人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案3：§8 2　一元线性回归模型及其应用

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1§8.2一元线性回归模型及其应用学习目标1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．知识梳理知识点一一元线性回归模型称eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为或，x称为或，称为截距参数，称为斜率参数；e是与之间的随机误差，如果e＝，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述．知识点二最小二乘法将eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝.思考1经验回归方程一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一点吗？思考2点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在经验回归直线上吗？知识点三残差与残差分析1．残差对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为，通过经验回归方程得到的称为，减去称为残差．2．残差分析是随机误差的估计结果，通过对的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．知识点四对模型刻画数据效果的分析1．残差图法在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系．2．残差平方和法残差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的拟合效果越好．3．R2法可以用R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)来比较两个模型的拟合效果，R2越，模型拟合效果越好，R2越，模型拟合效果越差．思考利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？题型探究探究一求经验回归方程例1.某种产品的广告费支出x与销售额Y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568Y3040605070(1)画出散点图；(2)求经验回归直线方程．反思感悟求经验回归方程可分如下四步来完成(1)列：列表表示xi，yi，xeq\o\al(2,i)，xiyi.(2)算：计算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.(3)代：代入公式计算，的值．(4)写：写出经验回归方程．跟踪训练1.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用Y(万元)，有如下资料：使用年限x23456维修费用Y2.23.85.56.57.0由散点图(图略)知Y与x是线性相关的，试求(1)经验回归直线方程＝x＋的，；(2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？探究二线性回归分析例2.为研究拉力x(N)对弹簧长度Y(cm)的影响，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据：x51015202530Y7.258.128.959.910.911.8(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的经验回归直线方程．反思感悟刻画回归效果的三种方法(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．(2)残差平方和法：残差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．(3)R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好．跟踪训练2.假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由数据可知，y对x呈现线性相关关系．(1)求线性经验回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？探究三非线性回归例3.有一个测量水流量的实验装置，测得试验数据如下表：i1234567水深h(厘米)0.71.12.54.98.110.213.5流量Q(升/分钟)0.0820.251.811.237.566.5134根据表中数据，建立Q与h之间的经验回归方程．反思感悟非线性回归问题的处理方法(1)指数函数型y＝ebx＋a①函数y＝ebx＋a的图象，如图所示；②处理方法：两边取对数得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(2)对数函数型y＝blnx＋a①函数y＝blnx＋a的图象，如图所示；②处理方法：设x′＝lnx，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.跟踪训练3.在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124Y1612521试建立Y与x之间的回归方程．课堂小结1．知识清单：(1)一元线性回归模型．(2)最小二乘法、经验回归方程的求法．(3)对模型刻画数据效果的分析：残差图法、残差平方和法和R2法．2．方法归纳：数形结合、转化化归．3．常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程致误．当堂检测1.下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性经验回归方程必过点()x1234y1357A．(2,3) B．(1.5,4)C．(2.5,4) D．(2.5,5)2.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元 B．65.5万元C．67.7万元 D．72.0万元3.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉点________，剩下的4组数据的线性相关系数最大．4.为了考查两个变量Y与x的线性相关性，测量x，Y的13对数据，若Y与x具有线性相关关系，则相关系数r绝对值的取值范围是________．5.对于回归分析，有下列叙述：(1)在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能自由变量惟一确定．(2)线性相关系数可以是正的或是负的．(3)回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关．(4)样本相关系数r∈(－∞，＋∞)．判断其说法是否正确．6.一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985对变量y与x进行线性相关性检验．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁知识梳理知识点一一元线性回归模型因变量响应变量自变量解释变量abYbx＋a0知识点二最小二乘法eq\x\to(y)－eq\x\to(x)思考1〖答案〗不一定．思考2〖答案〗在．知识点三残差与残差分析1．残差观测值预测值观测值预测值2．残差分析残差残差知识点四对模型刻画数据效果的分析1．残差图法横轴为对称轴的水平带状区域内3．R2法大小思考〖答案〗不一定，他只是真实值的一个预测估计值．题型探究探究一求经验回归方程例1.解：(1)散点图如图．(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．序号xyx2xy1230460244016160356025300465036300587064560合计252501451380于是可得：x＝5，y＝50.＝－＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的经验回归直线方程是＝6.5x＋17.5.跟踪训练1.解：(1)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5，探究二线性回归分析例2.解：(1)散点图如图所示．(2)将已知表中的数据列成下表：xi51015202530yi7.258.128.959.910.911.8xiyi36.2581.2134.25198272.5354xeq\o\al(2,i)25100225400625900eq\x\to(x)＝17.5，eq\x\to(y)≈9.49，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1076.2，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝2275.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1076.2－6×17.5×9.49,2275－6×17.52)≈0.18，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝9.49－0.18×17.5＝6.34，∴经验回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.18x＋6.34.跟踪训练2.解：(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0xeq\o\al(2,i)49162536经计算得：eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3，于是有eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝1.23，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))·eq\x\to(x)＝0.08，所以线性经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(a,\s\up6(∧))＋eq\o(b,\s\up6(∧))x＝0.08＋1.23x.(2)当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)，即若估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元．探究三非线性回归例3.解：由表中测得的数据可以作出散点图，如图．观察散点图中样本点的分布规律，可以判断样本点分布在某一条曲线附近，表示该曲线的函数模型是Q＝m·hn(m，n是正的常数)．两边取常用对数，则lgQ＝lgm＋n·lgh，令y＝lgQ，x＝lgh，那么y＝nx＋lgm，即为线性函数模型y＝bx＋a的形式(其中b＝n，a＝lgm)．由下面的数据表，用最小二乘法可求得eq\o(b,\s\up6(^))≈2.5097，eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.7077，所以n≈2.51，m≈0.196.ihiQixi＝lghiyi＝lgQixeq\o\al(2,i)xiyi10.70.082－0.1549－1.08620.0240.168321.10.250.0414－0.60210.0017－0.024932.51.80.39790.25530.15830.101644.911.20.69021.04920.47640.724258.137.50.90851.57400.82541.4300610.266.51.00861.82281.01731.8385713.51341.13032.12711.27762.4043∑41251.3324.0225.14013.78076.642于是所求得的经验回归方程为Q＝0.196·h2.51.跟踪训练3.解：由数值表可作散点图如下：根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，则y＝kt，原数据变为：t4210.50.25y1612521由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：itiyitiyiteq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.06251∑7.753694.2521.3125430所以＝1.55，＝7.2.＝－≈0.8.所以＝4.1344t＋0.8.所以y与x的经验回归方程是＝eq\f(4.1344,x)＋0.8.当堂达标1．〖答案〗C〖解