数学物理方法第二章

1.有向曲线:设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,2.1复变函数的积分(与实函数积分相似，定义为和的极限)——复平面上的线积分1数学物理方法第二章简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.2数学物理方法第二章2.积分的定义:3数学物理方法第二章(4数学物理方法第二章关于定义的说明:5数学物理方法第二章3.存在的条件和计算法证正方向为参数增加的方向,6数学物理方法第二章7数学物理方法第二章根据线积分的存在定理,8数学物理方法第二章当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,9数学物理方法第二章在形式上可以看成是公式积分的计算法110数学物理方法第二章积分的计算法211数学物理方法第二章在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.12数学物理方法第二章设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则性质：常数因子可以移到积分号外函数的和的积分等于各函数积分之和反转积分路径，积分反号全路径上的积分等于各段上积分之和13数学物理方法第二章注意到性质(5)可以写为

特别地，若在L上有，L的长记为L，则性质(5)成为

注意：数学分析中的积分中值定理不能推移到复变函数积分上来，例如：而

(6)14数学物理方法第二章例1解直线方程为15数学物理方法第二章这两个积分都与路线C无关16数学物理方法第二章例2解(1)积分路径的参数方程为y=x17数学物理方法第二章(2)积分路径的参数方程为y=x18数学物理方法第二章y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为19数学物理方法第二章例3解积分路径的参数方程为20数学物理方法第二章例4解积分路径的参数方程为21数学物理方法第二章重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.22数学物理方法第二章2.2柯西定理讨论复变函数积分与积分路径的关系（一）单通区域情形在区域中做任何简单闭合围道，围道内的点都属于该区域单连通区域：复连通区域，或称多连通区域区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。连续变形：变形时曲线始终属于该区域。23数学物理方法第二章复习：二元函数积分的格林公式路径无关的充要条件：实变线积分在单连通区域B内与在B内的偏导数连续，并且由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件24数学物理方法第二章单连通区域柯西定理：

如果函数f(z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有

推广：如果函数f(z)在单通域B上解析，在闭单连通域B上连续，则沿B上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有Bl25数学物理方法第二章由定理得26数学物理方法第二章连续，且格林公式同理连续，且证明：回路积分化成面积分27数学物理方法第二章例1解根据柯西定理,有28数学物理方法第二章例2证由柯西定理,29数学物理方法第二章由柯西定理,由上节例4可知,30数学物理方法第二章例3解根据柯西－古萨定理得31数学物理方法第二章32数学物理方法第二章奇点：复变函数不解析的点若f(z)在z=b不解析（或没有定义），而在z=b的无心邻域0<

z−b

<R内解析，则z=b为f(z)的孤立奇点。含孤立奇点的区域，可将其每个奇点的有限小邻域挖掉，使原区域变为复通区域（二）复通区域情形有时，所研究的函数在区域上并非处处解析33数学物理方法第二章沿着一条简单曲线C有两个相反的方向，其中一个方向是：当观察者顺此方向沿C前进一周时，C的内部一直在C的左方，即“逆时针”方向，称为正方向；另一个方向是：当观察者顺此方向沿C前进一周时，C的外部一直在C的左方，即“顺时针”方向，称为负方向。区域境界线正方向：34数学物理方法第二章在l围成的区域中含f(z)的孤立奇点

，则可引入曲线l1将此奇点挖掉，在余下的区域(一复连通区域)中，

f(z)解析。由柯西定理或又

l与l1方向相反，但与-l1方向相同。35数学物理方法第二章(多连通域柯西定理)设B是以边为界的有界n+1连通区域，其中l1，l2，…，ln是简单光滑闭曲线l内部互相外离的n条简单光滑闭曲线。若f(z)在

上连续，在B内解析，则有其中C取关于区域B的正向，或写为：36数学物理方法第二章例1解依题意知,37数学物理方法第二章根据复合闭路定理,38数学物理方法第二章例2解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,39数学物理方法第二章例3解40数学物理方法第二章由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.41数学物理方法第二章例4解由上例可知42数学物理方法第二章柯西定理总结闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分43数学物理方法第二章定理一由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)1.两个主要定理:2.3不定积分44数学物理方法第二章45数学物理方法第二章定理二证利用导数的定义来证.46数学物理方法第二章由于积分与路线无关,47数学物理方法第二章48数学物理方法第二章由积分的估值性质,49数学物理方法第二章此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕]50数学物理方法第二章2.原函数的定义:原函数之间的关系:证51数学物理方法第二章那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:[证毕]52数学物理方法第二章3.不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)53数学物理方法第二章证根据柯西-古萨基本定理,[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.54数学物理方法第二章典型例题例1解由牛顿-莱布尼兹公式知,55数学物理方法第二章例2解(使用了微积分学中的“凑微分”法)56数学物理方法第二章例3解由牛顿-莱布尼兹公式知,57数学物理方法第二章例3另解此方法使用了微积分中“分部积分法”58数学物理方法第二章例4解利用分部积分法可得课堂练习答案59数学物理方法第二章例5解60数学物理方法第二章例6解所以积分与路线无关,根据牛—莱公式:61数学物理方法第二章2.4柯西公式

柯西积分公式:若f(z)在闭单通区域B上解析，l为B境界线，

为B内的任一点，那么证明：由于只需证明62数学物理方法第二章如果l是圆周z=

+reiθ，这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周的平均值。若f(z)在l所围区域上存在奇点，这就要考虑挖去奇点后的复通区域。在复通区域上f(z)解析，显然柯西公式仍然成立，只要将l理解为所有境界线，并且其方向均取正向。定理：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为：其中l为解析区域内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线。63数学物理方法第二章Morera定理：(Cauchy定理的逆定理）设f(z)在区域G中连续，如果对于G中的任何闭合围道l，都有则f(z)在G内解析。证明：由路径无关性，定义f(z)

的连续性0所以F(z)解析，其导数为f(z)，再由高阶导数的存在性，f(z)在G内解析。64数学物理方法第二章模数定理：f(z)在某个闭区域上解析，则|f(z)|只能在境界线上取极大值应用柯西公式证明：对若|f(z)|在l上极大值为M，|z|的极小值为

，l的长为s65数学物理方法第二章Liouville定理：如f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即|f(z)|

N，则f(z)必为常数。半径为R的园周总结复数复数函数复数函数单值复数函数多值复数函数单值复数函数单值函数与实变函数相似两个二元实变函数的有序组合重点66数学物理方法第二章奇点柯西定理及推论极限连续积分导数(微分)解析函数解析区域柯西公式高阶导数公式u,v可微C-R条件点点可导(不解析的点)积分区域有无奇点67数学物理方法第二章典型例题例1解68数学物理方法第二章由柯西积分公式69数学物理方法第二章例2解由柯西积分公式70数学物理方法第二章例3解由柯西积分公式71数学物理方法第二章例４解根据柯西积分公式知,72数学物理方法第二章例5解73数学物理方法第二章例5解74数学物理方法第二章由闭路复合定理,得例5解75数学物理方法第二章例6解根据柯西积分公式知,76数学物理方法第二章比较两式得77数学物理方法第二章例1解78数学物理方法第二章79数学物理方法第二章根据复合闭路定理80数学物理方法第二章81数学物理方法第二章例2解82数学物理方法第二章83数学物理方法第二章例3解由柯西－古萨基本定理得由柯西积分公式得84数学物理方法第二章85数学物理方法第二章课堂练习答案86数学物理方法第二章例4解87数学物理方法第二章根据复合闭路定理和高阶导数公式,88数学物理方法第二章89数学物理方法第二章例5(Morera定理