山东省济南理工学校2024-2025学年高二春考班上学期月考一数学试题（解析版）

济南理工学校2024－2025学年度第一学期月考（一）高二春考班数学试题1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考生请在答题卡上答题．2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01.卷一（选择题共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1.已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意和球的表面积公式可得两球半径之比，结合球的体积公式计算即可.由题意知，两球的表面积之比为，则，所以两球的体积之比为.故选：C.2.一个球的表面积为，则该球的半径为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】直接由球的表面积公式列方程即可求解.设所求半径为，则，解得.故选：B.3.已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（）A. B.3π C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式可求得答案.因为圆锥的底面半径是1，高为，所以圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为.故选：D4.用平面截一个球，所得到的截面面积为，若球心到这个截面的距离为，则该球的表面积为（）A.4 B.8 C.16 D.28【答案】C【解析】【分析】根据球的截面性质，即可由勾股定理求解球半径，即可由表面积公式求解.由于截面面积为，故截面圆的半径为，又球心到这个截面的距离为，故球半径为，故球的表面积为,故选：C5.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为的等腰直角三角形，高为，则该“堑堵”的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用柱体的表面积公式可求得结果.由题意可知，该“堑堵”的表面积为.故选：D.6.已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圆柱的侧面积公式即可得解.由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，故圆柱的侧面积为：.故选：B.7.棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三棱锥性质以及三角形面积计算公式可得结果.棱长都是1的三棱锥的表面都是边长为1的正三角形，共4个；所以其表面积为.故选：A8.铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（）A一个球B.一个球挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球挖去一个正方体【答案】B【解析】【分析】根据旋转体的定义可得正确的选项.圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，故选：B.9.如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径.若球的表面积为，则圆柱的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据球的表面积公式和圆柱的表面积公式可得解.设球的半径为，则圆柱底面的半径为，高为，则，则，所以圆柱的表面积，故选：A.10.如图，是水平放置△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（）A.钝角三角形 B.等腰三角形，但不是直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【答案】C【解析】【分析】根据题意，将△还原成原图，分析、、的关系，由三角形的性质即可得答案．将其还原成原图，设，则可得，，从而，所以，即，故是等腰直角三角形.故选：C.11.如图所示几何体的俯视图和侧视图都正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据侧视图，没有实对角线，俯视图实对角线方向，排除错误选项，得到答案.侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除，而俯视时，有半个平面是没有的，所以有一条实对角线，且其对角线位置从左下角画到右上角，故B排除.故选：C.12.已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为（）A. B.200 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意求得圆柱的底面圆的半径和母线长，利用侧面积公式，即可求解.由题意，圆柱轴截面是面积为100的正方形，可得圆柱的轴截面边长为10，所以圆柱的底面半径为5，母线长为10，所以侧面积为.故选：C.13.某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为，底面边长是，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求出斜高，然后求出侧面积即可.设该正四棱锥的斜高为．∵高为，底面边长是，∴根据勾股定理得，∴该正四棱锥的侧面积为，即需要油毡的面积为．故选：B14.如图，一个底面半径为4的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和6，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】该几何体的体积由两部分组成：①底面半径为4、高为4的圆柱体体积，②底面半径为4、高为2的圆柱体体积的一半，由此有求出该几何体的体积．解：一个底面半径为4的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和6，该几何体的体积由两部分组成：底面半径为4、高为4的圆柱体体积，②底面半径为4、高为2的圆柱体体积的一半，则该几何体的体积为：．故选：D15.下列试验中是古典概型的是（）A.在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环【答案】B【解析】【分析】利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断．】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误；对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确；对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误；对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误.故选：B.16.已知数列为等差数列，，则（）A.8 B.12 C.15 D.24【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质得到，计算得到答案.，故，.故选：B17.记等差数列的前n项和为,若,则（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式及等差数列性质:若,则即可得到结果.解:由题知,即,,.故选:C18.设等差数列的前项和为，若，则（）A.28 B.148 C.168 D.248【答案】C【解析】【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列前项和公式计算可得；解：因为等差数列中，，所以，则．故选：C．19.在等比数列中，，，则（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用可得到等比数列的公比的平方，再利用即可得出.在等比数列中，由得，所以，，所以.故选：D.20.在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，则，根据题意可得出、的等量关系，即可求得数列的公比.设等比数列的公比为q，则，由题意可得，即，则，故.故选：B.卷二（非选择题共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的边长为___________.【答案】2【解析】【分析】根据体积公式直接计算即可.设正方体边长为，则，解得.故答案为：22.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为_________．【答案】【解析】【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出，即可得解.由直观图可得如下平面图形：因为，，所以，，所以在直角三角形中，.故答案为：.23.在一个底面直径为12cm，高为18cm的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为______cm．【答案】【解析】【分析】由题意可得，求解即可.设球型小钢珠的半径为，上升水柱的体积，所以，，．故答案为：.24.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是__________.【答案】【解析】【分析】先计算基本事件的样本空间，再计算所求事件的种数，按照古典概型计算即可.连续投掷2次，骰子点数的样本空间为，2次点数之和为8的有：，故有种，其概率为；故答案为：.25.数列满足，且，则它的通项公式______．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答.因数列满足，即，因此数列是首项为1，公差为的等差数列，所以数列的通项公式为.故答案为：三、解答题（本大题5个小题，共40分）26.（1）已知球的表面积为64π，求它的体积；（2）已知球的体积为π，求它的表面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由球的表面积公式求得半径，再由球的体积公式求得答案；（2）由求得体积公式求得半径，再由求得表面积公式求得答案.（1）设球的半径为r，则由已知得4πr2＝64π，r＝4.所以球的体积：V＝×π×r3＝π；（2）设球的半径为R，由已知得πR3＝π，所以R＝5，所以球的表面积为：S＝4πR2＝4π×52＝100π.【点睛】本题考查求球的表面积与体积，属于基础题.27.在正方体中，，求该正方体的外接球表面积．【答案】【解析】【分析】设该正方体外接球的半径为，可得，计算可求球的表面积.设该正方体外接球的半径为，则，所以，所以该正方体外接球的表面积为．28.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.【答案】【解析】【分析】利用斜二测画法性质还原出原图形即可得出原图形面积.根据斜二测画法可知正方形的对角线长为，画出原图形如下图所示：原图为两直角边分别为的直角三角形组成的平行四边形，所以原来图形的面积为.29.数列的通项公式是.（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？【答案】（1）（2）是，第16项【解析】【分析】（1）利用数列的通项公式能求出这个数列的第4项；（2）令，求出方程的解，即可判断．【小问1】解：数列的通项公式是．这个数列的第4项是：．【小问2】解：令，即，解得或（舍，是这个数列的项，是第16项．30.已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{an}的通项公式.【答案】【解析】【分析】可设前三项分别为，利用前三项和和积得到关于的方程组，解这个方程组后可得通项公式.也可以设前三项为，同样利用题设条件得到的方程组，解这个方程