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文档简介
北京市海淀区北京医学院附属中学2024年高考考前热身试卷数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.在等差数列中,若为前项和,,则的值是()A.156 B.124 C.136 D.1803.已知命题:“关于的方程有实根”,若为真命题的充分不必要条件为,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题:将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列各项之和为()A.56383 B.57171 C.59189 D.612425.已知等差数列的公差为-2,前项和为,若,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,则的最大值为()A.5 B.11 C.20 D.256.若函数满足,且,则的最小值是()A. B. C. D.7.若直线与圆相交所得弦长为,则()A.1 B.2 C. D.38.正方形的边长为,是正方形内部(不包括正方形的边)一点,且,则的最小值为()A. B. C. D.9.已知函数,若对任意,都有成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.10.已知复数,为的共轭复数,则()A. B. C. D.11.设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.已知向量,,则与的夹角为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.记为数列的前项和,若,则__________.14.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数__________.15.根据如图所示的伪代码,若输入的的值为2,则输出的的值为____________.16.曲线在点处的切线方程是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.18.(12分)椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上两动点使得四边形为平行四边形,且平行四边形的周长和最大面积分别为8和.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线与椭圆的另一交点为,当点在以线段为直径的圆上时,求直线的方程.19.(12分)已知函数f(x)ax﹣lnx(a∈R).(1)若a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f(x)1,若函数g(x)在上有两个零点,求实数a的取值范围.20.(12分)已知数列和满足:.(1)求证:数列为等比数列;(2)求数列的前项和.21.(12分)如图,在四棱锥中,平面,四边形为正方形,点为线段上的点,过三点的平面与交于点.将①,②,③中的两个补充到已知条件中,解答下列问题:(1)求平面将四棱锥分成两部分的体积比;(2)求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)在直角坐标系中,已知点,的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程和的直角坐标方程;(2)设曲线与曲线相交于,两点,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
由余弦函数的单调性找出的等价条件为,再利用大角对大边,结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要条件.故选:C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定,同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用,考查推理能力,属于中等题.2、A【解析】
因为,可得,根据等差数列前项和,即可求得答案.【详解】,,.故选:A.【点睛】本题主要考查了求等差数列前项和,解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.3、B【解析】命题p:,为,又为真命题的充分不必要条件为,故4、C【解析】
根据“被5除余3且被7除余2的正整数”,可得这些数构成等差数列,然后根据等差数列的前项和公式,可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,公差为的等差数列,记数列则令,解得.故该数列各项之和为.故选:C.【点睛】本题考查等差数列的应用,属基础题。5、D【解析】
由公差d=-2可知数列单调递减,再由余弦定理结合通项可求得首项,即可求出前n项和,从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2,可知数列单调递减,则,,中最大,最小,又,,为三角形的三边长,且最大内角为,由余弦定理得,设首项为,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前项和.故的最大值为.故选:D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查求前n项和的最值问题,同时还考查了余弦定理的应用.6、A【解析】
由推导出,且,将所求代数式变形为,利用基本不等式求得的取值范围,再利用函数的单调性可得出其最小值.【详解】函数满足,,即,,,,即,,则,由基本不等式得,当且仅当时,等号成立.,由于函数在区间上为增函数,所以,当时,取得最小值.故选:A.【点睛】本题考查代数式最值的计算,涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用,考查计算能力,属于中等题.7、A【解析】
将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选:A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.8、C【解析】
分别以直线为轴,直线为轴建立平面直角坐标系,设,根据,可求,而,化简求解.【详解】解:建立以为原点,以直线为轴,直线为轴的平面直角坐标系.设,,,则,,由,即,得.所以=,所以当时,的最小值为.故选:C.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示,属于基础题.9、D【解析】
先将所求问题转化为对任意恒成立,即得图象恒在函数图象的上方,再利用数形结合即可解决.【详解】由得,由题意函数得图象恒在函数图象的上方,作出函数的图象如图所示过原点作函数的切线,设切点为,则,解得,所以切线斜率为,所以,解得.故选:D.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用,考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想,是一道中档题.10、C【解析】
求出,直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选:C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算,共轭复数,属于基础题.11、C【解析】
根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围,再利用充分必要条件的定义判断即可.【详解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分条件,故选C.【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法,考查指数,对数不等式的解法,是基础题.12、B【解析】
由已知向量的坐标,利用平面向量的夹角公式,直接可求出结果.【详解】解:由题意得,设与的夹角为,,由于向量夹角范围为:,∴.故选:B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角,注意向量夹角的范围.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-254【解析】
利用代入即可得到,即是等比数列,再利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】由已知,得,即,所以又,即,,所以是以-4为首项,2为公比的等比数列,所以,即,所以。故答案为:【点睛】本题考查已知与的关系求,考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.14、【解析】
先令可得其展开式各项系数的和,又由题意得,解得,进而可得其展开式的通项,即可得答案.【详解】令,则有,解得,则二项式的展开式的通项为,令,则其展开式中的第4项的系数为,故答案为:【点睛】此题考查二项式定理的应用,解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和,属于基础题.15、【解析】
满足条件执行,否则执行.【详解】本题实质是求分段函数在处的函数值,当时,.故答案为:1【点睛】本题考查条件语句的应用,此类题要做到读懂算法语句,本题是一道容易题.16、【解析】
利用导数的几何意义计算即可.【详解】由已知,,所以,又,所以切线方程为,即.故答案为:【点睛】本题考查导数的几何意义,考查学生的基本计算能力,要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别,是一道容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2)最大值,最小值【解析】
(1)由曲线的参数方程,得两式平方相加求解,根据直线的极坐标方程,展开有,再根据求解.(2)因为曲线C是一个半圆,利用数形结合,圆心到直线的距离减半径即为最小值,最大值点由图可知.【详解】(1)因为曲线的参数方程为所以两式平方相加得:因为直线的极坐标方程为.所以所以即(2)如图所示:圆心C到直线的距离为:所以圆上的点到直线的最小值为:则点M(2,0)到直线的距离为最大值:【点睛】本题主要考查参数方程,普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.18、(1)(2)或【解析】
(1)根据题意计算得到,,得到椭圆方程.(2)设,联立方程得到,根据,计算得到答案.【详解】(1)由平行四边形的周长为8,可知,即.由平行四边形的最大面积为,可知,又,解得.所以椭圆方程为.(2)注意到直线的斜率不为0,且过定点.设,由消得,所以,因为,所以.因为点在以线段为直径的圆上,所以,即,所以直线的方程或.【点睛】本题考查了椭圆方程,根据直线和椭圆的位置关系求直线,将题目转化为是解题的关键.19、(1)单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞)(2)(3,2e]【解析】
(1)当a=2时,求出,求解,即可得出结论;(2)函数在上有两个零点等价于a=2x在上有两解,构造函数,,利用导数,可分析求得实数a的取值范围.【详解】(1)当a=2时,定义域为,则,令,解得x1,或x1(舍去),所以当时,单调递减;当时,单调递增;故函数的单调递减区间为,单调递增区间为,(2)设,函数g(x)在上有两个零点等价于在上有两解令,,则,令,,显然,在区间上单调递增,又,所以当时,有,即,当时,有,即,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,时,取得极小值,也是最小值,即,由方程在上有两解及,可得实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想,考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.20、(1)见解析(2)【解析】
(1)根据题目所给递推关系式得到,由此证得数列为等比数列.(2)由(1)求得数列的通项公式,判断出,由此利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】(1)所以数列是以3为首项,以3为公比的等比数列.(2)由(1)知,∴为常数列,且,∴,∴∴【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列,考查裂项求和法,属于中档题.21、(1);(2).【解析】
若补充②③根据已知可得平面,从而有,结合,可得平面,故有,而,得到,②③成立与①②相同,①③成立,可得,所以任意补充两个条件,结果都一样,以①②作为条件分析;(1)设,可得,进而求出梯形的面积,可求出,即可求出结论;(2),以为坐标原点,建立空间坐标系,求出坐标,由(1)得为平面的法向量,根据空间向量的线面角公式即可求解.【详解】第一种情况:若将①,②作为已知条件,解答如下:(1)设平面为平面.∵,∴平面,而平面平面,∴,又为中点.设,则.在三角形中,,由知平面,∴,∴梯形的面积,,,平面,,,∴,故,.(2)如图,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,设,则,由(1)得为平面的一个法向量,因为,所以直线与平面所成角的正弦值为.第二种情况:若将①,③作为已知条件,则由知平面,,又,所以平面,,又,故为中点,即,解答如上不变.第三种情况:若将②,③作为已知条件,由及第二种情况知,又,易知,解答仍如上不变.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系,以及体积、直线与平面所成的角,考查计算求解能力,属于中档题.2
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