人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案3：§8 1　成对数据的统计相关性

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1§8.1成对数据的统计相关性学习目标1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.3.结合实例，会通过样本相关系数比较多组成对样本数据的相关性．知识梳理知识点一相关关系1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．思考相关关系是函数关系吗？2．相关关系的分类(1)按变量间的增减性分为相关和相关．①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现的趋势；②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现的趋势．(2)按变量间是否有线性特征分为相关和相关(曲线相关)．①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在附近，我们称这两个变量线性相关；②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．知识点二相关关系的刻画1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．2．样本相关系数(1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，其中r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)\r(\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2)).(2)样本相关系数r的取值范围为．①若r>0时，成对样本数据相关；②若r<0时，成对样本数据相关；③当|r|越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强；④当|r|越接近时，成对样本数据的线性相关程度越弱．题型探究探究一变量间相关关系的判断例1.有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))可以估计观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4反思感悟两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．跟踪训练1.下面变量关系是相关关系的是()①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①② B．①③C．②③ D．②④探究二样本相关系数的性质例2.(多选)对两个变量的样本相关系数r，下列说法正确的是()A．|r|越大，相关程度越大B．|r|越小，相关程度越大C．|r|趋近于0时，没有线性相关关系D．|r|越接近1时，线性相关程度越强反思感悟样本相关系数的性质(1)r的绝对值越接近0，相关性越弱．(2)r的绝对值越接近1，相关性越强．跟踪训练2.对变量x，y有成对样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有成对样本数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关探究三样本相关系数的计算及应用例3.变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的相关系数r的最接近的值为()A．1B．－0.5C．0D．0.5反思感悟线性相关强弱的判断方法(1)散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强．(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强．跟踪训练3.下面的数据是从年龄在40岁到60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏的功能水平y(满分100)，以及每天花在看电视上的平均时间x(小时)．看电视的平均时间x4.44.62.75.80.24.6心脏功能水平y525369578965(1)求心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的样本相关系数r；(2)求心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程，并讨论方程是否有意义；(3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平．课堂小结1．知识清单：(1)相关关系．(2)散点图．(3)正相关、负相关、线性相关、非线性相关．(4)样本相关系数．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：相关关系与函数关系不分，样本相关系数绝对值的大小与相关程度的关系．当堂检测1.关于两个变量x，y与其线性相关系数r，有下列说法：①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若|r|越趋近于1，则x与y的线性相关程度越强；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．其中正确的有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量进行线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85则这四位同学的试验结果能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是()A．甲B．乙C．丙D．丁3.给定y与x是一组样本数据，求得相关系数r＝－0.690，则()A．y与x的线性相关性很强B．y与x线性不相关C．y与x正线性相关D．y与x负线性相关4.一唱片公司研究预支出费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得到如下的资料：eq\i\su(i＝1,10,x)i＝28，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝303.4，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝75，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝598.5，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝237，则y与x的相关系数r的绝对值为________．5.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．6.若已知eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2是eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2的4倍，eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))是eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2的1.5倍，则相关系数r的值为________．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁知识梳理知识点一相关关系1．思考〖答案〗不是．函数关系是唯一确定的关系．2．相关关系的分类(1)正负①增加②减少(2)线性非线性①一条直线②线性知识点二相关关系的刻画2．样本相关系数(2)－1,1〗①正②负③1④0题型探究探究一变量间相关关系的判断例1.〖解析〗①反映的正是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点图的作用，也正确．③解释的是回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的作用，故也正确．④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．〖答案〗C跟踪训练1.〖解析〗①②是相关关系，③④是非相关关系．〖答案〗A探究二样本相关系数的性质例2.〖答案〗AD〖解析〗对于A，|r|越大，相关程度越大，A正确；对于B，|r|越小，相关程度越小，B错误；对于C，|r|趋近于0时，线性相关关系越弱，C错误；对于D，|r|越接近1时，线性相关程度越强，D正确．综上，正确的是AD.跟踪训练2.〖答案〗C〖解析〗由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．探究三样本相关系数的计算及应用例3.〖答案〗C〖解析〗从散点图中，我们可以看出，x与y没有线性相关关系，因而r的值接近于0.跟踪训练3.解：n＝6，eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(4.4＋4.6＋…＋4.6)≈3.7167，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(52＋53＋…＋65)≈64.1667，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)－6eq\x\to(x)2＝(4.42＋4.62＋…＋4.62)－6×3.71672≈19.7668，eq\i\su(i＝1,6,y)eq\o\al(2,i)－6eq\x\to(y)2＝(522＋532＋…＋652)－6×64.16672≈964.8077，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi－6eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝(4.4×52＋4.6×53＋…＋4.6×65)－6×3.7167×64.1667≈－124.6302.(1)心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的相关系数：r＝eq\f(－124.6302,\r(19.7668×964.8077))≈－0.9025.(2)b＝eq\f(－124.6302,19.7668)≈－6.3050，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈87.6005，心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程为y＝87.6005－6.3050x.由(1)知y与x之间有较强的线性关系，所以这个方程是有意义的．(3)将x＝3代入线性回归方程y＝87.6005－6.3050x，可得y≈68.7，即平均每天看电视3小时，心脏功能水平约为68.7.当堂检测1.〖答案〗D〖解析〗根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱．故可知①②③正确．2.〖答案〗D〖解析〗由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，结合题意可知，丁的线性相关性更强，故选D.3.〖答案〗D〖解析〗因为|r|＝|－0.690|<0.75，所以y与x的线性相关性一般，又因为r＝－0.690<0，所以y与x负线性相关．4.〖答案〗0.3〖解析〗根据公式得相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(237－10×2.8×7.5,