除选项A、B;执行第一次循环:,①若图中空白框中填入,则,②若图中空白框中填入,则,此时不成立,;执行第二次循环:由①②均可得,③若图中空白框中填入,则,④若图中空白框中填入,则,此时不成立,;执行第三次循环:由③可得,符合题意,由④可得,不符合题意,所以图中空白框中应填入,故选C.10、A【解析】

利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当时,直线方程为与,可得两直线平行;若直线与互相平行,则,解得,,则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件,故选【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质,充分条件,必要条件的定义和判断方法,属于基础题.11、B【解析】函数(为辅助角)∴函数的最大值为,最小正周期为故选B12、B【解析】

双曲线的渐近线方程为,由题可知.设点,则点到直线的距离为,解得,所以,解得,所以双曲线的实轴的长为,故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】解答:由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2),半径等于1.由M(a,b),则|MN|2=(a−2)2+(b−2)2−12=a2+b2−4a−4b+7,|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2.整理得:4a+4b−7=0.∴a,b满足的关系为:4a+4b−7=0.求|MN|的最小值,就是求|MO|的最小值.在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小,由“垂线段最短”得,直线OM垂直直线4a+4b−7=0,由点到直线的距离公式得:MN的最小值为:.14、【解析】

由题意可知,,在和中,利用余弦定理建立方程求,同理求,求,代入求值.【详解】由圆内接四边形的性质可得,.连接BD,在中,有.在中,.所以,则,所以.连接AC,同理可得,所以.所以.故答案为:【点睛】本题考查余弦定理解三角形,同角三角函数基本关系,意在考查方程思想,计算能力,属于中档题型,本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质,对角互补.15、【解析】

利用复数模的运算性质,即可得答案.【详解】由已知可得:,,解得.故答案为:.【点睛】本题考查复数模的运算性质,考查推理能力与计算能力,属于基础题.16、5670【解析】

根据二项式展开的通项,可得二项式系数的最大项,可求得其系数.【详解】二项展开式一共有项,所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项,系数为.故答案为:5670【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,由通项公式求二项式系数,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】

(1)将消去参数t可得直线的普通方程,利用x=ρcosθ,可将极坐标方程转为直角坐标方程.(2)利用直线被圆截得的弦长公式计算可得答案.【详解】(1)由消去参数t得(),由得曲线C的直角坐标方程为:(2)由得,圆心为(1,0),半径为2,圆心到直线的距离为,∴,即,整理得,∵,∴,,,所以直线l的方程为:.【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程与直角坐标方程之间的互化,考查直线被圆截得的弦长公式的应用,考查分析能力与计算能力,属于基础题.18、(1),.(2)【解析】

(1)先将曲线的参数方程化为直角坐标方程,即可代入公式化为极坐标;根据直线的直角坐标方程,求得倾斜角,即可得极坐标方程.(2)将直线的极坐标方程代入曲线、可得,进而代入可得的值.【详解】(1)曲线的参数方程为(为参数),消去得,把,代入得,从而得的极坐标方程为,∵直线的直角坐标方程为,其倾斜角为,∴直线的极坐标方程为.(2)将代入曲线的极坐标方程分别得到,则.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程的方法,直角坐标方程化为极坐标方程的方法,极坐标的几何意义,属于中档题.19、(1)(2)不存在;详见解析【解析】

(1)将函数去绝对值化为分段函数的形式,从而可求得函数的最小值,进而可得m.(2)由,利用基本不等式即可求出.【详解】(1);(2),若,同号,,不成立;或,异号,,不成立;故不存在实数,,使得,.【点睛】本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用,属于基础题.20、(1);(2).【解析】

(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为,然后解不等式,可求得函数的单调递增区间;(2)由求得,利用余弦定理结合基本不等式求出的取值范围,再结合三角形的面积公式可求得面积的取值范围.【详解】(1),解不等式,解得.因此,函数的单调递增区间为;(2)由题意,则,,,,解得.由余弦定理得,又,,当且仅当时取等号,所以,的面积.【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解,同时也考查了三角形面积取值范围的计算,涉及余弦定理和基本不等式的应用,考查计算能力,属于中等题.21、(1)极大值为;极小值为;(2)见解析【解析】

(1)对函数求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值;(2)构造函数,求导并判断单调性可得,从而在上恒成立,再结合,,可得到,即可证明结论成立.【详解】(1)函数的定义域为,,所以当时,;当时,,则的单调递增区间为和,单调递减区间为.故的极大值为;的极小值为.(2)证明:由(1)知,设函数,则,,则在上恒成立,即在上单调递增,故,又,则,即在上恒成立.因为,所以,又,则,因为,且在上单调递减,所以,故.【点睛】本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题.22、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).【解析】

(1)由平面与平面没有交点,可得与不相交,又与共面,所以,同理可证,得证;(2)由四边形是平行四边形,且,则不可能是矩形,所以与不垂直;(3)先证,可得为的中点,从而得出是的中点,可得.【详解】(1)依题意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平

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