人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案2：7 4 2　超几何分布

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.4.2超几何分布学习目标1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系．知识梳理知识点超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．均值：E(X)＝.题型探究探究一超几何分布的辨析例1.盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．(1)若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为()A．N＝9，M＝4，n＝4 B．N＝9，M＝5，n＝5C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14，M＝5，n＝5(2)若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为________.(3)若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P(Z＝2)＝________.反思感悟判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．跟踪训练1.从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()探究二超几何分布的概率例2.袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列，并求至少有一个红球的概率．反思感悟求超几何分布的分布列的步骤跟踪训练2.从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．探究三超几何分布与二项分布间的关系例3．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的分布列，并求他至多试开3次的概率．反思感悟二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．区别①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布.跟踪训练3.生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品，采购方接收该批产品的原则是：从该批产品中任取5箱产品进行检验，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，问该批产品被接收的概率是多少？课堂小结1．知识清单：(1)超几何分布的概念及特征．(2)超几何分布的均值．(3)超几何分布与二项分布的区别与联系．2．方法归纳：类比．3．常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样．当堂检测1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是()A.eq\f(37,42) B.eq\f(17,42)C.eq\f(10,21) D.eq\f(17,21)2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝()A.eq\f(4,21) B.eq\f(9,21)C.eq\f(6,21) D.eq\f(5,21)3．把X，Y两种遗传基因冷冻保存，若X有30个单位，Y有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X，Y两种基因各失效1个单位的概率是()．A．eq\f(24,49) B．eq\f(1,25) C．eq\f(1,30) D．eq\f(1,600)4．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号都齐全的概率是__________．5．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁知识点超几何分布1．eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))2．eq\f(nM,N)题型探究例1.〖解析〗(1)根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝4，n＝4.(2)由于只选取了3个球，因此随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3.(3)由古典概型概率计算公式知，P(Z＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(3,7),C\o\al(5,9))＝eq\f(5,18).〖答案〗(1)A(2)0,1,2,3(3)eq\f(5,18)跟踪训练1.√例2.解：ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，且P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,5))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1))＝eq\f(1,5).因此ξ的分布列为ξ12345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).跟踪训练2.解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中的不合格产品的箱数”，则X服从参数N＝50，M＝2，n＝5的超几何分布，这批产品被接收的条件是任取的5箱中没有不合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率为：P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(5,48),C\o\al(5,50))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(4,48),C\o\al(5,50))＝eq\f(243,245)≈99.2%.所以该批产品被接收的概率是99.2%.例3.解：X＝0,1,2,3，X＝0表示取出的3个球全是黑球，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(10,56)＝eq\f(5,28)，同理P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56).∴X的分布列为X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)至少有一个红球的概率为P(X≥1)＝1－eq\f(5,28)＝eq\f(23,28).跟踪训练3.解：设选出的女同学人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，且X服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,6)或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,6).当堂检测1．〖解析〗根据题意知，该问题为古典概型，∴P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).〖答案〗C2．〖解析〗P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,5),C\o\al(4,10))＝eq\f(5,21).〖答案〗D3．〖答案〗A〖解析〗由题意知服从超几何分布，则X，Y两种基因各失效1个单位的概率为eq\f(C\o\al(1,30)C\o\al(1,20),C\o\al(2,50))＝eq\f(24,49).4．〖答案〗eq\f(3,5)〖解析〗由题意知服从超几何分布，其中两种型号都齐全的概率为eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq